【導(dǎo)與練】高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第五節(jié) 二次函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用 理（含解析）.doc

第五節(jié)二次函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用 二次函數(shù)考向聚焦二次函數(shù)是高考的重點內(nèi)容,主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用,特別是二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯(lián)系及應(yīng)用,同時對數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法的考查也蘊含其中.對二次函數(shù)的考查主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),多為中檔題,所占分值為5分左右1.(2011年天津卷,理8)對實數(shù)a和b,定義運算“”:ab=a,a-b1,b,a-b1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)(x-x2),xr,若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是()(a)(-,-2(-1,32)(b)(-,-2(-1,-34)(c)(-1,14)(14,+)(d)(-1,-34)14,+)解析:f(x)=x2-2(-1x32)x-x2(x32),y=f(x)的圖象如圖.由圖可知當(dāng)c-2或-1c0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是()解析:由abc0知,當(dāng)c0時ab0,f(0)=c0,對稱軸x=-b2a0無對應(yīng)選項;當(dāng)c0時,ab0,f(0)=c0,由圖象知選d.答案:d.3.(2012年陜西卷,理13,5分)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬米.解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)c(0,2),a(-2,0),b(2,0)則拋物線y=ax2+bx+c(a0)滿足:c=24a-2b+c=04a+2b+c=0得a=-12,b=0,c=2y=-12x2+2.設(shè)水位下降1米,至線段ef處時,f(x,-1),代入上式:-1=-12x2+2,x=6,有|ef|=26.答案:26函數(shù)的零點與方程的根考向聚焦函數(shù)的零點與方程的根是高考的一個熱點內(nèi)容,近幾年高考在這個考點上?？汲Ｐ?主要從以下幾個方面進行考查:一是求函數(shù)零點的個數(shù)(可能是具體函數(shù)也可能是抽象函數(shù));二是判斷函數(shù)零點(方程的根)所在的區(qū)間;三是已知函數(shù)零點(方程的根)的個數(shù)或范圍,求解析式中參數(shù)的取值范圍.一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),所占分值為5分左右備考指津要強化這個考點以上三個方面的訓(xùn)練,同時要注意數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及分類討論思想方法的訓(xùn)練與應(yīng)用4.(2012年湖北卷,理9,5分)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為()(a)4(b)5(c)6(d)7解析:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,因為x0,4,所以x20,16.由于cos(2+k)=0(kz),故當(dāng)x2=2,32,52,72,92時,cos x2=0.所以零點個數(shù)為6.答案:c. 求解函數(shù)的零點個數(shù)通常有兩種方法:一、直接法,即求解出所有的零點,再來數(shù)其個數(shù);二、數(shù)形結(jié)合法,即轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù),此法適用于零點的具體值不好求解時,本題用的就是第一種方法.5.(2012年天津卷,理4,5分)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()(a)0(b)1(c)2(d)3解析:由f(x)=2x+x3-2=0得:2x=-x3+2,令h(x)=-x3+2,則h(x)=-3x20,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,h(x)(1,2),在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=2x與h(x)=-x3+2的圖象知,其圖象在(0,1)上只有一個交點,故f(x)=2x+x3-2在(0,1)上只有1個零點.故選b.答案:b.6.(2012年遼寧卷,理11,5分)設(shè)函數(shù)f(x)(xr)滿足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且當(dāng)x0,1時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos(x)|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在-12,32上的零點個數(shù)為()(a)5(b)6(c)7(d)8解析:由f(-x)=f(x)知y=f(x)為偶函數(shù),由f(x)=f(2-x)知y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱,由f(-x)=f(2-x)知y=f(x)的周期t=2.g(x)=|xcos(x)|=-xcos(x)(-12x0)xcos(x)(0x12)-xcos(x)(12x32)h(x)=g(x)-f(x)的零點個數(shù)等價于y=f(x)與y=g(x)的圖象交點個數(shù).作出圖象易知選b.答案:b.7.(2011年陜西卷,理6)函數(shù)f(x)=x-cos x在0,+)內(nèi)()(a)沒有零點(b)有且僅有一個零點(c)有且僅有兩個零點(d)有無窮多個零點解析:在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x(x0)及y=cos x(x0)的圖象,數(shù)形結(jié)合知兩個函數(shù)的圖象只有一個交點,所以函數(shù)f(x)=x-cos x在0,+)內(nèi)有且只有一個零點.故選b.答案:b.8.(2010年天津卷,理2)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是()(a)(-2,-1)(b)(-1,0)(c)(0,1)(d)(1,2)解析:f(-1)f(0)0的零點個數(shù)為()(a)0(b)1(c)2(d)3解析:x0時,f(x)=0x2+2x-3=0,x=-3(x=1舍去).x0時,f(x)=0-2+ln x=0,x=e2.