高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1.5.1 估計(jì)總體的分布教案 北師大版必修3(1).DOC

5.1 估計(jì)總體的分布整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 教科書通過問題的探究,使學(xué)生學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.教科書在這里主要介紹有關(guān)頻率分布的列表和畫圖的方法,而關(guān)于頻率分布的隨機(jī)性和規(guī)律性方面則給教師留下了較大的發(fā)揮空間.教師可以通過初中有關(guān)隨機(jī)事件的知識(shí),也可以利用計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由樣本確定的頻率分布表和頻率分布直方圖的隨機(jī)性；通過初中有關(guān)頻率與概率之間的關(guān)系,了解頻率分布直方圖的規(guī)律性,即頻率分布與總體分布之間的關(guān)系,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想. 由于可以用樣本頻率分布直方圖估計(jì)總體分布,因此可以用樣本頻率分布特征來估計(jì)相應(yīng)的總體分布特征,這就提供了估計(jì)總體特征的另一種途徑,其意義在于：在沒有原始數(shù)據(jù)而僅有頻率分布的情況下,此方法可以估計(jì)總體的分布特征.三維目標(biāo)1.通過實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用,通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的探究,感知應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的方法.2.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中,學(xué)會(huì)列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法.3.通過對(duì)樣本分析和總體估計(jì)的過程,感受數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的需要,通過實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征,從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布,準(zhǔn)確地作出總體估計(jì),認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活并指導(dǎo)生活的事實(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)列頻率分布表,畫頻率分布直方圖和頻率折線圖.教學(xué)難點(diǎn)：能通過樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.在nba的2006賽季中,甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄如下：甲運(yùn)動(dòng)員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙運(yùn)動(dòng)員得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33.請(qǐng)問從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員,在2006賽季中,哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布（板書課題）.思路2.如下樣本是隨機(jī)抽取近年來北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫.7月25日至8月10日41.937.535.735.437.238.134.733.733.332.534.633.030.831.028.631.528.832.58月8日至8月24日28.631.528.833.232.530.330.229.833.132.829.825.624.730.030.129.530.332.8 怎樣通過上表中的數(shù)據(jù),分析比較兩時(shí)間段內(nèi)的高溫（33 ）狀況？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.思路3.討論：我們要了解我校學(xué)生每月零花錢的情況, 應(yīng)該怎樣進(jìn)行抽樣？提問：學(xué)習(xí)了哪些抽樣方法？一般在什么時(shí)候選取什么樣的抽樣方法呢?討論：通過抽樣方法收集數(shù)據(jù)的目的是什么？（從中尋找所包含的信息,用樣本去估計(jì)總體）指出兩種估計(jì)手段：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布,二是用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征.這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi),超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢 ？你認(rèn)為,為了較合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),需要做哪些工作？（讓學(xué)生展開討論）（2）什么是頻率分布？（3）頻率分布直方圖的特征是什么？(4)什么是頻率分布折線圖?討論結(jié)果：（1）為了制定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比如月均用水量在哪個(gè)范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調(diào)查的方式,通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市居民用水量的分布情況.分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來,或者用緊湊的表格來改變數(shù)據(jù)的排列方式,作圖可以達(dá)到兩個(gè)目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息,二是利用圖形傳遞信息.表格則是通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式.下面我們學(xué)習(xí)的頻率分布表和頻率分布圖,則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況.（2）頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小；一般用頻率分布直方圖來反映樣本的頻率分布.（3）頻率分布直方圖的特征：從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.同樣一組數(shù)據(jù),如果組距不同,橫軸、縱軸的單位不同,得到的圖和形狀也會(huì)不同.不同的形狀給人以不同的印象,這種印象有時(shí)會(huì)影響我們對(duì)總體的判斷.(4)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖.應(yīng)用示例思路1例1 1895年,在倫敦有106塊男性頭蓋骨被挖掘出土.經(jīng)考證,頭蓋骨的主人死于16651666年之間的大瘟疫.人類學(xué)家分別測(cè)量了這些頭蓋骨的寬度,數(shù)據(jù)如下所示(單位：mm)：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148138 145 145 142 143 143 148 141 145 141 請(qǐng)你估計(jì)在16651666年之間,英國(guó)男性頭蓋骨寬度的分布情況.解：這里,如果把總體看作是16651666年之間的英國(guó)男性頭蓋骨的寬度,那么我們就是要通過上面挖掘出土得到的樣本信息,來估計(jì)總體的分布情況.但從上面的數(shù)據(jù)很難直接估計(jì)出總體的分布情況,為此,我們可以先將以上數(shù)據(jù)按每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率匯成下表：寬度/mm頻數(shù)頻率寬度/mm頻數(shù)頻率12110.00914270.06612910.009143100.09413110.00914450.04713220.01914580.07513310.00914650.04713420.01914710.00913510.00914880.07513640.03814930.02813730.02815010.00913870.06615220.01913970.06615310.009140120.11315810.009141120.113 從表格中,我們就能估計(jì)出總體大致的分布情況了,如在16651666年之間,英國(guó)男性頭蓋骨寬度主要在140150 mm之間,130 mm以下以及150 mm以上所占的比率相對(duì)較小等.但是,這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象,為了得到更為直觀的信息,我們可以再將表中的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組：寬度分組(xi)頻數(shù)(ni)頻率(fi)120125 mm10.0090.001 8125130 mm10.0090.001 8130135 mm60.0570.011 4135140 mm220.2080.041 6140145 mm460.4340.086 8145150 mm250.2360.047 2150155 mm40.0380.007 6155160 mm10.0090.001 8 先畫頻數(shù)分布直方圖(圖1).進(jìn)一步,我們還可以將圖1中縱坐標(biāo)的頻數(shù)換成,便可以得到圖2.