高斯定理[2].doc

第23講 靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度通量和高斯定理第23講：靜電場(chǎng)電場(chǎng)線和高斯定理 密立根油滴實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：84，851 電場(chǎng)線 2電場(chǎng)強(qiáng)度通量 （30分鐘） 3高斯定理 （20分鐘） 4高斯定理的應(yīng)用 （30分鐘） 5密立根油滴實(shí)驗(yàn) （20分鐘）要求： 3了解電場(chǎng)線的概念； 4掌握電場(chǎng)強(qiáng)度通量的計(jì)算方法； 1掌握高斯定理的內(nèi)容； 2會(huì)用高斯定理來計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的分布； 3了解密立根油滴實(shí)驗(yàn)。重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1高斯定理的內(nèi)容； 2高斯定理的應(yīng)用。作業(yè)：問題：P49：10，13，15，16習(xí)題：P52：13，15，16，20預(yù)習(xí)：86，87，88，89復(fù)習(xí)：l 電荷的量子化l 電荷守恒定律l 庫侖定律l 靜電場(chǎng)的概念l 電場(chǎng)強(qiáng)度l 電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理l 電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算84 電場(chǎng)強(qiáng)度通量 高斯定理 引言：上一節(jié)討論了靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度和用積分的方法計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度，本節(jié)我們?cè)陔妶?chǎng)線的基礎(chǔ)上，引進(jìn)電場(chǎng)強(qiáng)度通量的概念；并導(dǎo)出靜電場(chǎng)的高斯定理。一、 電場(chǎng)線（Electric Field Line）1電場(chǎng)線的概念：為了形象地描述電場(chǎng)的分布，可以在電場(chǎng)中畫出許多曲線，這些曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，而且曲線箭頭的指向表示場(chǎng)強(qiáng)的方向，這種曲線稱為電場(chǎng)線法拉第(M.Faraday) 首先引入這一工具。定義 電場(chǎng)中描述電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向的曲線簇。規(guī)定：（1）曲線上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向；（2）曲線的疏密表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小，即該點(diǎn)附近垂直于電場(chǎng)方向的單位面積所通過的電力線條數(shù)滿足。2幾種典型的電場(chǎng)線分布：3電場(chǎng)線密度定義：經(jīng)過電場(chǎng)中任一點(diǎn)，想象地作一面積元dS，并使它與該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)垂直，若通過dN面的電場(chǎng)線條數(shù)為dN，則電場(chǎng)線密度為dN/dS。若某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)較大，則dN較大，電場(chǎng)線密度較大，因而電場(chǎng)線密度應(yīng)與場(chǎng)強(qiáng)成正比。規(guī)定 這樣就可用電場(chǎng)線密度表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。對(duì)于勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)線密度處處相等，而且方向處處一致。4靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線特點(diǎn)：l 電場(chǎng)線總是起始于正電荷（或來自于無窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)電荷（或終止于無窮遠(yuǎn)），不是閉合曲線；不會(huì)在沒有電荷的地方中斷。l 任何兩條電場(chǎng)線都不能相交。5關(guān)于電場(chǎng)線的幾點(diǎn)說明：l 電場(chǎng)線是人為畫出的，在實(shí)際電場(chǎng)中并不存在；l 在實(shí)際畫電場(chǎng)線時(shí)，要求畫出場(chǎng)強(qiáng)的方向，并要求電場(chǎng)線密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比；l 電場(chǎng)線可以形象地、直觀地表現(xiàn)電場(chǎng)的總體情況，對(duì)分析電場(chǎng)很有用處。l 電場(chǎng)線圖形可以用實(shí)驗(yàn)演示出來。*6電場(chǎng)線方程在電場(chǎng)線上任取一段微元，則該微元應(yīng)該平行于該處的電場(chǎng)強(qiáng)度，因而有 或 在xoy平面上：等量異號(hào)電荷：等量同號(hào)電荷：二、 電場(chǎng)強(qiáng)度通量（Electric Flux）1定義：通過電場(chǎng)中任一給定面積的電場(chǎng)線的數(shù)目，叫做通過該面積的電場(chǎng)強(qiáng)度通量，簡稱電通量，用表示。分幾種情況討論：l 均勻電場(chǎng)和非均勻電場(chǎng)；l 閉合曲面和非閉合曲面。2勻強(qiáng)電場(chǎng)的電通量取平面，若平面與平行時(shí)， 若平面與有夾角時(shí)，3非均勻電場(chǎng)的電通量（1）某一小面積元dS的電通量：（2）任意曲面的電通量：把S分成無限多個(gè)面積元dS，通過曲面S的電通量為：（3）閉合曲面的電通量：曲面積分為閉合曲面的積分， 取微元，則 對(duì)所求平面， 對(duì)封閉曲面，規(guī)定：封閉曲面的法線方向垂直于曲面向外。