2018中考總復(fù)習(xí)圓.doc

2017中考數(shù)學(xué)全國(guó)試題匯編-圓24（2017.北京）如圖，是的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）求證：； （2）若，求的半徑.【解析】試題分析:(1)由切線性質(zhì)及等量代換推出4=5，再利用等角對(duì)等邊可得出結(jié)論；（2）由已知條件得出sinDEF和sinAOE的值，利用對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等推出結(jié)論.試題解析：（1）證明：DCOA, 1+3=90, BD為切線，OBBD, 2+5=90, OA=OB, 1=2，3=4，4=5，在DEB中, 4=5，DE=DB.考點(diǎn)：圓的性質(zhì)，切線定理，三角形相似，三角函數(shù) 27（2017甘肅白銀）如圖，是的直徑，軸，交于點(diǎn)（1）若點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：直線是的切線解：（1）A的坐標(biāo)為（0，6），N（0，2）AN=4， 1分ABN=30，ANB=90，AB=2AN=8， 2分由勾股定理可知：NB=，B（，2） 3分（2）連接MC，NC 4分AN是M的直徑， ACN=90，NCB=90， 5分xyCDMDOMDBANDNDAND在RtNCB中，D為NB的中點(diǎn)，CD=NB=ND，CND=NCD， 6分MC=MN，MCN=MNCMNC+CND=90，MCN+NCD=90， 7分即MCCD 直線CD是M的切線 8分25（2017廣東廣州）.如圖14，是的直徑，連接（1）求證：；（2）若直線為的切線，是切點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，使所在的直線與所在的直線相交于點(diǎn)，連接試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】試題分析：（1）直徑所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半；（2）等角對(duì)等邊；（2）如圖所示，作 于F由（1）可得， 為等腰直角三角形. 是 的中點(diǎn). 為等腰直角三角形.又 是 的切線， 四邊形 為矩形 當(dāng) 為鈍角時(shí)，如圖所示，同樣， （3）當(dāng)D在C左側(cè)時(shí)，由（2）知 , ,在 中， 當(dāng)D在C右側(cè)時(shí)，過(guò)E作 于 在 中， 考點(diǎn)：圓的相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用25（2017貴州六盤(pán)水）.如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，是直徑上一動(dòng)點(diǎn).(1) 利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)的位置(2) (不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡).(2)求的最小值.【考點(diǎn)】圓，最短路線問(wèn)題【分析】(1)畫(huà)出A點(diǎn)關(guān)于MN的稱點(diǎn),連接B,就可以得到P點(diǎn)(2)利用得AON=60，又為弧AN的中點(diǎn),BON=30，所以O(shè)N=90，再求最小值【解答】解：20（2017湖北黃岡）已知：如圖，MN為O的直徑，ME是O的弦，MD垂直于過(guò)點(diǎn)E的直線DE，垂足為點(diǎn)D，且ME平分DMN求證：（1）DE是O的切線；（2）ME2=MDMN【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；ME：切線的判定與性質(zhì)【分析】（1）求出OEDM，求出OEDE，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）連接EN，求出MDE=MEN，求出MDEMEN，根據(jù)相似三角形的判定得出即可【解答】證明：（1）ME平分DMN，OME=DME，OM=OE，OME=OEM，DME=OEM，OEDM，DMDE，OEDE，OE過(guò)O，DE是O的切線；（2）連接EN，DMDE，MN為O的半徑，MDE=MEN=90，NME=DME，MDEMEN，=，ME2=MDMN23. (2017湖北十堰)已知AB為半O的直徑，BCAB于B，且BCAB，D為半O上的一點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)交半O的切線AE于E (1)如圖1，若CDCB，求證：CD是O的切線； (2)如圖2，若F點(diǎn)在OB上，且CDDF，求的值3+EAD=90，E+EAD=903=E又ADE=ADB=90ADEABD（1）證明：略；（此問(wèn)簡(jiǎn)單）（2）連接AD.DFDC1+BDF=90AB是O的直徑2+BDF=901=2又3+ABD=90, 4+ABD=903=4ADFBCD21（2017湖北武漢）如圖，ABC內(nèi)接于O，ABAC，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D(1) 求證：AO平分BAC(2) 若BC6，sinBAC，求AC和CD的長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；.（2）過(guò)點(diǎn)C作CEAB于EsinBAC=,設(shè)AC=5m，則CE=3mAE=4m，BE=m在RtCBE中，m2+(3m)2=36m=，AC=延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，則AHBC，且BH=CH=3，考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.解直角三角形；3.平行線分線段成比例.21. （2017湖北咸寧）如圖，在中，以為直徑的與邊分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).