3 圖像變換.ppt

第三講圖像變換 3 1引言3 2空域變換3 2 1代數(shù)運算3 2 2幾何運算3 3傅立葉變換3 3 1傅立葉變換基本概念3 3 2傅立葉變換基本性質 3 4小波變換3 4 1連續(xù)小波變換3 4 2離散小波變換3 4 3二維離散小波變換3 4 4小波變換的應用 3 1引言 數(shù)字圖像變換的特點在于其有精確的數(shù)學背景 是許多圖像處理技術的基礎 在這些變換中 一種是在空域上進行的 這些變換根據(jù)處理操作的特點 可以分為圖像的代數(shù)運算和幾何運算 它們都是利用對輸入圖像進行加工而得到輸出圖像 另一種則是將原圖像空間的圖像以某種形式轉換到另外一些空間 并利用輸入圖像在這些空間的特有性質有效而快速地對圖像進行處理和分析 最典型的變換有離散傅立葉變換 它把空間域中的圖像信號看作二維序列 將其變換到頻率域來分析圖像的頻譜特性 除了傅立葉變換外 還有其他變換 這里介紹近年來迅速發(fā)展的小波變換 3 2空域變換 3 2 1代數(shù)運算圖像的代數(shù)運算是指對兩幅圖像進行點對點的四則運算而得到一幅新的輸出圖像 圖像的代數(shù)運算在圖像處理中有著廣泛的應用 它除了可以實現(xiàn)自身所需要的算術操作 還能為許多復雜的圖像處理提供準備 1 加法運算2 減法運算 差分 3 2 2幾何運算幾何運算可以改變圖像中物體之間的空間關系 這種運算可以看成是圖像內的各物體在圖像內移動的過程 例如 物體的轉動 扭曲 傾斜 拉伸等等 都是幾何運算的結果 平移 放縮 旋轉 放縮 0 0 x y 平移 0 0 x y 旋轉 復雜變換右圖顯示了在失真和相應的校正圖像中的四邊形區(qū)域 四邊的頂點是相應的 控制點 假設四邊形區(qū)域中的幾何形變過程用雙線性方程對來建模 即 F D C B A F D C A B 幾何變換的應用圖像在生成過程中 由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同 會使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真 幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真 系統(tǒng)失真是有規(guī)律的 能預測的 非系統(tǒng)失真則是隨機的 但對圖像作定量分析時 就要對失真的圖像進行幾何校正 即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像 以免影響分析精度 基本方法是先建立幾何校正的數(shù)學模型 其次利用已知條件確定模型參數(shù) 最后根據(jù)模型對圖像進行幾何校正 通常分為兩步 1 選擇要校正圖像的控制點 2 選擇模型參數(shù)執(zhí)行重采樣校正 應用舉例 遙感圖像的幾何校正 ERDASIMAGINE是美國ERDAS公司開發(fā)的專業(yè)遙感數(shù)字圖像處理系統(tǒng) 它以模塊化的方式提供給用戶 可為不同的用戶根據(jù)不同的需求 完成對遙感數(shù)字圖像的幾何校正 分割 合并 縮放 分類和信息提取等處理 請同學們了解其大致過程 3 3離散傅立葉變換 3 3 1為什么要學習傅立葉變換 法國數(shù)學家傅立葉指出 1807 無論函數(shù)多么復雜 任何周期函數(shù) 且滿足一定數(shù)學條件 都可以表示為不同頻率的正弦和或余弦和的形式 每個正弦或余弦乘以不同的系數(shù) 傅立葉級數(shù) 甚至非周期性的函數(shù) 曲線有限情況下 也可以用正弦或余弦乘以加權函數(shù)的積分表示 傅立葉變換 這個革命性的概念被當時數(shù)學家們質疑了幾乎一個世紀 20世紀50年代以后 傅立葉的思想使工業(yè)和學術界都空前繁榮 因為隨數(shù)字計算發(fā)展和傅立葉變換方法可以使人類對數(shù)字信號進行實際有效的處理和有意義的解釋 因此 傅立葉變換成為數(shù)字信號 圖像 處理領域的重要理論和方法基礎 3 3 2傅立葉變換 令f x 為實變量x的連續(xù)函數(shù) f x 的傅立葉變換以F f x 表示 則表達式為 這兩個等式稱為 一維傅立葉變換對 如果擴展到兩個變量即二維 式中 u x 0 1 2 M 1 v y 0 1 2 N 1 x y為空 時 域變量 u v為頻域變量 表明一個重要事實 一個函數(shù)可以從它的反變換中重新獲得 若令f x y 為原圖像 則F u v 則為新圖像 如果f x y 是連續(xù)和可積分的 且F u v 可積 則存在 二維傅立葉變換對 