電場(chǎng)線從曲面內(nèi)穿出的地方，； 電場(chǎng)線向曲面內(nèi)穿入的地方，。注意（1）電通量是標(biāo)量，只有正、負(fù)，為代數(shù)疊加。（2）電通量正、負(fù)值的說明由可知，電通量的正、負(fù)是由面元的法線正和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的夾角決定。對(duì)閉合曲面規(guī)定自內(nèi)向外的方向?yàn)槊嬖姆ň€正方向。如果電場(chǎng)線從閉合曲面之內(nèi)向外穿出，電通量為正；如果電場(chǎng)線從外部穿入閉合曲面，電通量為負(fù)。對(duì)不閉合曲面，電通量的正負(fù)根據(jù)所設(shè)的面元法線正方向而定；（3）電通量的單位（SI）：韋伯（Wb）例題：如圖所示，有一三棱柱放在電場(chǎng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。求通過此三棱柱的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量。解：三棱柱的閉合曲面有五個(gè)面組成：，通過各個(gè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為 面： 面： 面： 面： 面：因而通過閉合三棱柱的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為即，在均勻電場(chǎng)中，穿入三棱柱的電場(chǎng)線與穿出三棱柱的電場(chǎng)線相等，故通過閉合三棱柱的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零。三、高斯定理（Gauss Theorem）高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855) 德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，在數(shù)學(xué)上的建樹頗豐，有“數(shù)學(xué)王子”美稱。高斯長期從事于數(shù)學(xué)并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)等領(lǐng)域的研究，主要成就：(1) 物理學(xué)和地磁學(xué)：關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對(duì)單位（長度、質(zhì)量和時(shí)間）法則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。(2) 光學(xué) ：利用幾何學(xué)知識(shí)研究近軸光線行為和成像，建立高斯光學(xué)。(3) 天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)：小行星軌道的計(jì)算，地球大小和形狀的理論研究。(4) 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理：結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)算，發(fā)展了概率統(tǒng)計(jì)理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線。 (5) 高斯還創(chuàng)立了電磁量的絕對(duì)單位制。1內(nèi)容Gauss定理給出了穿過任意閉合曲面的電通量與場(chǎng)源電荷之間在量值上的關(guān)系。高斯定理：通過任一閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以，與封閉曲面外的電荷無關(guān)。2推導(dǎo)1）通過一個(gè)與點(diǎn)電荷q同心的球面的電通量S取微元，該處，的方向也是，因而 積分 即通過同心球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量等于球面內(nèi)電荷的電量除以真空電容率，與球面半徑無關(guān)，只與它所包圍的電荷的電量有關(guān)。 正電荷，電場(chǎng)線從點(diǎn)電荷出發(fā)，穿出球面延伸到無窮遠(yuǎn)處； 負(fù)電荷，電場(chǎng)線穿入球面，終于q。 穿過球面的電場(chǎng)線條數(shù)為。2）包圍點(diǎn)電荷q的任意封閉曲面S對(duì)于任意一個(gè)閉合曲面，只要電荷被包圍在面內(nèi)，由于電場(chǎng)線是連續(xù)的，在沒有電荷的地方不中斷，因而穿過閉合曲面與的電場(chǎng)線數(shù)目是一樣的，故即在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，通過包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量與閉合曲面的形狀無關(guān)，都等于球面內(nèi)電荷的電量除以真空電容率。簡單證明：點(diǎn)電荷的電場(chǎng)為 取小微元，則通過此小微元的電通量為對(duì)閉合曲面積分，得 3）通過不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面的電通量為零。若閉合曲面S不包圍點(diǎn)電荷，由于電場(chǎng)線是連續(xù)的，穿入該曲面的電場(chǎng)線與穿出該曲面的電場(chǎng)線數(shù)目一定是相等的，所以，穿過S的電場(chǎng)線總數(shù)為零。4）多個(gè)點(diǎn)電荷，則 連續(xù)分布的電荷 3關(guān)于高斯定理的說明：1）高斯定理是反映靜電場(chǎng)性質(zhì)（有源性）的一條基本定理若閉合曲面內(nèi)存在正（負(fù)）電荷，則通過閉合曲面的電通量為正（負(fù)），表明有電場(chǎng)線從面內(nèi)（面外）穿出（穿入）；若閉合曲面內(nèi)沒有電荷，則通過閉合曲面的電通量為零，意味著有多少電場(chǎng)線穿入就有多少電場(chǎng)線穿出，說明在沒有電荷的區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)線不會(huì)中斷；若閉合曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，則有多少電場(chǎng)線進(jìn)入面內(nèi)終止于負(fù)電荷，就會(huì)有相同數(shù)目的電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出穿出面外?？