江蘇省揚州市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)《橢圓與直線的位置關(guān)系 （一）》學(xué)案 蘇教版.doc

橢圓與直線的位置關(guān)系（1）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法；2.能熟練地運用弦長公式求橢圓與直線相交時的弦長問題。教學(xué)重、難點：能熟練地運用弦長公式求橢圓與直線相交時的弦長問題。教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：圓與直線的位置關(guān)系的判定方法；（1）代數(shù)方法：消元，判斷；（2）幾何方法：圓心到直線的距離與圓半徑進(jìn)行比較。（二）新課講解：1橢圓與直線的位置關(guān)系的判定：例1當(dāng)m為何值時，直線與橢圓相交？相切？相離？解：由得， 當(dāng)，即時，直線和橢圓相交；當(dāng)，即時，直線和橢圓相切；當(dāng)，即或時，直線和橢圓相離。說明：直線與橢圓的位置關(guān)系可由它們的交點個數(shù)來判斷，即通過直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組的解的個數(shù)來判斷。例2如圖，已知橢圓的焦點分別是、，過中心o作直線與橢圓相交于a、b兩點，若要使的面積是20，求該直線方程。解：，可設(shè)ab所在直線方程為 ，abf2f1由消去x得：，由得，直線ab的方程為 ，即 說明：此題要能注意到是有公共邊的兩個和的面積之和，故只需構(gòu)造關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩個三角形高的和；設(shè)直線方程為比設(shè)好，可避免討論斜率不存在的情況。（3）也可以連接bf1，則例3、已知橢圓的焦點分別是、，點p在橢圓上，求證：的面積為。2弦長問題：例4求直線被橢圓所截得的弦長。解：（法一）由得或，弦長為 （法二）設(shè)直線與橢圓的交點為，由消去y得，弦長說明：弦長公式，不僅適用于圓，也適用于橢圓及雙曲線等二次曲線。例5.過橢圓c：的右焦點，作一直線交橢圓c與 m、n兩點，且m、n兩點到直線的距離之和為 ，求直線的方程。解：橢圓c的右焦點為 ：（，0），_f2_f1_1_monxy右準(zhǔn)線為，離心率為 ，其中分別為m、n到準(zhǔn)線的距離，設(shè)的方程為 ：，由消去y得：，=設(shè)m、n兩點的橫坐標(biāo)為，由題意知， =，解得：（或|mn|=|mf2|+|nf2|=2a-e（x1+x2），利用焦半徑公式解決焦點弦的弦長問題 ）所求的直線的方程為：或例6. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點o，焦點在坐標(biāo)軸上，直線與該橢圓交于p和q兩點，且，求橢圓的方程。分析 本題也應(yīng)有焦點在x軸和焦點在y軸上兩種情形，但分析題目的條件可知，兩種情形的解法是相同的，區(qū)別僅在于標(biāo)準(zhǔn)方程的形式不同。如果在標(biāo)準(zhǔn)方程中，取消的限制，那么它就代表了焦點在x軸上（當(dāng) 時）和焦點在y軸上（當(dāng) 時）兩種情形。我們也就可以將兩種情形統(tǒng)一解答。解：設(shè)所求橢圓方程( )，由題意，點p、q的坐標(biāo)滿足方程組 將（2）代入（1）并整理得 （3）設(shè)方程（3）的兩根為，則直線與橢圓的交點p（，），q（，）。由題設(shè)，可得,整理，得解這個方程組，得 或 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由（3）式得（） 或（） 解方程組（）、（）得 或 故所求橢圓方程為或 說明 這是91年高考文科數(shù)學(xué)最后一題。在上述的解法中，看到 和 能用m，n表示出來，因而先求出和的值，再用韋達(dá)定理得到關(guān)于m，n的方程，從而解出m，n，這樣一種整體的解題思想十分巧妙。五小結(jié)：1直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法；2弦長問題（弦長公式）。七作業(yè)：課本第103頁 第11題，第132頁 a組第8題，第133頁 b組第3題，補(bǔ)充：1求中心在坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，過點，且與直線有且只有一個公共點的橢圓方程；2已知直線：，橢圓c：，（1）求證：直線與橢圓c有兩個交點；（2）求這兩個公共點所成線段的長。橢圓與直線的位置關(guān)系（2）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握直線與橢圓的關(guān)系中運用已知條件求直線或橢圓方程的方法；2.能熟練地運用相關(guān)知識解決橢圓中的對稱問題。教學(xué)重、難點：目標(biāo)1，2教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：橢圓與直線的位置關(guān)系的判定方法；代數(shù)方法：消元，判斷；（二）新課講解：3弦所在的直線方程例1、已知橢圓，過點p（2，0）能否作直線，使得直線與橢圓相交所成弦的中點恰好是p點？解：由于橢圓是關(guān)于長軸、短軸對稱的，過p且垂直于x軸的弦是關(guān)于x軸對稱的，因而使得p點就是這條弦的中點，因此能作直線使得與橢圓相交成的弦的中點恰好就是p。小結(jié)：從本題求得的直線：，它的斜率不存在，可是若不注意審題而把直線設(shè)成點斜式，如，和橢圓方程聯(lián)立去解，不僅運算繁瑣，而且結(jié)論是錯誤的。例2、已知一直線與橢圓相交于a、b兩點，弦ab的中點坐標(biāo)為m（1，1），求直線的方程。解法一：設(shè)通過m（1，1）的直線ab的方程為：，代入橢圓方程，整理得。設(shè)a、b的橫坐標(biāo)分別為，則，解之得：，故ab的方程為：，即：解法二：設(shè)a（），ab的中點m的坐標(biāo)為（1，1），所以b點的坐標(biāo)為，將a、b兩點的坐標(biāo)代入方程，得，及，化簡為，-得：，即：，,同理有：，因為a（），b（）都滿足，所以即為所求的直線方程。解法三:設(shè)a（），b（）是弦的兩個端點，代入橢圓方程得： -得：m（1，1）是弦ab的中點，故ab的方程為：，即：4、關(guān)于直線對稱問題例3、已知橢圓c：，試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關(guān)于直線對稱。解法一：設(shè)，是橢圓c：上關(guān)于直線對稱的兩個點，則。設(shè)pq的方程為，則，消去y，得。由=，解得。 且有，點在直線上， 把代入得，可得解法二：設(shè)，是橢圓c：上關(guān)于直線對稱的兩個點，是pq的中點，則有兩式相減得，。，解得：，應(yīng)在橢圓的內(nèi)部，故，即 5