對數(shù)字圖像而言 我們感興趣的是離散函數(shù) 先討論一維函數(shù)的情況 式中 u 0 1 2 M 1 式中 x 0 1 2 M 1 關于計算量問題 關于頻率域的含義 頻率域的概念 由歐拉公式可得 將其代入一維離散傅立葉正變換公式 可得 式中 u 0 1 2 M 1 對于每個u值 都由f x 函數(shù)所有值的和組成 F u 的M項中的每一項稱為頻率分量 F u 取值范圍稱為頻率域 三棱鏡 線性濾波 上述是一維情況 那么二維呢 上式表明了對M N像素尺寸的數(shù)字圖像f x y 的二維離散傅立葉變換 式中 x y為空間域變量 u v為頻率域變量 傅立葉變換公式看起來很復雜 為了分析方便 可將其簡化寫成復數(shù)形式 實部和虛部的公式請參見P44 實部 虛部 頻率譜 幅度 相角 相位譜 功密度 譜密度 1 可分離性 由可分離性可知 一個二維傅立葉變換可分解為兩步進行 其中每一步都是一個一維傅立葉變換 先對f x y 按列進行傅立葉變換得到F x v 再對F x v 按行進行傅立葉變換 便可得到f x y 的傅立葉變換結果 顯然對f x y 先按行進行離散傅立葉變換 再按列進行離散傅立葉變換也是可行的 用兩次一維DFT計算二維DFT 離散傅立葉變換的性質 2 平移性質 平移性質表明 只要將f x y 乘以因子 1 x y 再進行離散傅立葉變換 即可將圖像的頻譜原點 0 0 移動到圖像中心 M 2 N 2 處 圖中是簡單方塊圖像平移的結果 傅立葉頻譜平移示意圖 a 原圖像 b 無平移的傅立葉頻譜 c 平移后的傅立葉頻譜 3 旋轉不變性 由旋轉不變性可知 如果時域中離散函數(shù)旋轉 0角度 則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉同樣的角度 離散傅立葉變換的旋轉不變性 離散傅立葉變換的旋轉不變性 a 原始圖像 b 原始圖像的傅立葉頻譜 c 旋轉45 后的圖像 d 圖像旋轉后的傅立葉頻譜 3 3小波變換簡介 信號分析是為了獲得時間和頻率之間的相互關系 傅立葉變換提供了有關頻率域的信息 但有關時間的局部化信息卻基本丟失 與傅立葉變換不同 小波變換是通過縮放母小波 Motherwavelet 的寬度來獲得信號的頻率特征 通過平移母小波來獲得信號的時間信息 對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波系數(shù) 這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關程度 樂譜到有時間的樂譜 1 連續(xù)小波變換 CWT 像傅立葉分析一樣 小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波 因此小波是小波變換的基函數(shù) 小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉變換的結果 下面舉例說明小波特點 a 正弦波曲線 b 小波曲線 正弦波和小波的區(qū)別 正弦波從負無窮一直延續(xù)到正無窮 正弦波是平滑而且是可預測的 而小波是一類在有限區(qū)間內快速衰減到0的函數(shù) 其平均值為0 小波趨于不規(guī)則 不對稱 從小波和正弦波的形狀可以看出 變化劇烈的信號 用不規(guī)則的小波進行分析比用平滑的正弦波更好 即用小波更能描述信號的局部特征 連續(xù)小波變換 ContinuousWaveletTransform CWT 用下式表示 表明 小波變換是信號f t 與被縮放和平移的小波函數(shù) 之積在信號存在的整個期間里求和的結果 CWT的變換結果是許多小波系數(shù)C 這些系數(shù)是縮放因子 scale 和平移因子 positon 的函數(shù) 基本小波函數(shù) 的縮放和平移操作含義如下 1 縮放 簡單地講 縮放就是壓縮或伸展基本小波 縮放系數(shù)越小 則小波越窄 小波的縮放操作 2 平移 簡單地講 平移就是小波的延遲或超前 在數(shù)學上 函數(shù)f t 延遲k的表達式為f t k 小波的平移操作 a 小波函數(shù) t b 位移后的小波函數(shù) t k 2 離散小波變換 DWT 在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù) 其計算量相當大 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量 而且有許多數(shù)據(jù)是無用的 如果縮放因子和平移參