代數(shù)的用處.doc

代數(shù)的用處對小學(xué)算術(shù)教育的一點(diǎn)意見一群雁的數(shù)學(xué)問題有一只雁在天空飛，遇見迎面而來的一群雁。這只雁向這群雁打招呼：“你們好！100只雁！”可是飛在前面的雁首領(lǐng)卻回答說：“我們不是100只！如果你把我們的個數(shù)乘二再加上我們數(shù)目的一半，再加上我們數(shù)目的14，再加上你，那么我們才會有100。好！你自己去算算看?！边@單獨(dú)飛行的雁繼續(xù)飛，可是他卻不知這群雁的數(shù)目字。這時他看到下面池塘有一只鶴在尋找青蛙。在所有的鳥群中，傳說鶴是最好的數(shù)學(xué)家，他經(jīng)常幾小時用一只腳“金雞獨(dú)立”地站在池塘里來思考數(shù)學(xué)問題，專心地動也不動。于是雁子飛下來向鶴先生打招呼，并告訴他所遇見到的難題。鶴先生聽了之后，就用他的啄嘴在泥地上劃一條線代表一群雁，然后再劃另外一條同樣長度的線，劃完之后又劃第三條只是原來的線的一半，第四條是原先的14，最后有一小條像是一個點(diǎn)代表一只雁。“現(xiàn)在你明白了沒有？”鶴先生抬頭問這只雁?！斑€不明白?！庇谑曲Q先生解釋這些線和點(diǎn)的意義：第一、二條線代表一群雁，第三條線代表雁群的一半，第四條線代表這雁群的14，一點(diǎn)代表一只雁。（見圖一）他現(xiàn)在擦掉那一點(diǎn)：“于是，所有地上的線條就代表99只雁。由于一條長線代表4個14雁群，現(xiàn)在地上的線條總共代表幾個14雁群呢？”雁子慢慢地加：4+4+2+1，最后回答：“11個。”“如果11個14雁群有99只雁，那么一個14雁群有多少雁呢？”“9只！”“那么整群雁有多少呢？”雁子將4乘9，然后回答：“36只！”“對了！可是你卻不會自己算出來。你真是一只愚蠢的雁子！”這只雁被鶴先生一罵，臉都脹紅起來，連忙飛走了。以上的故事是50多年前一位蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)教育工作者編造出來的。他在學(xué)校及一些數(shù)學(xué)通俗講座講這個故事，很受許多兒童歡迎。我本身也很欣賞這個故事，利用兒童所熟悉的動物的性格來編故事，以此達(dá)到教育的目的，這是一個很好的方法，這可以使兒童避免對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼或枯燥的感覺。我的惡夢我不知道其他的大人先生會不會做夢，夢到小時候的生活？如果我有時夢到小時候的生活，一夢到讀書，那往往就是一場惡夢。這夢境多數(shù)是和上算術(shù)課有關(guān)：只見那兇神惡煞的算術(shù)老師拿著算術(shù)課本，在用念唐詩的姿態(tài)念一個問題的解法，那姿態(tài)頗像八段錦里的“搖頭擺尾去心火”。坦白講我們的算術(shù)老師是個會算術(shù)的，他教應(yīng)用問題，往往就是照書上的東西抄一篇在黑板，然后對著書以抑揚(yáng)頓挫的聲調(diào)念， 嗡嗡的聲音，在炎熱的課室里，弄得我們都張著嘴巴，流著口水，昏昏沉沉在打瞌睡。有時他會河?xùn)|獅吼地叫同學(xué)在黑板做問題：“學(xué)數(shù)！今有雞兔同籠，頭數(shù)有21，腳數(shù)有70，問雞有多少頭？兔有多少頭？”這時我會嚇得兩只小腿在那里抖，勉強(qiáng)站在黑板前，可是腦子里什么解題的方法也沒有。剛才在昏昏沉沉作白日夢時，我想的是：“雞兔在一起，難道雞不會啄兔子嗎？