求證：是的切線；若，求的長(zhǎng)【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)；T7：解直角三角形【分析】（1）證明：如圖，連接OD，作OGAC于點(diǎn)G，推出ODB=C；然后根據(jù)DFAC，DFC=90，推出ODF=DFC=90，即可推出DF是O的切線（2）首先判斷出：AG=AE=2，然后判斷出四邊形OGFD為矩形，即可求出DF的值是多少【解答】（1）證明：如圖，連接OD，作OGAC于點(diǎn)G，OB=OD，ODB=B，又AB=AC，C=B，ODB=C，DFAC，DFC=90，ODF=DFC=90，DF是O的切線（2）解：AG=AE=2，cosA=，OA=5，OG=，ODF=DFG=OGF=90，四邊形OGFD為矩形，DF=OG=23（2017湖北孝感）. 如圖，的直徑 弦的平分線交于 過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接（1）由，圍成的曲邊三角形的面積是 ；（2）求證：是的切線；（3）求線段的長(zhǎng).【分析】（1）連接OD，由AB是直徑知ACB=90，結(jié)合CD平分ACB知ABD=ACD=ACB=45，從而知AOD=90，根據(jù)曲邊三角形的面積=S扇形AOD+SBOD可得答案；（2）由AOD=90，即ODAB，根據(jù)DEAB可得ODDE，即可得證；（3）勾股定理求得BC=8，作AFDE知四邊形AODF是正方形，即可得DF=5，由EAF=90CAB=ABC知tanEAF=tanCBA，即=，求得EF的長(zhǎng)即可得【解答】解：（1）如圖，連接OD，AB是直徑，且AB=10，ACB=90，AO=BO=DO=5，CD平分ACB，ABD=ACD=ACB=45，AOD=90，則曲邊三角形的面積是S扇形AOD+SBOD=+55=+，故答案為： +；（2）由（1）知AOD=90，即ODAB，DEAB，ODDE，DE是O的切線；（3）AB=10、AC=6，BC=8，過(guò)點(diǎn)A作AFDE于點(diǎn)F，則四邊形AODF是正方形，AF=OD=FD=5，EAF=90CAB=ABC，tanEAF=tanCBA，=，即=，DE=DF+EF=+5=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的判定、圓周角定理、正方形的判定與性質(zhì)及正切函數(shù)的定義，熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的判定及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵25（2017湖北荊州）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度以點(diǎn)Q為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作Q（1）求證：直線AB是Q的切線；（2）過(guò)點(diǎn)A左側(cè)x軸上的任意一點(diǎn)C（m，0），作直線AB的垂線CM，垂足為M若CM與Q相切于點(diǎn)D，求m與t的函數(shù)關(guān)系式（不需寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)C，直線AB、CM、y軸與Q同時(shí)相切？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題【分析】（1）只要證明PAQBAO，即可推出APQ=AOB=90，推出QPAB，推出AB是O的切線；（2）分兩種情形求解即可：如圖2中，當(dāng)直線CM在O的左側(cè)與Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形如圖3中，當(dāng)直線CM在O的右側(cè)與Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形分別列出方程即可解決問(wèn)題（3）分兩種情形討論即可，一共有四個(gè)點(diǎn)滿足條件【解答】（1）證明：如圖1中，連接QP在RtAOB中，OA=4，OB=3，AB=5，AP=4t，AQ=5t，=，PAQ=BAO，PAQBAO，APQ=AOB=90，QPAB，AB是O的切線（2）解：如圖2中，當(dāng)直線CM在O的左側(cè)與Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形易知PQ=DQ=3t，CQ=3t=，OC+CQ+AQ=4，m+t+5t=4，m=4t如圖3中，當(dāng)直線CM在O的右側(cè)與Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形OC+AQCQ=4，m+5tt=4，m=4t（3）解：存在理由如下：如圖4中，當(dāng)Q在y則的右側(cè)與y軸相切時(shí)，3t+5t=4，t=，由（2）可知，m=或如圖5中，當(dāng)Q在y則的左側(cè)與y軸相切時(shí)，5t3t=4，t=2，由（2）可知，m=或綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）22（2017湖北鄂州）如圖，已知BF是O的直徑，A為 O上（異于B、F）一點(diǎn). O的切線MA與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M；P為AM上一點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)C，D為BC上一點(diǎn)且PA =PD，AD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E.（1）求證：= ；（2）若ED、EA的長(zhǎng)是一元二次方程x25x5=0的兩根，求BE的長(zhǎng)；（3）若MA =6， , 求AB的長(zhǎng).