梢?，高斯定理說明正電荷是發(fā)出電場(chǎng)線的源頭，負(fù)電荷是電場(chǎng)線終止會(huì)聚的歸宿，表明了靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，這是靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)之一。2）高斯定理是在庫侖定律（平方反比定律）的基礎(chǔ)上得出的，但它的應(yīng)用范圍比庫侖定律更為廣泛庫侖定律只適用于靜電場(chǎng)高斯定理適用于靜電場(chǎng)、變化電場(chǎng)，是電磁理論的基本方程之一。高斯定理與庫侖定律并不是互相獨(dú)立的規(guī)律，而是用不同形式表示的電場(chǎng)與源電荷關(guān)系的同一客觀規(guī)律：庫侖定律把場(chǎng)強(qiáng)和電荷直接聯(lián)系起來，而高斯定理將場(chǎng)強(qiáng)的通量和某一區(qū)域內(nèi)的電荷聯(lián)系在一起。而且高斯定理的應(yīng)用范圍比庫侖定律更廣泛：庫侖定律只適用于靜電場(chǎng)，而高斯定理不僅適用于靜電場(chǎng)，也適用于變化的電場(chǎng)。高斯定理是電磁場(chǎng)理論的基本理論之一。3）高斯定理中的是封閉曲面內(nèi)和曲面外的電荷共同產(chǎn)生的，并非只有曲面內(nèi)的電荷確定（只不過曲面外的電荷對(duì)電通量沒有貢獻(xiàn)）。4）若高斯面內(nèi)的電荷的電量為零，則通過高斯面的電通量為零，但高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度并不一定為零。5）通過任意閉合曲面的電通量只決定于它所包圍的電荷的代數(shù)和，即只有閉合曲面內(nèi)的電荷對(duì)電通量有貢獻(xiàn)，閉合曲面外的電荷對(duì)電通量無貢獻(xiàn)。6）高斯定理中所說的閉合曲面，通常稱為高斯面。四、高斯定理的應(yīng)用高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用，是用來計(jì)算帶電體周圍電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。實(shí)際上，只有在場(chǎng)強(qiáng)分布具有一定的對(duì)稱性時(shí)，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。步驟：1進(jìn)行對(duì)稱性分析，即由電荷分布的對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定理來求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（常見的對(duì)稱性有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性等）；2根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：待求?chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，穿過該高斯面的電通量容易計(jì)算。一般地，高斯面各面元的法線矢量與平行或垂直，與平行時(shí)，的大小要求處處相等，使得能提到積分號(hào)外面；3計(jì)算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。應(yīng)該指出，在某些情況下（對(duì)稱），應(yīng)用高斯定理是比較簡單的，但一般情況下，以點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和疊加原理以相互補(bǔ)充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡潔地求得具有對(duì)稱性的帶電體場(chǎng)源（如球型、圓柱形、無限長和無限大平板型等）的空間場(chǎng)強(qiáng)分布。計(jì)算的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面高斯面。例1 均勻帶電球殼的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的薄球殼。求球殼內(nèi)部和外部任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：因?yàn)榍驓ず鼙?，其厚度可忽略不?jì)，電荷Q近似認(rèn)為均勻分布在球面上。由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在電場(chǎng)強(qiáng)度的空間中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。即在同一球面上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是相等的。以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為 根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球殼外時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球殼內(nèi)時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 例2 均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的球體。求球體內(nèi)部和外部任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在電場(chǎng)強(qiáng)度的空間中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。即在同一球面上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是相等的。