祖母養(yǎng)的雞關(guān)進(jìn)籠子里，我有時切青菜給它們吃，有些雞還兇得啄我的手。小兔子和雞關(guān)在里面不是要遭殃嗎？”現(xiàn)在慘了，剛才我還為兔子擔(dān)心，現(xiàn)在輪到我遭殃了，我不知道怎么樣解這雞兔同籠的問題，老師有講解這題的公式，可是我的腦子卻連什么公式都裝不進(jìn)。在黑板前呆了幾分鐘，老師不耐煩，開始罵了：“你們真是蠢，教都不會。伸出手來！”于是課堂上響起噼啪噼啪可怕的聲音。最后我們回到坐位，用那火辣辣的紅腫的手擦眼淚和鼻涕，一面心中希望這堂課早點(diǎn)結(jié)束，或者老師明天病了不必教書；一面恨死那算術(shù)。（我的心地還好，沒有希望兇神嗚呼哀哉。）總的說，我們?nèi)鄬W(xué)生都不喜歡算術(shù)課，都怕算術(shù)課。我長大之后，有一次遇到小學(xué)時與我同班的同學(xué)，他一知道我去學(xué)數(shù)學(xué)，而且還教數(shù)學(xué)，他大吃一驚，第一個問題就是：“你還不怕算術(shù)嗎？”的確我還是怕算術(shù)，一個證明就是我做的惡夢，往往就是夢到我不會解算術(shù)問題，而吃老師的藤鞭。我想許多上了年紀(jì)的先生或者媽媽們，大多數(shù)都有我這樣慘痛的經(jīng)歷。到了以后讀李清照的詞，心有感觸，回想到以前學(xué)算術(shù)的凄涼情景，于是用她的詞句填下這樣的東西：“尋尋覓覓（找解題的方法），冷冷清清（整個課室鴉雀無聲），凄凄慘慘戚戚（吃了藤條之后）。半死不活時候，最難學(xué)習(xí)。三頭十腳難題，怎敵他藤條心毒。”有一次在一個國際性的會議上遇見一位曾經(jīng)是從事數(shù)學(xué)工作，后改行從事新聞工作者的老前輩，和他聊起，他說我們中國人的算術(shù)課有些真的是要改革，他以前曾幫那一個親戚的孩子解一個算術(shù)問題，卻無從著手，其實(shí)這樣的問題用代數(shù)一解就很容易解決了，也不必背什么公式。中國人的孩子精神負(fù)擔(dān)太大，一方面要學(xué)那么多難于學(xué)好的中文字，一方面又要學(xué)那么深和難的算術(shù)。如果這孩子遇到好先生，學(xué)得好，可能脫穎而出成一個“神童”，可是大部分的孩子卻要變成“蠢童”了。存在“快樂的算術(shù)”這老前輩的話，我認(rèn)為是有道理的，我希望許多從事數(shù)學(xué)教育工作的朋友們也注意一下這個問題。算術(shù)課不必搞到那么煩瑣恐怖，應(yīng)該考慮孩子的身心發(fā)展和心理，編寫和安排適合他們的教材，只要我們的教材改革得好，我敢肯定我們的下一代將會普遍喜歡數(shù)學(xué)，而科學(xué)人材將會大量產(chǎn)生出來。我們知道愛因斯坦小時的數(shù)學(xué)就很好。他曾經(jīng)回憶一件事，我覺得有復(fù)述的價值：愛因斯坦的叔父耶谷（Jakob）是一個電機(jī)工程師，本身是很喜歡數(shù)學(xué)。有一次小愛因斯坦問他：“代數(shù)”是什么東西？這叔父就解釋：代數(shù)是一門快樂的科學(xué)，我們要去捕獲我們不知名的小動物，我們把這東西稱為x，然后我們根據(jù)這游戲的規(guī)則建立一些關(guān)系，最后我們就能很容易的捉到它。耶谷叔叔要做生意，沒有太多時間解釋代數(shù)的內(nèi)容給小愛因斯坦，于是找了一本講代數(shù)的通俗、讀物小書給他看。愛因斯坦一面讀，一面用書里的方法來解決一些問題，于是在沒有老師教導(dǎo)的情況下，他自己很快掌握了代數(shù)這門數(shù)學(xué)。