FDTD方法.doc

有限差分法(FDM)的起源,討論其在靜電場求解中的應(yīng)用.以鋁電解槽物理模型為例,采用FDM對其場域進(jìn)行離散,使用MATLAB和C求解了各節(jié)點(diǎn)的電位.由此,繪制了整個場域的等位線和電場強(qiáng)度矢量分布.同時,討論了加速收斂因子對超松弛迭代算法迭代速度的影響,以及具有正弦邊界條件下的電場分布.有限差分法 有限差分方法(FDM)是計算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。 分類對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。 構(gòu)造差分的方法構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式2 時域有限差分法 時域有限差分法是一種在時域中求解的數(shù)值計算方法，求解電磁場問題的FDTD方法是基于在時間和空間域中對Maxwell旋度方程的有限差分離散化一以具有兩階精度的中心有限差分格式來近似地代替原來微分形式的方程。FDTD方法模擬空間電磁性質(zhì)的參數(shù)是按空間網(wǎng)格給出的，只需給定相應(yīng)空間點(diǎn)的媒質(zhì)參數(shù)，就可模擬復(fù)雜的電磁結(jié)構(gòu)。時域有限差分法是在適當(dāng)?shù)倪吔绾统跏紬l件下解有限差分方程，使電磁波的時域特性直接反映出來，直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息，用清晰的圖像描述復(fù)雜的物理過程。網(wǎng)格剖分是FDTD方法的關(guān)鍵問題，Yee提出采用在空間和時間都差半個步長的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，通過類似蛙步跳躍式的步驟用前一時刻的磁、電場值得到當(dāng)前時刻的電、磁場值，并在每一時刻上將此過程算遍整個空間，于是可得到整個空間域中隨時間變化的電、磁場值的解。這些隨時間變化的電、磁場值是再用Fourier變換后變到相應(yīng)頻域中的解。 在各向同性媒質(zhì)中，Maxwell方程中的兩個旋度方程具有以下形式(式(1)(2)。 式中，為媒質(zhì)的介電常數(shù)；為媒質(zhì)的磁導(dǎo)率；為媒質(zhì)的電導(dǎo)率；*為媒質(zhì)的等效磁阻率，它們都是空間和時間變量的函數(shù)。 在直角坐標(biāo)系中，矢量式(1)(2)可以展開成以下六個標(biāo)量式。 為了用差分離散的代數(shù)式恰當(dāng)?shù)孛枋鲭姶艌鲈诳臻g的傳播特性，Yee提出了Yee Cell結(jié)構(gòu)，在這種結(jié)構(gòu)中，每一磁場分量總有四個電場分量環(huán)繞，同樣每一電場分量總有四個磁場分量環(huán)繞，Yee對和分量在網(wǎng)格單位上的分布情況如圖1所示。為達(dá)到精度，Yee計算和時在時間上錯開半個步長，用中心差商展開偏微分方程組，得到x軸方向電場和磁場FDTD迭代公式(式(9)(10)，Y軸和z軸迭代公式與x軸迭代公式成對稱形式(略)。 FDTD方法是Maxwell方程的一種近似求解方法，為了保證計算結(jié)果的可靠性，必須考慮差分離散所引起的算法穩(wěn)定性和數(shù)值色散問題，時間步長和空間步長應(yīng)滿足(11)(12)條件。 其中，=min(x，y，z)；max為電磁波在媒質(zhì)中傳播的最大相速；min為電磁波在媒質(zhì)中的最小波長值。 式中x，y和z分別是在x，y和z坐標(biāo)方向的空間步長，t是時間步長，ij和k和n是整數(shù)。隧道根據(jù)穿過的道路不同,可分為公路隧道和鐵路隧道,公路隧道可分為高速公路隧道和城區(qū)公路隧道,鐵路隧道可分為高速鐵路隧道和普通鐵路隧道。其中公路隧道比鐵路隧道內(nèi)部空間較為寬敞,且車在內(nèi)部運(yùn)行過程中無線信號波動較小。根據(jù)隧道的長度可將隧道分為短距離隧道、中長距離隧道和長距離隧道,長度小于200米的隧道稱為短距離隧道,長度在200米到2000米之間的隧道稱為中長距離隧道,長度在2000米以上的隧道稱為長距離隧道。另外,隧道可以分為單洞雙向和雙洞單向兩種形態(tài)。據(jù)統(tǒng)計,我國現(xiàn)有公路隧道7384處,總長度達(dá)5122.6公里。其中,特長隧道265處,共長1138公里;長隧道1218處,共長2020.8公里。從Yee氏算法出發(fā),根據(jù)Maxwell旋度方程推導(dǎo)出二維TM波的電場分量和磁場分量差分格式。在吸收邊界條件為PML且激勵源為雷克子波的條件下,編寫二維TM波的FDTD的計算程序,對不同的地電模型進(jìn)行數(shù)值模擬