3 圖像變換.ppt

第三講圖像變換 3 1引言3 2空域變換3 2 1代數(shù)運(yùn)算3 2 2幾何運(yùn)算3 3傅立葉變換3 3 1傅立葉變換基本概念3 3 2傅立葉變換基本性質(zhì) 3 4小波變換3 4 1連續(xù)小波變換3 4 2離散小波變換3 4 3二維離散小波變換3 4 4小波變換的應(yīng)用 3 1引言 數(shù)字圖像變換的特點(diǎn)在于其有精確的數(shù)學(xué)背景 是許多圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ) 在這些變換中 一種是在空域上進(jìn)行的 這些變換根據(jù)處理操作的特點(diǎn) 可以分為圖像的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算 它們都是利用對(duì)輸入圖像進(jìn)行加工而得到輸出圖像 另一種則是將原圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間 并利用輸入圖像在這些空間的特有性質(zhì)有效而快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析 最典型的變換有離散傅立葉變換 它把空間域中的圖像信號(hào)看作二維序列 將其變換到頻率域來分析圖像的頻譜特性 除了傅立葉變換外 還有其他變換 這里介紹近年來迅速發(fā)展的小波變換 3 2空域變換 3 2 1代數(shù)運(yùn)算圖像的代數(shù)運(yùn)算是指對(duì)兩幅圖像進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的四則運(yùn)算而得到一幅新的輸出圖像 圖像的代數(shù)運(yùn)算在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用 它除了可以實(shí)現(xiàn)自身所需要的算術(shù)操作 還能為許多復(fù)雜的圖像處理提供準(zhǔn)備 1 加法運(yùn)算2 減法運(yùn)算 差分 3 2 2幾何運(yùn)算幾何運(yùn)算可以改變圖像中物體之間的空間關(guān)系 這種運(yùn)算可以看成是圖像內(nèi)的各物體在圖像內(nèi)移動(dòng)的過程 例如 物體的轉(zhuǎn)動(dòng) 扭曲 傾斜 拉伸等等 都是幾何運(yùn)算的結(jié)果 平移 放縮 旋轉(zhuǎn) 放縮 0 0 x y 平移 0 0 x y 旋轉(zhuǎn) 復(fù)雜變換右圖顯示了在失真和相應(yīng)的校正圖像中的四邊形區(qū)域 四邊的頂點(diǎn)是相應(yīng)的 控制點(diǎn) 假設(shè)四邊形區(qū)域中的幾何形變過程用雙線性方程對(duì)來建模 即 F D C B A F D C A B 幾何變換的應(yīng)用圖像在生成過程中 由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同 會(huì)使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真 幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真 系統(tǒng)失真是有規(guī)律的 能預(yù)測(cè)的 非系統(tǒng)失真則是隨機(jī)的 但對(duì)圖像作定量分析時(shí) 就要對(duì)失真的圖像進(jìn)行幾何校正 即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像 以免影響分析精度 基本方法是先建立幾何校正的數(shù)學(xué)模型 其次利用已知條件確定模型參數(shù) 最后根據(jù)模型對(duì)圖像進(jìn)行幾何校正 通常分為兩步 1 選擇要校正圖像的控制點(diǎn) 2 選擇模型參數(shù)執(zhí)行重采樣校正 應(yīng)用舉例 遙感圖像的幾何校正 ERDASIMAGINE是美國ERDAS公司開發(fā)的專業(yè)遙感數(shù)字圖像處理系統(tǒng) 它以模塊化的方式提供給用戶 可為不同的用戶根據(jù)不同的需求 完成對(duì)遙感數(shù)字圖像的幾何校正 分割 合并 縮放 分類和信息提取等處理 請(qǐng)同學(xué)們了解其大致過程 3 3離散傅立葉變換 3 3 1為什么要學(xué)習(xí)傅立葉變換 法國數(shù)學(xué)家傅立葉指出 1807 無論函數(shù)多么復(fù)雜 任何周期函數(shù) 且滿足一定數(shù)學(xué)條件 都可以表示為不同頻率的正弦和或余弦和的形式 每個(gè)正弦或余弦乘以不同的系數(shù) 傅立葉級(jí)數(shù) 甚至非周期性的函數(shù) 曲線有限情況下 也可以用正弦或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分表示 傅立葉變換 這個(gè)革命性的概念被當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們質(zhì)疑了幾乎一個(gè)世紀(jì) 20世紀(jì)50年代以后 傅立葉的思想使工業(yè)和學(xué)術(shù)界都空前繁榮 因?yàn)殡S數(shù)字計(jì)算發(fā)展和傅立葉變換方法可以使人類對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行實(shí)際有效的處理和有意義的解釋 因此 傅立葉變換成為數(shù)字信號(hào) 圖像 處理領(lǐng)域的重要理論和方法基礎(chǔ) 3 3 2傅立葉變換 令f x 為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù) f x 的傅立葉變換以F f x 表示 則表達(dá)式為 這兩個(gè)等式稱為 一維傅立葉變換對(duì) 如果擴(kuò)展到兩個(gè)變量即二維 式中 u x 0 1 2 M 1 v y 0 1 2 N 1 x y為空 時(shí) 域變量 u v為頻域變量 表明一個(gè)重要事實(shí) 一個(gè)函數(shù)可以從它的反變換中重新獲得 若令f x y 為原圖像 則F