（1）PA =PDPAD=PDABAD+PAB=DBE+EO的切線MAPAB=DBEBAD=CBE= （2） ED、EA的長(zhǎng)是一元二次方程x25x5=0的兩根、EDEA=5BAD=CBE,E=EBDEABEBE2=EDEA=5 BE=21（2017湖北黃石）如圖，O是ABC的外接圓，BC為O的直徑，點(diǎn)E為ABC的內(nèi)心，連接AE并延長(zhǎng)交O于D點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至F，使得BD=DF，連接CF、BE（1）求證：DB=DE；（2）求證：直線CF為O的切線【考點(diǎn)】MI：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；MD：切線的判定【分析】（1）欲證明DB=DE，只要證明DBE=DEB；（2）欲證明直線CF為O的切線，只要證明BCCF即可；【解答】（1）證明：E是ABC的內(nèi)心，BAE=CAE，EBA=EBC，BED=BAE+EBA，DBE=EBC+DBC，DBC=EAC，DBE=DEB，DB=DE（2）連接CDDA平分BAC，DAB=DAC，=，BD=CD，BD=DF，CD=DB=DF，BCF=90，BCCF，CF是O的切線23（2017湖北恩施）如圖，AB、CD是O的直徑，BE是O的弦，且BECD，過(guò)點(diǎn)C的切線與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接BC（1）求證：BC平分ABP；（2）求證：PC2=PBPE；（3）若BEBP=PC=4，求O的半徑【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）由BECD知1=3，根據(jù)2=3即可得1=2；（2）連接EC、AC，由PC是O的切線且BEDC，得1+4=90，由A+2=90且A=5知5+2=90，根據(jù)1=2得4=5，從而證得PBCPCE即可；（3）由PC2=PBPE、BEBP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EFCD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再RtDEFRtBCP得DF=BP=2，據(jù)此得出CD的長(zhǎng)即可【解答】解：（1）BECD，1=3，又OB=OC，2=3，1=2，即BC平分ABP；（2）如圖，連接EC、AC，PC是O的切線，PCD=90，又BEDC，P=90，1+4=90，AB為O直徑，A+2=90，又A=5，5+2=90，1=2，5=4，P=P，PBCPCE，即PC2=PBPE；（3）BEBP=PC=4，BE=4+BP，PC2=PBPE=PB（PB+BE），42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB8=0，解得：PB=2，則BE=4+PB=6，PE=PB+BE=8，作EFCD于點(diǎn)F，P=PCF=90，四邊形PCFE為矩形，PC=FE=4，F(xiàn)C=PE=8，EFD=P=90，BECD，DE=BC，在RtDEF和RtBCP中，RtDEFRtBCP（HL），DF=BP=2，則CD=DF+CF=10，O的半徑為522（2017湖北隨州）如圖，在RtABC中，C=90，AC=BC，點(diǎn)O在AB上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的O與BC相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（1）求證：AD平分BAC；（2）若CD=1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；KF：角平分線的性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面積的計(jì)算【分析】（1）連接DE，OD利用弦切角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等角的余角相等證明DAO=CAD，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到B=BAC=45，由BC相切O于點(diǎn)D，得到ODB=90，求得OD=BD，BOD=45，設(shè)BD=x，則OD=OA=x，OB=x，根據(jù)勾股定理得到BD=OD=，于是得到結(jié)論【解答】（1）證明：連接DE，ODBC相切O于點(diǎn)D，CDA=AED，AE為直徑，ADE=90，ACBC，ACD=90，DAO=CAD，AD平分BAC；（2）在RtABC中，C=90，AC=BC，B=BAC=45，BC相切O于點(diǎn)D，ODB=90，OD=BD，BOD=45，設(shè)BD=x，則OD=OA=x，OB=x，BC=AC=x+1，AC2+BC2=AB2，2（x+1）2=（x+x）2，x=，BD=OD=，圖中陰影部分的面積=SBODS扇形DOE=122（2017湖北襄陽(yáng)）如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點(diǎn)，BAC=DAC，過(guò)點(diǎn)C做直線EFAD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC（1）求證：EF是O的切線；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的長(zhǎng)l【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì)；MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OAC=DAC，求得DAC=OCA，推出ADOC，得到OCF=AEC=90，于是得到結(jié)論；（2）連接OD，DC，根據(jù)角平分線的定義得到DAC=OAC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到ECD=30，得到OCD=60，得到BOC=COD=60，OC=2，于是得到結(jié)論【解答】（1）證明：連接OC，OA=OC，OAC=DAC，DAC=OCA，ADOC，AEC=90，OCF=AEC=90，EF是O的切線；（2）連接OD，DC，DAC=DOC，OAC=BOC，DAC=OAC，ED=1，DC=2，sinECD=，ECD=30，OCD=60，OC=OD，DOC是等邊三角形，BOC=COD=60，OC=2，l=21（2017湖北宜昌）已知，四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DE=EC，以AE為直徑的O與