因此函數(shù)共有兩個零點.故選c.答案:c.10.(2011年山東卷,理16)已知函數(shù)f(x)=1ogax+x-b(a0,且a1).當(dāng)2a3b4時,函數(shù)f(x)的零點x0(n,n+1),nn*,則n=.解析:對函數(shù)f(x),2a3b4,f(2)=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0.即f(2)f(3)0在(12,1)上恒成立,fn(x)在(12,1)上單調(diào)遞增,又當(dāng)n2且nn+時,fn(12)=(12)n-120,fn(12)f(1)0,fn(x)在區(qū)間(12,1)內(nèi)存在唯一的零點.解:(2)當(dāng)n=2時,f2(x)=x2+bx+cx1、x2-1,1,有|f2(x1)-f2(x2)|4成立,等價于:f2(x)max-f2(x)min4下面只需求f2(x)在-1,1上的最值即可.f2(x)的對稱軸方程為:x=-b2當(dāng)-b2-1,即b2時,f2(x)在-1,1上遞增,f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f2(-1)=(1+b+c)-(1-b+c)=2b4,b2,綜上b=2,當(dāng)-1-b20,即0bf(-1),f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f(-b2)=(1+b+c)-(b24-b22+c)=1+b+b244,b2+4b-120,-6b2,綜上:0b2.當(dāng)0-b21,即-2bf(1),f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f(-b2)=(1-b+c)-(b24-b22+c)=1-b+b244,b2-4b-120,-2b6,綜上:-2b1,即b-2時,f2(x)在-1,1上單調(diào)遞減,f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f2(1)=(1-b+c)-(1+b+c)=-2b4,b-2.綜上: 綜上所述:-2b2.(3)該數(shù)列為遞增數(shù)列.法一:設(shè)xn是fn(x)=xn+x-1在(12,1)內(nèi)的唯一零點(n2)fn(xn)=xnn+xn-1=0fn+1(xn+1)=xn+1n+1+xn+1-1=0,xn+1(12,1)由于xn+1n+1xn+1n,所以fn+1(xn+1)=xn+1n+1+xn+1-1xn+1n+xn+1-1=fn(xn+1)fn+1(xn+1)=fn(xn)fn(xn+1)由(1)知,fn(x)在(12,1)上單調(diào)遞增,xnxn+1(n2)數(shù)列x2、x3、x4、xn、是遞增數(shù)列.法二:設(shè)xn是fn(x)=xn+x-1在(12,1)內(nèi)的唯一零點.fn+1(xn)fn+1(1)=(xnn+1+xn-1)(1n+1+1-1)=xnn+1+xn-1xnn+xn-1=0fn+1(x)的零點xn+1在(xn,1)內(nèi),有xn0),l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點a,b,l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點c,d.記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a,b,當(dāng)m變化時,ba的最小值為()(a)162(b)82(c)834(d)434解析:如圖所示,由-log2xa=m,xa=(12)m,log2xb=m,xb=2m,-log2xc=82m+1,xc=(12)82m+1,log2xd=82m+1,xd=282m+1所以,a=|xa-xc|=|(12)m-(12)82m+1|,b=|xd-xb|=|2m-282m+1|,ba=|2m-282m+1|(12)m-(12)82m+1|=2m282m+1=2m+82m+1設(shè)u=m+82m+1=12(2m+1)+82m+1-1222-12=72(當(dāng)且僅當(dāng)12(2m+1)=82m+1,即m=32時,等號成立)所以ba=2m+82m+1272=82,故選b.答案:b. 在研究函數(shù)時數(shù)形結(jié)合,求ba的最小值,先建立ba的關(guān)系式,再利用求最值的方法求解.13.(2012年福建卷,理10,5分)函數(shù)f(x)在a,b上有定義,若對任意x1,x2a,b,有f(x1+x22)12f(x1)+f(x2),則稱f(x)在a,b上具有性質(zhì)p.設(shè)f(x)在1,3上具有性質(zhì)p,現(xiàn)給出如下命題:f(x)在1,3上的圖象是連續(xù)不斷的;f(x2)在1,3上具有性質(zhì)p;若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x1,3;對任意x1,x2,x3,x41,3,有f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4).其中真命題的序號是()(a)(b)(c)(d)解析:本小題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用與知識遷移能力,對,若x11,3,使f(x1)1,則f(x1)1且x12,則一定存在x21,3,使得x1+x22=2,又f(x2)1,f(x1)+f(x2)2,據(jù)性質(zhì)p得f(x1+x22)12f(x1)+f(x2),即f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)=f(2)=2,這顯然與f(x1)+f(x2)2矛盾,假設(shè)不成立,即x1,3,f(x)=1;對,f(x1+x2+x3+x44)=f(x1+x22+x3+x422)12f(x1+x22)+f(x3+x42),又f(x1+x22)12f(x1)+f(x2),f(x3+x42)12f(x3)+f(x4),f(x1+x22)+f(x3+x42)12f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4),f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4).故選d.答案:d. 本題中的信息實質(zhì)上是凹函數(shù)的性質(zhì),在應(yīng)用中可借助某些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)等,若結(jié)合圖象則易判定為假.均為全稱命題,其真假判定分別采用了反證法與綜合法,考查了知識的靈活運用.14.