代數(shù)的確是一門很有威力的數(shù)學(xué)，我們現(xiàn)在就來看，利用代數(shù)怎么樣能很容易解決前面一群雁和雞兔同籠的問題。我們就用耶谷叔叔所講的方法，先考慮“一群雁”的問題。我們要知道那雁群的數(shù)目，可是我們現(xiàn)在卻不知道這群雁有多少，因此我們就設(shè)這個未知數(shù)目為x。我們現(xiàn)在把雁首領(lǐng)的話：“如果把我們的個數(shù)乘二再加上我們的數(shù)目的一半，再加上我們的數(shù)目的14，再加上你，那么我們才會有一 x=36你看！我們的作法是和鶴先生的方法一樣！現(xiàn)在讓我們來考慮雞兔同籠的問題，這問題的算術(shù)公式，我可以很坦白的說我到現(xiàn)在還記不起來，我想許多讀者可以試試看用他所記得的算術(shù)方法去解這問題。我們現(xiàn)在用代數(shù)就可以很容易解決，腦子里什么公式都不需要記。假定我不知道雞的數(shù)目和兔的數(shù)目，我先設(shè)雞的頭數(shù)是x，因?yàn)殡u頭+兔頭=21頭，所以兔頭=21-雞頭，即兔頭=（21-x）。我們知道雞有兩只腳，免有四只腳，現(xiàn)在我有x只雞，因此應(yīng)該有2x只雞腳，而我有21-x只兔，所以應(yīng)該有4（21-x）只兔腳。現(xiàn)在已知雞兔腳總共是70只。所以我們有下面的關(guān)系式：2x+4（21-x）=702x+84-4x=7084-2x=7084-2x+2x=70+2x84-70=2x+70-70所以 14=2x因此 7 =x所以雞有7只，免有21-7=14只。你看我們不是很容易就解決這問題嗎？的確“代數(shù)”是一門“快樂的數(shù)學(xué)”，你不必因?yàn)閷W(xué)習(xí)它時需要挨打和掉眼淚，你可以馬上利用它來解許多難題，這不是很好嗎？我不知道讀者是在什么時候?qū)W代數(shù)，我是在初中一才在一個好老師教導(dǎo)下學(xué)代數(shù)，第一次遇見不令我害怕的數(shù)學(xué)，以后才慢慢喜歡數(shù)學(xué)。而在兩三百年前，代數(shù)卻是在大學(xué)才有得教的。牛頓是17世紀(jì)時的大科學(xué)家，他有一個好朋友是皇家學(xué)會會長貝比斯（Pepys）。貝比斯最初從劍橋大學(xué)畢業(yè)，擔(dān)任英國海軍部合同處的法令秘書，可是他卻連替英皇置辦木材時需用的簡單算術(shù)都不懂，事實(shí)上在那個時代，小學(xué)生的算術(shù)知識很不超過“22”的水平，算術(shù)不是普遍上教育，也沒有得到廣泛應(yīng)用。貝比斯發(fā)現(xiàn)算術(shù)的用處，于是最初每天黎明四時起床，點(diǎn)燈背誦乘法表，不久妻子起床，和他一起學(xué)習(xí)，整個下午一起做算術(shù)習(xí)題。當(dāng)她學(xué)會加、減、乘法之后，貝比斯不敢再教她除法，怕她難接受，改教她怎樣學(xué)用地球儀，由此可以看出，時代在進(jìn)步，人類要學(xué)的東西一天比一天深入和重要。我現(xiàn)在認(rèn)為20世紀(jì)快要結(jié)束，21世紀(jì)將到，重要的該學(xué)的知識越來越多，我們是應(yīng)該把代數(shù)放在小學(xué)三年級來教了。我這樣的提議可能有一些教算術(shù)的先生們會大吃一驚，這不是要敲破他們的飯碗嗎？我說不要怕：如果小愛因斯坦能花一點(diǎn)時間自己看懂代數(shù)書，而小愛因斯坦小時并不是“天才神童”人人稱他為小“笨蛋”，那么我們聰明的大人先生們，只要花兩個星期準(zhǔn)備就可以一面學(xué)習(xí)，一面教代數(shù)了。