u v 則為新圖像 如果f x y 是連續(xù)和可積分的 且F u v 可積 則存在 二維傅立葉變換對(duì) 對(duì)數(shù)字圖像而言 我們感興趣的是離散函數(shù) 先討論一維函數(shù)的情況 式中 u 0 1 2 M 1 式中 x 0 1 2 M 1 關(guān)于計(jì)算量問題 關(guān)于頻率域的含義 頻率域的概念 由歐拉公式可得 將其代入一維離散傅立葉正變換公式 可得 式中 u 0 1 2 M 1 對(duì)于每個(gè)u值 都由f x 函數(shù)所有值的和組成 F u 的M項(xiàng)中的每一項(xiàng)稱為頻率分量 F u 取值范圍稱為頻率域 三棱鏡 線性濾波 上述是一維情況 那么二維呢 上式表明了對(duì)M N像素尺寸的數(shù)字圖像f x y 的二維離散傅立葉變換 式中 x y為空間域變量 u v為頻率域變量 傅立葉變換公式看起來很復(fù)雜 為了分析方便 可將其簡(jiǎn)化寫成復(fù)數(shù)形式 實(shí)部和虛部的公式請(qǐng)參見P44 實(shí)部 虛部 頻率譜 幅度 相角 相位譜 功密度 譜密度 1 可分離性 由可分離性可知 一個(gè)二維傅立葉變換可分解為兩步進(jìn)行 其中每一步都是一個(gè)一維傅立葉變換 先對(duì)f x y 按列進(jìn)行傅立葉變換得到F x v 再對(duì)F x v 按行進(jìn)行傅立葉變換 便可得到f x y 的傅立葉變換結(jié)果 顯然對(duì)f x y 先按行進(jìn)行離散傅立葉變換 再按列進(jìn)行離散傅立葉變換也是可行的 用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT 離散傅立葉變換的性質(zhì) 2 平移性質(zhì) 平移性質(zhì)表明 只要將f x y 乘以因子 1 x y 再進(jìn)行離散傅立葉變換 即可將圖像的頻譜原點(diǎn) 0 0 移動(dòng)到圖像中心 M 2 N 2 處 圖中是簡(jiǎn)單方塊圖像平移的結(jié)果 傅立葉頻譜平移示意圖 a 原圖像 b 無平移的傅立葉頻譜 c 平移后的傅立葉頻譜 3 旋轉(zhuǎn)不變性 由旋轉(zhuǎn)不變性可知 如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn) 0角度 則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度 離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性 離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性 a 原始圖像 b 原始圖像的傅立葉頻譜 c 旋轉(zhuǎn)45 后的圖像 d 圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜 3 3小波變換簡(jiǎn)介 信號(hào)分析是為了獲得時(shí)間和頻率之間的相互關(guān)系 傅立葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息 但有關(guān)時(shí)間的局部化信息卻基本丟失 與傅立葉變換不同 小波變換是通過縮放母小波 Motherwavelet 的寬度來獲得信號(hào)的頻率特征 通過平移母小波來獲得信號(hào)的時(shí)間信息 對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波系數(shù) 這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號(hào)之間的相關(guān)程度 樂譜到有時(shí)間的樂譜 1 連續(xù)小波變換 CWT 像傅立葉分析一樣 小波分析就是把一個(gè)信號(hào)分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波 因此小波是小波變換的基函數(shù) 小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果 下面舉例說明小波特點(diǎn) a 正弦波曲線 b 小波曲線 正弦波和小波的區(qū)別 正弦波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮 正弦波是平滑而且是可預(yù)測(cè)的 而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù) 其平均值為0 小波趨于不規(guī)則 不對(duì)稱 從小波和正弦波的形狀可以看出 變化劇烈的信號(hào) 用不規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好 即用小波更能描述信號(hào)的局部特征 連續(xù)小波變換 ContinuousWaveletTransform CWT 用下式表示 表明 小波變換是信號(hào)f t 與被縮放和平移的小波函數(shù) 之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果 CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C 這些系數(shù)是縮放因子 scale 和平移因子 positon 的函數(shù) 基本小波函數(shù) 的縮放和平移操作含義如下 1 縮放 簡(jiǎn)單地講 縮放就是壓縮或伸展基本小波 縮放系數(shù)越小 則小波越窄 小波的縮放操作 2 平移 簡(jiǎn)單地講 平移就是小波的延遲或超前 在數(shù)學(xué)上 函數(shù)f t 延遲k的表達(dá)式為f t k 小波的平移操作 a 小波函數(shù) t b 位移后的小波函數(shù) t k 2 離散小波變換 DWT 在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù) 其計(jì)算量相當(dāng)大 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量 而且有許多數(shù)據(jù)是無用的 如果縮放因子和平移參