(2010年陜西卷,理10)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表,那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=x( x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()(a)y=x10(b)y=x+310(c)y=x+410(d)y=x+510解析:法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除c、d,若x=57,y=6,排除a,所以選b.法二:設(shè)x=10m+a(0a9),0a6時,x+310=m+a+310=m=x10,當(dāng)61或x-1)-x-1(-1x0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程;(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.解:(1)令y=0,得kx-120(1+k2)x2=0,由實際意義和題設(shè)條件知x0,k0,故x=20k1+k2=20k+1k202=10,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號.所以炮的最大射程為10千米.(2)因為a0,所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根判別式=(-20a)2-4a2(a2+64)0a6.所以當(dāng)a不超過6千米時,可擊中目標(biāo). 本題把函數(shù)、不等式放在應(yīng)用題中,設(shè)計新穎,考法獨特.17.(2012年湖南卷,理20,13分)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的a,b,c三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產(chǎn)a部件6件,或b部件3件,或c部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)b部件的人數(shù)與生產(chǎn)a部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)).(1)設(shè)生產(chǎn)a部件的人數(shù)為x,分別寫出完成a,b,c三種部件生產(chǎn)需要的時間;(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單任務(wù)的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.解:(1)設(shè)完成a,b,c三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間(單位:天)分別為t1(x),t2(x),t3(x),由題設(shè)有t1(x)=230006x=1000x,t2(x)=2000kx,t3(x)=1500200-(1+k)x,其中x,kx,200-(1+k)x均為1到200之間的正整數(shù).(2)完成訂單任務(wù)的時間為f(x)=maxt1(x),t2(x),t3(x),其定義域為x|0x2001+k,xn*,易知,t1(x),t2(x)為減函數(shù),t3(x)為增函數(shù),注意到t2(x)=2kt1(x),于是當(dāng)k=2時,t1(x)=t2(x),此時f(x)=maxt1(x),t3(x)=max1000x,1500200-3x.由函數(shù)t1(x),t3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)1000x=1500200-3x時f(x)取得最小值,解得x=4009.由于44400945,而f(44)=t1(44)=25011,f(45)=t3(45)=30013,f(44)2時,t1(x)t2(x),由于k為正整數(shù),故k3,此時1500200-(1+k)x1500200-(1+3)x=37550-x.記t(x)=37550-x, (x)=maxt1(x),t(x),易知t(x)是增函數(shù),則f(x)=maxt1(x),t3(x)maxt1(x),t(x)= (x)=max1000x,37550-x.由函數(shù)t1(x),t(x)的單調(diào)性知,當(dāng)1000x=37550-x時 (x)取最小值,解得x=40011.由于364001125011, (37)=t(37)=3751325011.此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于25011.當(dāng)k2時,t1(x)t2(x),由于k為正整數(shù),故k=1,此時f(x)=maxt2(x),t3(x)=max2000x,750100-x.由函數(shù)t2(x),t3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)2000x=750100-x時f(x)取最小值,解得x=80011,類似(1)的討論,此時完成訂單任務(wù)的最短時間為2509,大于25011.綜上所述,當(dāng)k=2時,完成訂單任務(wù)的時間最短,此時,生產(chǎn)a,b,c三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.18.(2011年湖北卷,理17)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下.大橋上的車流速度v(單位:千米/時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時,研究表明:當(dāng)20x200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0x200時,求函數(shù)v(x)的表達式;(2)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時)解:(1)由題意:當(dāng)0x20時,v(x)=60;當(dāng)20x200時,設(shè)v(x)=ax+b(a0,a、b為常數(shù)),再由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=-13b=2003.故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)=60,0x20,13(200-x),20x200.(2)依題意并由(1)可得f(x)=60x,0x20,13x(200-x),20x200.當(dāng)0x0),雨速沿e移動方向的分速度為c(cr).e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:(1)p或p的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|s成正比,比例系數(shù)為110;(2)其他面的淋雨量之和,其值為12.記y為e移動過程中的總淋雨量.當(dāng)移動距離d=100,面積s=32時,(1)寫出y的表達式;(2)設(shè)0v10,0c5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動速度v,