高中數(shù)學第一章計數(shù)原理4簡單計數(shù)問題課件北師大版選修2_3

4簡單計數(shù)問題 第一章計數(shù)原理 學習目標1 進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 2 進一步深化排列與組合的概念 3 能綜合運用排列 組合解決計數(shù)問題 題型探究 知識梳理 內(nèi)容索引 當堂訓練 知識梳理 知識點一兩個計數(shù)原理 1 分類加法計數(shù)原理 加法原理 完成一件事 可以有n類辦法 在第一類辦法中有m1種方法 在第二類辦法中有m2種方法 在第n類辦法中有mn種方法 那么 完成這件事共有N 種方法 2 分步乘法計數(shù)原理 乘法原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟 缺一不可 做第一步有m1種方法 做第二步有m2種方法 做第n步有mn種方法 那么 完成這件事共有N 種方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 3 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù) 它們的區(qū)別在于 分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān) 各種方法相互獨立 用其中的任一種方法都可以完成這件事 分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān) 各個步驟相互依存 只有各個步驟都完成了 這件事才算完成 知識點二排列 1 排列從n個的元素中取出m m n 個元素 按照一定的排成一列 叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列 順序 不同 2 排列數(shù) n n 1 n 2 n m 1 n 1 知識點三組合 1 組合一般地 從n個不同的元素中 任取m m n 個元素為一組 叫作從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合 2 組合數(shù) 1 組合數(shù)定義 從n個不同元素中取出m m n 個元素的 叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù) 用符號表示 所有組合的個數(shù) 2 組合數(shù)公式 1 特別提醒 1 排列組合綜合題的一般解法一般堅持先組后排的原則 即先選元素后排列 同時注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類 2 解決有限制條件的排列 組合問題的一般策略 1 特殊元素優(yōu)先安排的策略 2 正難則反 等價轉(zhuǎn)化的策略 3 相鄰問題捆綁處理的策略 4 不相鄰問題插空處理的策略 5 定序問題除法處理的策略 6 小集團 排列問題中先整體后局部的策略 7 平均分組問題 除法處理的策略 8 構(gòu)造模型的策略 題型探究 解析在甲箱或乙箱中抽取幸運之星 決定了后邊選幸運伙伴是不同的 故要分兩類分別計算 1 幸運之星在甲箱中抽 先確定幸運之星 再在兩箱中各確定一名幸運伙伴 有30 29 20 17400 種 結(jié)果 2 幸運之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400 種 結(jié)果 因此共有17400 11400 28800 種 不同結(jié)果 命題角度1 類中有步 的計數(shù)問題 類型一兩個計數(shù)原理的應用 例1電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱 其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾 若先確定一名幸運之星 再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴 有 種不同的結(jié)果 解析 答案 28800 用流程圖描述計數(shù)問題 類中有步的情形如圖所示 反思與感悟 具體意義如下 從A到B算作一件事的完成 完成這件事有兩類辦法 在第1類辦法中有3步 在第2類辦法中有2步 每步的方法數(shù)如圖所示 所以 完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3 m4m5 類 與 步 可進一步地理解為 類 用 號連接 步 用 號連接 類 獨立 步 連續(xù) 類 標志一件事的完成 步 缺一不可 解析如圖所示 將原圖從上而下的4個區(qū)域標為1 2 3 4 因為1 2 3之間不能同色 1與4可以同色 因此 要分類討論1 4同色與不同色這兩種情況 故不同的著色方法種數(shù)為4 3 2 4 3 2 1 48 故選D 跟蹤訓練1現(xiàn)有4種不同顏色 要對如圖所示的四個部分進行著色 要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色 則不同的著色方法共有A 24種B 30種C 36種D 48種 解析 答案 命題角度2 步中有類 的計數(shù)問題 例2有4位同學在同一天的上 下午參加 身高與體重 立定跳遠 肺活量 握力 臺階 五個項目的測試 每位同學上 下午各測試一個項目 且不重復 若上午不測 握力 項目 下午不測 臺階 項目 其余項目上 下午都各測一人 則不同的安排方式共有 種 用數(shù)字作答 解析 答案 264 解析上午總測試方法有4 3 2 1 24 種 我們以A B C D E依次代表五個測試項目 若上午測試E的同學下午測試D 則上午測試A的同學下午只能測試B C 確定上午測試A的同學后其余兩位同學上 下午的測試方法共有2種 若上午測試E的同學下午測試A B C之一 則上午測試A B C中任何一個的同學下午都可以測試D 安排完這位同學后其余兩位同學的測試方式就確定了 故共有3 3 9 種 測試方法 即下午的測試方法共有11種 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 總的測試方法共有24 11 264 種 用流程圖描述計數(shù)問題 步中有類的情形如圖所示 反思與感悟 從計數(shù)的角度看 由A到D算作完成一件事 可簡單地記為A D 完成A D這件事 需要經(jīng)歷三步 即A B B C C D 其中B C這步又分為三類 這就是步中有類 其中mi i 1 2 3 4 5 表示相應步的方法數(shù) 完成A D這件事的方法數(shù)為m1 m2 m3 m4 m5 以上給出了處理步中有類問題的一般方法 跟蹤訓練2如圖所示 使電路接通 開關(guān)不同的開閉方式共有A 11B 12C 20D 21 解析 答案 解析根據(jù)題意 設5個開關(guān)依次為1 2 3 4 5 如圖所示 若電路接通 則開關(guān)1 2與3 4 5中至少有1個接通 對于開關(guān)1 2 共有2 2 4 種 情況 其中全部斷開的有1 種 情況 則其至少有1個接通的有4 1 3 種 情況 對于開關(guān)3 4 5 共有2 2 2 8 種 情況 其中全部斷開的有1 種 情況 則其至少有1個接通的有8 1 7 種 情況 則電路接通的情況有3 7 21 種 故選D 命題角度1不同元素的排列 