邊CD相切于點(diǎn)DB點(diǎn)在O上，連接OB（1）求證：DE=OE；（2）若CDAB，求證：四邊形ABCD是菱形【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；L9：菱形的判定【分析】（1）先判斷出2+3=90，再判斷出1=2即可得出結(jié)論；（2）先判斷出ABOCDE得出AB=CD，即可判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，最后判斷出CD=AD即可【解答】解：（1）如圖，連接OD，CD是O的切線，ODCD，2+3=1+COD=90，DE=EC，1=2，3=COD，DE=OE；（2）OD=OE，OD=DE=OE，3=COD=DEO=60，2=1=30，OA=OB=OE，OE=DE=EC，OA=OB=DE=EC，ABCD，4=1，1=2=4=OBA=30，ABOCDE，AB=CD，四邊形AD是平行四邊形，DAE=DOE=30，1=DAE，CD=AD，ABCD是菱形24（2017江蘇南通）如圖，RtABC中，C=90，BC=3，點(diǎn)O在AB上，OB=2，以O(shè)B為半徑的O與AC相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求弦BE的長(zhǎng)【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；KQ：勾股定理【分析】連接OD，首先證明四邊形OECD是矩形，從而得到BE的長(zhǎng)，然后利用垂徑定理求得BF的長(zhǎng)即可【解答】解：連接OD，作OEBF于點(diǎn)EBE=BF，AC是圓的切線，ODAC，ODC=C=OFC=90，四邊形ODCF是矩形，OD=OB=EC=2，BC=3，BE=BCEC=BCOD=32=1，BF=2BE=226（2017江蘇鎮(zhèn)江）.如圖，中，點(diǎn)在上，過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心在上.（1）利用直尺和圓規(guī)在圖1中畫(huà)出（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）；（2）判斷所在直線與（1）中所作的的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，為垂足.若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)（即，）如圖2，試說(shuō)明四邊形是正方形.25（2017江蘇揚(yáng)州）如圖，已知平行四邊形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C在以O(shè)為圓心的半圓上，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，分別交AB、AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E，AE交半圓O于點(diǎn)F，連接CF（1）判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：CF=OC；若半圓O的半徑為12，求陰影部分的周長(zhǎng)【考點(diǎn)】MB：直線與圓的位置關(guān)系；L5：平行四邊形的性質(zhì)；MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算【分析】（1）結(jié)論：DE是O的切線首先證明ABO，BCO都是等邊三角形，再證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問(wèn)題；（2）只要證明OCF是等邊三角形即可解決問(wèn)題；求出EC、EF、弧長(zhǎng)CF即可解決問(wèn)題【解答】解：（1）結(jié)論：DE是O的切線理由：四邊形OABC是平行四邊形，又OA=OC，四邊形OABC是菱形，OA=OB=AB=OC=BC，ABO，BCO都是等邊三角形，AOB=BOC=COF=60，OB=OF，OGBF，AF是直徑，CDAD，ABF=DBG=D=BGC=90，四邊形BDCG是矩形，OCD=90，DE是O的切線（2）由（1）可知：COF=60，OC=OF，OCF是等邊三角形，CF=OC在RtOCE中，OC=12，COE=60，OCE=90，OE=2OC=24，EC=12，OF=12，EF=12，的長(zhǎng)=4，陰影部分的周長(zhǎng)為4+12+1224（2017江蘇鹽城）如圖，ABC是一塊直角三角板，且C=90，A=30，現(xiàn)將圓心為點(diǎn)O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部（1） 如圖，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時(shí)，（2） 試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（3） （不寫(xiě)作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動(dòng)1周，回到起點(diǎn)位置時(shí)停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)【考點(diǎn)】O4：軌跡；MC：切線的性質(zhì)；N3：作圖復(fù)雜作圖【分析】（1）作ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O，作射線CO即可；（2）添加如圖所示輔助線，圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，先求出ABC的三邊長(zhǎng)度，得出其周長(zhǎng)，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出OO1O2=60=ABC、O1OO2=90，從而知OO1O2CBA，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案【解答】解：（1）如圖所示，射線OC即為所求；（2）如圖，圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