圖1圖2點(diǎn)評(píng)：當(dāng)樣本量較大時(shí),樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會(huì)穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的概率.因此,我們就可以用樣本的頻率分布直方圖來估計(jì)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的頻率,也即總體的分布情況.變式訓(xùn)練1.有100名學(xué)生,每人只能參加一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì),其中參加足球隊(duì)的有30人,參加籃球隊(duì)的有27人,參加排球隊(duì)的有23人,參加乒乓球隊(duì)的有20人.(1)列出學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)的頻率分布表.(2)畫出頻率分布條形圖.解：(1)參加足球隊(duì)記為1,參加籃球隊(duì)記為2,參加排球隊(duì)記為3,參加乒乓球隊(duì)記為4,得頻率分布表如下：試驗(yàn)結(jié)果頻數(shù)頻率參加足球隊(duì)（記為1）300.30參加籃球隊(duì)（記為2）270.27參加排球隊(duì)（記為3）230.23參加乒乓球隊(duì)（記為4）200.20合計(jì)1001.00(2)由上表可知頻率分布條形圖如圖3：圖32.為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況,對(duì)某中學(xué)17歲的60名女生的身高進(jìn)行了測(cè)量,結(jié)果如下（單位cm）：154 159 166 169 159 156 166 162 158 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 159 154 165 166 157 151 146 151 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 159 157 159 149 164 168 159 153 列出樣本的頻率分布表；繪出頻率分布直方圖.解：列頻率分布表如下：寬度分組(xi)個(gè)數(shù)累計(jì)頻數(shù)(ni)頻率(fi)145.5148.510.017148.5151.530.050151.5154.560.100154.5157.580.133157.5160.5180.300160.5163.5110.183163.5166.5100.167166.5169.530.050合計(jì)601.000 根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖如圖4：圖4 以上兩種情況的不同之處在于,前者的頻率分布表列出的是幾個(gè)不同數(shù)值的頻率,相應(yīng)的條形圖是用其高度表示取各個(gè)值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率,相應(yīng)的直方圖是用圖表面積的大小來表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率. 我們?cè)谔幚硪粋€(gè)數(shù)理問題時(shí)可以采用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的方法,這是因?yàn)?頻率分布隨著樣本容量的增大更加接近于總體分布,當(dāng)樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時(shí),頻率分布的直方圖就演變成一條光滑的曲線總體密度曲線.這條曲線是客觀存在的,但是我們卻很難將它準(zhǔn)確地畫出,我們只能用樣本的頻率分布去對(duì)它進(jìn)行估計(jì).基于頻率分布與相應(yīng)的總體分布有這種關(guān)系,再加上我們通常并不知道一個(gè)總體的分布,我們往往是從一個(gè)總體中抽取一個(gè)樣本,用樣本的頻率去估計(jì)相應(yīng)的總體分布.一般說來,樣本的容量越大,這種估計(jì)就越精確.思路2例1 下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位：cm). 區(qū)間界限/cm122126126130130134134138138142人數(shù)58102233區(qū)間界限/cm142146146150150154154158人數(shù)201165(1)列出樣本頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題.解：（1）樣本頻率分布表如下：寬度分組(xi)頻數(shù)(ni)頻率(fi)12212650.0412613080.07130134100.08134138220281421462000915015460.0515415850.04合計(jì)1201（2）其頻率分布直方圖如圖5：圖5（3）由樣本頻率分布表可知身高小于134 cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19,所以我們估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.變式訓(xùn)練 從某校高一年級(jí)的1 002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的身高樣本,如下（單位：cm）.168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174170165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166 作出該樣本的頻率分布表，并估計(jì)身高不小于170(cm)的同學(xué)所占的百分率.解：頻率分布表如下：寬度分組(xi)頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)(ni)頻率(fi)150.5153.5440.04153.5156.51280.08156.5159.52080.08159.5162.531110.11162.5165.553220.22165.5168.572190.19168.5171.586140.14171.5174.59370.07174.5177.59740.04177.5180.510030.03合計(jì)1001 根據(jù)頻率分布表可以估計(jì),估計(jì)身高不小于170(cm)的同學(xué)所占的百分率為(0.14+0.07+0.04+0.03)100%=21%.例2 為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖6),圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為24171593,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？(3)在這次測(cè)試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)?請(qǐng)說明理由.圖6分析：在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和等于1.解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為=0.08；又因?yàn)轭l率=，所以樣本容量=150.（2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為100%=88%.(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9,所以前三組的頻數(shù)之和為69,前四組的頻數(shù)之和為114,所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組.知能訓(xùn)練1.有一個(gè)容量為45的樣本數(shù)據(jù),分組后各組的頻數(shù)如下：(12.5,15.5,3;(15.5,18.5,8;(18.5,21.5, 9;(21.5,24.5,11;(24.5,27.5,10;(27.5,30.5,4.由此估計(jì),不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的（ ）a.91% b.92% c.95% d.30%答案：a2.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：（10,20）,2；（20,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.則樣本在區(qū)間（-,50）上的頻率為（ ）a.0.5 b.0.7 c.0.25 d.0.05答案：b3.一個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)2000年至2002年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查,制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖7）,根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯_萬盒. 快餐公司個(gè)數(shù)情況圖 快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況圖圖7答案：85拓展提升 為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林生長(zhǎng)情況,隨機(jī)測(cè)量其中的100株的底部周長(zhǎng),得到如下數(shù)據(jù)表（單位：cm）.135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108（1）編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100 cm的樹木約占多少？周長(zhǎng)不小于120 cm的樹木約占多少？解：（1）這組數(shù)據(jù)的最大值為135,最小值為80, 極差為55,可將其分為11組,組距為5.頻率分布表如下：寬度分組(xi)頻數(shù)(n