組合問題 解答 類型二排列與組合的綜合應用 例3有4張分別標有數(shù)字1 2 3 4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1 2 3 4的藍色卡片 從這8張卡片中取出4張卡片排成一行 如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10 則不同的排法共有多少種 解分三類 第一類 當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1 2 3 4時 不同的排法有種 第二類 當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1 1 4 4時 不同的排法有種 第三類 當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2 2 3 3時 不同的排法有種 故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為 432 1 解排列 組合綜合問題的一般思路是 先選后排 也就是先把符合題意的元素都選出來 再對元素或位置進行排列 2 解排列 組合綜合問題時的注意點 元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法 無序的問題是組合問題 有序的問題是排列問題 對于有多個限制條件的復雜問題 應認真分析每個限制條件 然后再考慮是分類還是分步 這是處理排列 組合綜合問題的一般方法 反思與感悟 跟蹤訓練3從1 3 5 7 9中任取3個數(shù)字 從0 2 4 6 8中任取2個數(shù)字 一共可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù) 解答 解 1 五位數(shù)中不含數(shù)字0 第1步 選出5個數(shù)字 共有種選法 第2步 排成偶數(shù) 先排末位數(shù) 有種排法 再排其他四位數(shù)字 有種排法 所以N1 2 五位數(shù)中含有數(shù)字0 第1步 選出5個數(shù)字 共有種選法 第2步 排順序又可分為兩小類 末位排0 有種排列方法 末位不排0 這時末位數(shù)有種選法 而因為0不能排在首位 所以首位有種排法 其余3個數(shù)字則有種排法 所以N2 所以符合條件的偶數(shù)個數(shù)為N N1 N2 4560 命題角度2含有相同元素的排列 組合問題 例4今有2個紅球 3個黃球 4個白球 同色球不加區(qū)分 將這9個球排成一列 有 種不同的方法 解析 答案 1260 解析方法一 元素分析法 先將這9個球視為不同的元素 共有種排法 再來消去同色球的順序 因2個不同紅球有種排法 3個不同黃球有種排法 4個不同白球有種排法 故符合題意的方法有 1260 種 方法二 位置分析法 第一步 從9個位置中選出2個位置 分給相同的紅球 有種選法 第二步 從剩余的7個位置中選出3個位置 分給相同的黃球 有種選法 第三步 剩下的4個位置全部分給4個白球 有1種選法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得 符合題意的方法有 1260 種 針對對部分元素相同的n個不同元素進行排列的問題 有兩種解決方法 1 先把這些元素看作全不相同的元素進行排列 再設法消去相同元素的順序 2 從位置進行分析 因為位置全不相同 可以分別給相同的每一類元素找位置 反思與感悟 跟蹤訓練4為減輕學生經(jīng)濟負擔且又能滿足學生求知要求 某班級利用班費買了4本相同的數(shù)學資料書 3本相同的外語資料書 2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學們學習使用 現(xiàn)有8人去借閱圖書 每人只能借閱一本 則有多少種借閱方法 解答 解第一類 剩下的一本書是數(shù)學資料書 此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為3 3 2的三堆 這三堆分別借閱數(shù)學 外語 物理資料書 其借法共有 560 種 第二類 剩下的一本書是外語資料書 此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為4 2 2的三堆 這三堆分別借閱數(shù)學 外語 物理資料書 其借法共有 420 種 第三類 剩下的一本書是物理資料書 此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為4 3 1的三堆 這三堆分別借閱數(shù)學 外語 物理資料書 其借法共有 280 種 根據(jù)分類加法計數(shù)原理 可得借閱方法共有560 420 280 1260 種 當堂訓練 2 3 4 5 1 1 李芳有4件不同顏色的襯衣 3件不同花樣的裙子 另有兩套不同樣式的連衣裙 五一 節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出 則李芳的不同的選擇方式有A 24種B 14種C 10種D 9種 解析 解析由題意可得李芳不同的選擇方式為4 3 2 14 故選B 答案 2 3 4 5 1 2 設4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動的可能結(jié)果有a種 這4名學生在運動會上共同爭奪100米 跳遠 鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種 則 a b 為A 34 34 B 43 34 C 34 43 D 答案 解析 解析首先每名學生報名有3種選擇 有4名學生 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有34種選擇 每項冠軍有4種可能的結(jié)果 3項冠軍根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有43種可能結(jié)果 故選C 2 3 4 5 1 3 三位數(shù)中 如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小 則稱這個數(shù)為凹數(shù) 如524 746等都是凹數(shù) 那么 各個數(shù)位上無重復數(shù)字的三位凹數(shù)有A 72個B 120個C 240個D 360個 答案 解析 2 3 4 5 1 4 某電視臺連續(xù)播放5個廣告 其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告 要求最后播放的必須是公益宣傳廣告 且2個公益宣傳廣告不能連續(xù)播放 則不同的播放方式有 種 答案 36 解析 解析先安排后2個 再安排前3個 由分步乘法計數(shù)原理知 共有 36 種 不同的播放方式 5 已知xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 則滿足x1 x2 x3 x4 x5 x6 2的數(shù)組 x1 x2 x3 x4 x5 x6 的個數(shù)為 答案 解析 解析根據(jù)題意 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 xi中有2個1和4個0 或3個1