)O1作O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分別為點(diǎn)D、F、G，過(guò)點(diǎn)O作OEBC，垂足為點(diǎn)E，連接O2B，過(guò)點(diǎn)O2作O2HAB，O2IAC，垂足分別為點(diǎn)H、I，在RtABC中，ACB=90、A=30，AC=9，AB=2BC=18，ABC=60，CABC=9+9+18=27+9，O1DBC、O1GAB，D、G為切點(diǎn)，BD=BG，在RtO1BD和RtO1BG中，O1BDO1BG（HL），O1BG=O1BD=30，在RtO1BD中，O1DB=90，O1BD=30，BD=2，OO1=922=72，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1DOE，且O1D=OE，四邊形OEDO1為平行四邊形，OED=90，四邊形OEDO1為矩形，同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，又OE=OF，四邊形OECF為正方形，O1GH=CDO1=90，ABC=60，GO1D=120，又FO1D=O2O1G=90，OO1O2=3609090=60=ABC，同理，O1OO2=90，OO1O2CBA，=，即=，=15+，即圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為15+25（2017江蘇鹽城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D，AE平分BAC交邊BC于點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，F(xiàn)與y軸相交于另一點(diǎn)G（1）求證：BC是F的切線；（2）若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A（0，1），D（2，0），求F的半徑；試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題【分析】（1）連接EF，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)得到FEA=EAC，得到FEAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到FEB=C=90，證明結(jié)論；（2）連接FD，設(shè)F的半徑為r，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FRAD于R，得到四邊形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根據(jù)垂徑定理解答即可【解答】（1）證明：連接EF，AE平分BAC，F(xiàn)AE=CAE，F(xiàn)A=FE，F(xiàn)AE=FEA，F(xiàn)EA=EAC，F(xiàn)EAC，F(xiàn)EB=C=90，即BC是F的切線；（2）解：連接FD，設(shè)F的半徑為r，則r2=（r1）2+22，解得，r=，即F的半徑為；（3）解：AG=AD+2CD證明：作FRAD于R，則FRC=90，又FEC=C=90，四邊形RCEF是矩形，EF=RC=RD+CD，F(xiàn)RAD，AR=RD，EF=RD+CD=AD+CD，AG=2FE=AD+2CD27、（2017蘇州）如圖，已知 內(nèi)接于 ， 是直徑，點(diǎn) 在 上， ，過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，連接 交 邊于點(diǎn) (1)求證： ； (2)求證： ； (3)連接 ，設(shè) 的面積為 ，四邊形 的面積為 ，若 ，求 的值（1）證明：AB是圓O的直徑，ACB=90，DEAB，DEO=90，DEO=ACB，OD/BC，DOE=ABC，DOEABC，（2）證明：DOEABC，ODE=A，A和BDC是弧BC所對(duì)的圓周角，A=BDC，ODE=BDC，ODF=BDE。（3）解：因?yàn)镈OEABC ,所以，即=4=4因?yàn)镺A=OB，所以=，即=2,因?yàn)?,S2=+=2S1+S1+,所以=，所以BE=OE,即OE=OB=OD，所以sinA=sinODE=【考點(diǎn)】圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】（1）易證DEO=ACB=90和DOE=ABC，根據(jù)“有兩對(duì)角相等的兩個(gè)三角形相似”判定DOEABC；（2）由DOEABC，可得ODE=A，由A和BDC是弧BC所對(duì)的圓周角，則A=BDC，從而通過(guò)角的等量代換即可證得；（3）由ODE=A，可得sinA=sinODE=；而由DOEABC ,可得， 即=4=4=， 即=2,又因?yàn)?,S2=+=2S1+S1+,則可得=， 可求得OE與OB的比值. 27（2017江蘇無(wú)錫）如圖，以原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），P是半徑OB上一點(diǎn)，過(guò)P且垂直于AB的直線與O分別交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），直線AC，DB交于點(diǎn)E若AC：CE=1：2（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E，且頂點(diǎn)在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題【分析】（1）如圖，作EFy軸于F，DC的延長(zhǎng)線交EF于H設(shè)H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3m首先證明ACPECH，推出=，推出CH=2n，EH=2m=6，再證明DPBDHE，推出=，可得=，求出m即可解決問(wèn)題；（2）由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x5），求出E點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解決問(wèn)題；【解答】解