以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為 根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球體外時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球體內(nèi)時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 例3 無限長均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即電荷線密度為，求距離直線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于帶電直線無限長，且電荷均勻分布，所以電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于該直線的徑矢方向，而且在距直線等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小相等，即電場(chǎng)分布是柱對(duì)稱的。以該直線為軸線作一圓柱面為高斯面，長為h，半徑為r。由于場(chǎng)強(qiáng)與上下底面的法線垂直，所以通過圓柱的上下兩個(gè)底面的電通量為零，而通過圓柱側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為。又此高斯面所包圍的電量為，所以根據(jù)高斯定理有 由此可知，電場(chǎng)強(qiáng)度為 例4 無限長均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一無限長均勻帶電平板，單位面積上的電荷，即電荷面密度為，求距離平板為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于帶電平板無限長，且電荷均勻分布，所以帶電平板兩側(cè)電場(chǎng)的分布具有對(duì)稱性，所以場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于該平面，而且在距平面等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小相等。作圓柱面為高斯面，此圓柱面穿過帶電平面，且對(duì)帶電平面是對(duì)稱的。其側(cè)面的法線方向與場(chǎng)強(qiáng)垂直，而通過圓柱側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零；由于場(chǎng)強(qiáng)與兩個(gè)底面垂直，所以通過圓柱的兩個(gè)底面的電通量為ES。又此高斯面所包圍的電量為S，所以根據(jù)高斯定理有 由此可知，電場(chǎng)強(qiáng)度為 即無限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)點(diǎn)到平面的距離無關(guān)，而且場(chǎng)強(qiáng)的方向與帶電平面垂直。無限大帶電平面的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。例5 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的無限大平行平面的電場(chǎng)。解：有例4可知，在兩平面之外，在兩平面之內(nèi)，方向有帶正電的平面指向帶負(fù)電的平面。1. 例題 P26例題2：已知半徑為 R，帶電量為 q 的均勻帶電球面，求空間場(chǎng)強(qiáng) 分布。解：由對(duì)稱性分析知，的分布為球?qū)ΨQ，即離開球心距離為 r 處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向沿各自的矢徑方向。以O(shè) 為球心，過P 點(diǎn)作半徑為r 的閉合球面S（高斯面），各點(diǎn)處面積元的法線方向與該點(diǎn)處的方向相同，所以由高斯定理：，因此得到：同理作高斯面S 有：即討論（1）當(dāng) q0時(shí)，的方向沿矢徑向外，當(dāng) q0 時(shí)，的方向沿矢徑由外指向球心O。（2）Er 曲線。（3）內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零；外部場(chǎng)強(qiáng)分布與將球面上電荷集中于球心的點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)分布相同；場(chǎng)強(qiáng)分布在球面處不連續(xù)，產(chǎn)生突變。（4）半徑為R，均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。 P27例題3：求無限長均勻帶電直線的空間電場(chǎng)分布。已知直線上線電荷密度為。解：由對(duì)稱性分析，分布為軸對(duì)稱性，即與帶電直線距離相等的同軸圓柱面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向均沿徑向。作過P點(diǎn)以帶電直線為軸，半徑為 r，高為 h 的圓柱形高斯面 S ，通過 S 的電通量為高斯面S內(nèi)所包圍的電荷為，由高斯定理得：所以得：。 討論（1）當(dāng)0時(shí)，的方向沿矢徑向外；當(dāng)0時(shí)，的方向沿矢徑指向帶電直線。（2）Er 曲線。（3）半徑為R 的無限長均勻帶電圓柱面，沿軸線方向線電荷密度為，其場(chǎng)強(qiáng)分布為 P27例題4：求均勻帶電無限大薄平板的空間場(chǎng)強(qiáng)分布，設(shè)電荷密度為。解：無限大均勻帶電薄平板可看成無限多根無限長均勻帶電直線排列而成，由對(duì)稱性分析，平板兩側(cè)離該板等距離處場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向均垂直平板。其一軸垂直帶電平面，高為 2 r 的圓柱面為高斯面，通過它的電通量為： S 內(nèi)包圍的電荷為：由高斯定理： 所以得 當(dāng)0，的方向垂直平板離開平板；當(dāng)0，的方向垂直平板指向平板。2. 總結(jié)：應(yīng)用高斯定理解題的步驟（1）根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性分析電場(chǎng)分布的對(duì)稱性。（2）在待求區(qū)域選取合適的封閉積分曲面（稱為高斯面）。要求：曲面必須通過待求場(chǎng)強(qiáng)的點(diǎn)，曲面要簡單易計(jì)算面積；面上或某部分曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等；且面上或某部分曲面上各點(diǎn)的法線與該處的方向一致或垂直或是成恒定角度，以便于計(jì)算。（3