而且你會發(fā)現(xiàn)教代數(shù)還比教那些復(fù)雜的四則應(yīng)用算術(shù)問題還容易。有什么好怕呢？我們中國人是有一個大缺點(diǎn)：思想很保守，不喜歡改革。1000年的好東西就抱殘守缺，不肯動腦筋改變一下。例如就像我的祖母小時要纏腳，辛亥革命之后把皇帝趕走，辮子剪掉，小腳解放，可是卻在那時候及民國十幾年，還有些人認(rèn)為女人腳綁成三寸金蓮還是好的，還有無聊文人寫詩贊美那小腳。我的祖母讀書不多，卻不要腳再束縛，于是不顧其他人反對，把她的腳解放，雖然已經(jīng)不幸畸型，但到現(xiàn)在還跑得比她年輕有纏腳的老婦女還要穩(wěn)當(dāng)。我祖母生下我父親時，祖父買了一個暖水瓶，等到我結(jié)婚時也買一個暖水瓶，我一瞧這個暖水瓶的樣子是和祖母的那個“老古董”一模一樣。去年年初，在美國遇見中國數(shù)學(xué)家陳景潤，景潤從他的國內(nèi)帶來的暖水瓶倒熱水泡茶請我喝，我好奇的拿他的大暖水瓶一瞧。我的天！還是完全和我的老祖母年青時用的一樣。而日本人制的暖水瓶早作許多改良，比我們精巧和實(shí)用的多，我們還在那里踏步不前，不舍得做一些改革。我祖母在我小時就常講：“如果你認(rèn)為對的事和對的話，就應(yīng)該講和做，不要怕其他人反對。”因此我在這里提出我的對數(shù)學(xué)教育的看法，希望有識之士不要因?yàn)楸Ｊ厮枷胱魉疃Q鼓攻之。事實(shí)上在中國北京，前年就有一個小學(xué)女教師在她的班上的算術(shù)課，試教一點(diǎn)代數(shù)（如果我沒搞錯，她的學(xué)生是在五、六年級），成績不錯。很受學(xué)生歡迎。我希望她的經(jīng)驗(yàn)?zāi)芷占暗饺袊男W(xué)，而且放到三年級開始，這樣我們的孩子不必花大多冤枉時間和氣力，而且以后可以早一些學(xué)到較深入的數(shù)學(xué)。另外一個例子我翻看一本中國1978年12月出的小學(xué)數(shù)學(xué)教師參考書：算術(shù)（這是由上海市中等師范學(xué)校教材編寫組和上海市安亭師范學(xué)校數(shù)學(xué)教研組合編寫的書）。在這書的256頁有一個例題，我現(xiàn)在抄下來：“兩箱茶葉共有176斤。從甲箱取出30斤放入乙箱后，甲箱比乙箱多12斤。兩箱原有茶葉各多少斤？”這參考書中這樣解釋：“從甲箱取出30斤放入乙箱后，如果兩箱茶葉正好相等的話，那么原來甲箱一定比乙箱多60斤（30斤2）。現(xiàn)在這樣做后，甲箱仍比乙箱多12斤，所以甲箱應(yīng)比乙箱多72斤（30斤2+12斤）。通過下面的線段圖（圖二），可以更明顯地看出相差的斤數(shù)。解 a）原來甲箱比乙箱多多少斤？302+12=72（斤）b）乙箱原有茶葉多少斤？（176-72）2=52（斤）c）甲箱原有茶葉多少斤？176-52=124（斤）或 52+72=124（斤）答：甲箱原有茶葉124斤，乙箱原有茶葉52斤。從上面可以看出，對于較復(fù)雜的應(yīng)用題，利用線段圖等，還常常可以使我們易于找出線索，并進(jìn)而找到解題的方法。我想如果小學(xué)生能學(xué)懂以上這樣（對我來說）復(fù)雜的方法，我想沒有理由他們學(xué)不懂下面這樣的方法：假定甲箱原有x斤。依題意：甲箱+乙箱=176斤所以 乙箱=（176-x）斤甲箱取出30斤放入乙箱，這時甲箱有x-30斤。而乙箱有（176-x）+30=206-x斤。