：（1）如圖，作EFy軸于F，DC的延長(zhǎng)線交EF于H設(shè)H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3mEHAP，ACPECH，=，CH=2n，EH=2m=6，CDAB，PC=PD=n，PBHE，DPBDHE，=，=，m=1，P（1，0）（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，連接OP，在RtOCP中，PC=2，CH=2PC=4，PH=6，E（9，6），拋物線的對(duì)稱軸為CD，（3，0）和（5，0）在拋物線上，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x5），把E（9，6）代入得到a=，拋物線的解析式為y=（x+3）（x5），即y=x2x23（2017山東濟(jì)南）（）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，求證：（）如圖，是的直徑，求的度數(shù)【答案】見(jiàn)解析【解析】（）證明：在矩形中，在和中，（）解：，是的直徑，在中，22（2017山東濰坊）如圖，AB為半圓O的直徑，AC是O的一條弦，D為的中點(diǎn)，作DEAC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DA（1）求證：EF為半圓O的切線；（2）若DA=DF=6，求陰影區(qū)域的面積（結(jié)果保留根號(hào)和）【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì)；MO：扇形面積的計(jì)算【分析】（1）直接利用切線的判定方法結(jié)合圓心角定理分析得出ODEF，即可得出答案；（2）直接利用得出SACD=SCOD，再利用S陰影=SAEDS扇形COD，求出答案【解答】（1）證明：連接OD，D為的中點(diǎn)，CAD=BAD，OA=OD，BAD=ADO，CAD=ADO，DEAC，E=90，CAD+EDA=90，即ADO+EDA=90，ODEF，EF為半圓O的切線；（2）解：連接OC與CD，DA=DF，BAD=F，BAD=F=CAD，又BAD+CAD+F=90，F(xiàn)=30，BAC=60，OC=OA，AOC為等邊三角形，AOC=60，COB=120，ODEF，F(xiàn)=30，DOF=60，在RtODF中，DF=6，OD=DFtan30=6，在RtAED中，DA=6，CAD=30，DE=DAsin30，EA=DAcos30=9，COD=180AOCDOF=60，CDAB，故SACD=SCOD，S陰影=SAEDS扇形COD=9362=623（2017山東威海）已知：AB為O的直徑，AB=2，弦DE=1，直線AD與BE相交于點(diǎn)C，弦DE在O上運(yùn)動(dòng)且保持長(zhǎng)度不變，O的切線DF交BC于點(diǎn)F（1）如圖1，若DEAB，求證：CF=EF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，試判斷CF與BF是否相等，并說(shuō)明理由【分析】（1）如圖1，連接OD、OE，證得OAD、ODE、OEB、CDE是等邊三角形，進(jìn)一步證得DFCE即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論【解答】證明：如圖1，連接OD、OE，AB=2，OA=OD=OE=OB=1，DE=1，OD=OE=DE，ODE是等邊三角形，ODE=OED=60，DEAB，AOD=ODE=60，EOB=OED=60，AOD和OE是等邊三角形，OAD=OBE=60，CDE=OAD=60，CED=OBE=60，CDE是等邊三角形，DF是O的切線，ODDF，EDF=9060=30，DFE=90，DFCE，CF=EF；（2）相等；如圖2，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，BC是O的切線，O的切線DF交BC于點(diǎn)F，BF=DF，BDF=DBF，AB是直徑，ADB=BDC=90，F(xiàn)DC=C，DF=CF，BF=CF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵21（2017山東東營(yíng)）如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作O的切線DE，交AC于點(diǎn)E，AC的反向延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)F（1）求證：DEAC；（2）若DE+EA=8，O的半徑為10，求AF的長(zhǎng)度【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)解題時(shí)，利用了方程思想，屬于中檔題【分析】（1）欲證明DEAC，只需推知ODAC即可；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OHAF于點(diǎn)H，構(gòu)建矩形ODEH，設(shè)AH=x則由矩形的性質(zhì)推知：AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在RtAOH中，由勾股定理知：x2+（x2）2=102，通過(guò)解方程得到AH的長(zhǎng)度，結(jié)合OHAF，得到AF=2AH=28=16【解答】（1）證明：OB=OD，ABC=ODB，AB=AC，ABC=ACB，ODB=ACB，ODACDE是O的切線，OD是半徑，DEOD，DEAC；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OHAF于點(diǎn)H，則ODE=DEH=OHE=90，四邊形ODEH是矩形，OD=EH，OH=DE設(shè)AH=xDE+AE=8，OD=10，AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在RtAOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x2）2=102，解得x1=8，x2=6（不合題意，舍去）AH=8OHAF，AH=FH=AF，AF=2AH=28=1624（2017山東煙臺(tái)）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=12cm，BD=16cm，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t0），以點(diǎn)M為圓心，MB長(zhǎng)為半徑的M與射線BA，線段BD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EN（1）求BF的長(zhǎng)（用含有t的代數(shù)式表示），并求出t的取值范圍；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EN與M相切？