2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案新人教B版.docx

3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會求曲線上在某點(diǎn)處的切線方程(重點(diǎn))3.理解曲線上在某點(diǎn)處的切線與過曲線上某點(diǎn)處的切線的區(qū)別(難點(diǎn))1.在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義的基礎(chǔ)上，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.在求解曲線上在某點(diǎn)處的切線方程中提升學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義：當(dāng)Pn趨近于點(diǎn)P時，割線PPn趨近于極限位置，這個極限位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線(2)導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義：函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k，即k f(x0)(3)切線方程：曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)思考1：是否任何曲線的割線均有斜率？提示不是，當(dāng)曲線的割線垂直于x軸時，此割線的斜率不存在思考2：當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時，割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？提示kn無限趨近于切線PT的斜率k.1已知曲線yf(x)2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則曲線在點(diǎn)A處的切線斜率為()A4B16C8D2Cf(2) 8.2函數(shù)y在處的切線方程是()Ay4xBy4x4Cy4x4Dy2x4B先求y的導(dǎo)數(shù)：y， ，即y，所以y在點(diǎn)處的切線斜率為ky|4.所以切線方程是y24，即y4x4.3若函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0處的切線的傾斜角為_60設(shè)傾斜角為，則tan f(x0)，所以60.求切點(diǎn)坐標(biāo)【例1】已知拋物線y2x21，求(1)拋物線上哪一點(diǎn)的切線的傾斜角為45？(2)拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于直線4xy20?(3)拋物線上哪一點(diǎn)的切線垂直于直線x8y30?解設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x. 4x0，即f(x0)4x0.(1)拋物線的切線的傾斜角為45，斜率為tan 451，即f(x0)4x01，得x0，該點(diǎn)為.(2)拋物線的切線平行于直線4xy20，斜率為4，即f(x0)4x04，得x01，該點(diǎn)為(1,3)(3)拋物線的切線與直線x8y30垂直，斜率為8，即f(x0)4x08，得x02，該點(diǎn)為(2,9)根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0).(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x).(3)求切線的斜率f(x0).(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0.(5)點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將x0代入求y0，得切點(diǎn)坐標(biāo).1若曲線yx22ax與直線y2x4相切，求a的值并求切點(diǎn)坐標(biāo)解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)f(x0x)f(x0)(x0x)22a(x0x)x2ax02x0x(x)22ax，2x02ax， 2x02a，f(x0)2x02a，2x02a2.又y02x04，y0x2ax0，聯(lián)立消去a，y0得x02，當(dāng)x02時a1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)；當(dāng)x02時a3，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，8).求切線方程探究問題1曲線的割線與切線有什么關(guān)系？提示(1)曲線的切線是由割線繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動，當(dāng)另一點(diǎn)無限接近這一點(diǎn)時割線趨于的直線(2)曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點(diǎn)，可以有多個，甚至可以有無窮多與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線2曲線在某點(diǎn)處切線與在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？提示(1)函數(shù)f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)表示的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率(2)函數(shù)f(x)表示的曲線在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，但函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f(x)在x0處有切線，但不可導(dǎo)【例2】已知曲線C：yf(x)x3.求曲線C上在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程思路探究解y(1x)31(x)33(x)23(x)，f(1) (x)23(x)33.又f(1)1，曲線C上在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y13(x1)，即3xy20.1(變換條件)本典例曲線方程不變，試求過點(diǎn)P(1,1)與曲線C相切的直線方程解設(shè)切點(diǎn)為P(x0，x)，切線斜率為kf(x0) 3x3xx0(x)23x，故切線方程為yx3x(xx0)又點(diǎn)(1,1)在切線上，將其代入切線方程得1x3x(1x0)，有(1x0)(1x0x)3x(1x0)0，所以(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.故所求的切線方程為y13(x1)或y，即3xy20或3x4y10.2(改變問法)本典例中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？解由得x33x20，即(x1)2(x2)0.解得x11，x22，從而求得公共點(diǎn)P(1,1)，Q(2，8)即切線與曲線C除了切點(diǎn)外，還有其他的公共點(diǎn)(1)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的三個步驟(2)求曲線yf(x)過點(diǎn)P(x0，f(x0)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)為(m，f(m)；求函數(shù)yf(x)在點(diǎn)m處的導(dǎo)數(shù)f(m)；根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，寫出切線方程為yf(m)f(m)(xm)；代入P(x0，f(x0)求出m的值，回代即可求出切線方程提醒：求曲線yf(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程時，點(diǎn)P(x0，y0)不一定是切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【例3】如圖所示表示物體運(yùn)動的位移隨時間變化的函數(shù)f(t)4t2t2的圖象，試根據(jù)圖象，描述、比較曲線f(t)在t0，t1，t2附近的變化情況，并求出t2時的切線方程思路探究本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵f(x0)表示曲線yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，要比較f(t)在t0，t1，t2附近的變化情況，即比較切線的傾斜程度解用曲線f(t)在t0，t1，t2處的切線刻畫曲線f(t)在t0，t1，t2附近的變化情況(1)當(dāng)tt0時，曲線f(t)在t0處的切線l0平行于x軸，所以在tt0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；(2)當(dāng)tt1時，曲線f(t)在t1處的切線l1的斜率f(t1)0，所以在tt1附近曲線下降，即函數(shù)f(t)在tt1附近單調(diào)遞減；(3)當(dāng)tt2時，曲線f(t)在t2處的切線l2的斜率f(t2)”連接)(1)B(2)k1k3k2(1)由函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象自左到右先增后減，可知函數(shù)yf(x)圖象的切線的斜率自左到右先增大后減小(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k1k2.k3表示割線AB的斜率，k1k3k2.1思考辨析(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同()(2)曲線的切線與曲線不一定只有一個交點(diǎn)()(3)設(shè)f(x0)0，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線與x軸平行或重合()提示(1)(f(x0)0，而f(x0)可以為任意實(shí)數(shù)(2)(3)2若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1Af(0) (xa)a1.又(0，b)在xy10上，所以b1.故選A.3如圖所示的是yf(x)的圖象，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能確定B分別過A，B兩點(diǎn)曲線的切線，由切線的斜率知kBkA，f(xB)f(xA)故選B.4已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為yx2，則