根據(jù)題意甲箱這時比乙箱多12斤。因此（x-30）-（206-x）=12即 x-30-206+x=122x=12+30+206=248乙箱=176-x=176-124=52斤你看！這不是很明白易懂，而且易算嗎？這樣好的數(shù)學(xué)方法不在兒童小時就教，反而去教那樣解釋多多的算術(shù)解法，打個比方：要這些小孩子準(zhǔn)備往科學(xué)道路長征，不但不教他們怎樣輕裝出發(fā)，學(xué)會節(jié)省體力，反而一開始就把沒有什么大用的瓶瓶罐罐，要他們背著走，走不了多遠(yuǎn)，他們負(fù)擔(dān)增加，會精疲力盡，最后只能遙望科學(xué)寶宮的大門興嘆，因?yàn)椤靶胁坏靡哺绺纭保瑳]有興趣沒有勁啦！整數(shù)表示為連續(xù)整數(shù)的和有一個數(shù)學(xué)現(xiàn)象是很有趣而且奇怪，我以前曾經(jīng)花一段時間要知道為什么會如此，如果知道一點(diǎn)代數(shù)，這個問題就會很容易被解決。我們看1，2，3，4，5，一直下去，其中有許多整數(shù)是有這樣的奇怪性質(zhì)，它可以用前面的一串連續(xù)整數(shù)的和得到。例如3=1+2，4不行，5=2+3，6=1+2+3，7=3+4，8不行，9=4+5，10=1+2+3+4，11=5+6，12=3+4+5，13=6+7，14=2+3+4+5，15=7+8=1+2+3+4+5。讀者可以自己繼續(xù)算下去，你會發(fā)現(xiàn)許多有趣的現(xiàn)象，“欲知有何神奇，需待自身探秘”，我沒有必要在這里一一講出，這會使你失去對這問題研究的興趣。如果你一直算到200，你會發(fā)現(xiàn)從100開始，我們有100=18+19+20+21+22，101=50+51，102=33+34+35，103=51+52，104=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14等等，而從 100到200之間，只有一個數(shù)128是唯一你沒法用連續(xù)整數(shù)的和來表示它。對這問題我敢拿出1000元與你挑戰(zhàn)，你一定沒法找到，如果你能找到我就奉送這1000元?？墒俏蚁嘈盼疫@1000元是太平無事，因?yàn)槭澜缟蠜]有一個人能表示128為連續(xù)整數(shù)的和。我們現(xiàn)在問幾個問題：（1）什么樣的整數(shù)才能表示為連續(xù)整數(shù)的和？我們看到2，4，8，16，32，64，128等等都不行，這些數(shù)都是 2k的樣子，是否形如 2k的數(shù)都不能有這樣的表示？（2）那些能表示為連續(xù)整數(shù)的整數(shù)的個數(shù)是否無窮還是有限？從我們實(shí)際驗(yàn)算，我們多數(shù)會猜測它們應(yīng)該是有無窮，可是怎么證明呢？好，假如我現(xiàn)在有一個整數(shù)N，而我能找到一串連續(xù)整數(shù)的和來表示它。我們現(xiàn)在假定這連續(xù)整數(shù)開頭是 x，x+1，y。即：N=x+（x+1）+y讀者還記得小高斯怎么算1+2+3+100的故事嗎？（見：數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事（一）的“級數(shù)趣談”）我們要用他發(fā)現(xiàn)的公式來算N：N=1+2+3+x+（x+1）+y-1+2+3+（x-1）現(xiàn)假定x+d=y（這里d1），代入上式可得：現(xiàn)在我們對d來考慮：情