（3）若M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題【分析】（1）連接MF只要證明MFAD，可得=，即=，解方程即可；（2）當(dāng)線段EN與M相切時(shí)，易知BENBOA，可得=，即=，解方程即可；（3）由題意可知：當(dāng)0t時(shí)，M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)F與N重合時(shí)，則有t+2t=16，解得t=，觀察圖象即可解決問(wèn)題；【解答】解：（1）連接MF四邊形ABCD是菱形，AB=AD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8，在RtAOB中，AB=10，MB=MF，AB=AD，ABD=ADB=MFB，MFAD，=，=，BF=t（0t8）（2）當(dāng)線段EN與M相切時(shí)，易知BENBOA，=，=，t=t=s時(shí)，線段EN與M相切（3）由題意可知：當(dāng)0t時(shí)，M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)F與N重合時(shí)，則有t+2t=16，解得t=，關(guān)系圖象可知，t8時(shí)，M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)綜上所述，當(dāng)0t或t8時(shí)，M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)24（2017山東聊城）如圖，O是ABC的外接圓，O點(diǎn)在BC邊上，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，連接BD、CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P（1）求證：PD是O的切線；（2）求證：PBDDCA；（3）當(dāng)AB=6，AC=8時(shí)，求線段PB的長(zhǎng)【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；ME：切線的判定與性質(zhì)【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；（2）由PD與BC平行，得到一對(duì)同位角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等及等量代換得到P=ACD，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證；（3）由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根據(jù)（2）的相似，得比例，求出所求即可【解答】（1）證明：圓心O在BC上，BC是圓O的直徑，BAC=90，連接OD，AD平分BAC，BAC=2DAC，DOC=2DAC，DOC=BAC=90，即ODBC，PDBC，ODPD，OD為圓O的半徑，PD是圓O的切線；（2）證明：PDBC，P=ABC，ABC=ADC，P=ADC，PBD+ABD=180，ACD+ABD=180，PBD=ACD，PBDDCA；（3）解：ABC為直角三角形，BC2=AB2+AC2=62+82=100，BC=10，OD垂直平分BC，DB=DC，BC為圓O的直徑，BDC=90，在RtDBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，DC=DB=5，PBDDCA，=，則PB=23（2017山東臨沂）如圖，BAC的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，（1）求證：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=4，求ABC外接圓的半徑【考點(diǎn)】MA：三角形的外接圓與外心【分析】（1）由角平分線得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圓周角定理得出DBC=CAD，證出DBC=BAE，再由三角形的外角性質(zhì)得出DBE=DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圓周角定理得出BC是直徑，BDC=90，由勾股定理求出BC=4，即可得出ABC外接圓的半徑【解答】（1）證明：BE平分BAC，AD平分ABC，ABE=CBE，BAE=CAD，DBC=CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：連接CD，如圖所示：由（1）得：，CD=BD=4，BAC=90，BC是直徑，BDC=90，BC=4，ABC外接圓的半徑=4=220（2017山東德州）如圖，已知RtABC，C=90，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的O交AB于點(diǎn)E（1）求證：DE是O的切線；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的長(zhǎng)【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；ME：切線的判定與性質(zhì)【分析】（1）求出OED=BCA=90，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）求出BECBCA，得出比例式，代入求出即可【解答】（1）證明：連接OE、EC，AC是O的直徑，AEC=BEC=90