21利率期限結(jié)構(gòu)模型.ppt

第21章利率期限結(jié)構(gòu)模型 清華大學(xué)經(jīng)管學(xué)院朱世武Zhushw Resdat樣本數(shù)據(jù) SAS論壇 利率期限結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)介 利率期限結(jié)構(gòu)相關(guān)符號(hào)表 在未來(lái)時(shí)間T到期的零息票債券在時(shí)間t的價(jià)格 即在未來(lái)時(shí)間T支付單位1的債券在時(shí)間t的價(jià)格 起息日為時(shí)間t 剩余到期期限為年的零息票債券利率 有 起息日為時(shí)間t 剩余到期期限為年的連續(xù)復(fù)合利率 有 在時(shí)間t計(jì)算的 起息日為時(shí)間s 剩余到期期限為T s的遠(yuǎn)期利率 有 在時(shí)間t計(jì)算的 起息日為時(shí)間s的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率 有 即期利率 時(shí)間t計(jì)算的 剩余到期期限無(wú)限小時(shí)的零息票債券的連續(xù)符合內(nèi)部收益率 有 起息日為時(shí)間t 剩余到期期限為年的連續(xù)復(fù)合利率 有 貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的預(yù)期瞬間收益 貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的瞬時(shí)波動(dòng) 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 瞬間遠(yuǎn)期利率的波動(dòng) 有 貼現(xiàn)債券利率的波動(dòng) 重組樹中 在第i種狀態(tài)下 剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間n的均衡價(jià)格 注意 與的定義不同 此處T表示的是剩余到期期限 而非到期日 利率期限結(jié)構(gòu)的概念 利率 interestrate 是經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的一個(gè)核心變量 它實(shí)質(zhì)上是資金的價(jià)格 反映了資金的供求關(guān)系 利率期限結(jié)構(gòu) termstructureofinterestrates 又稱收益率曲線 yieldcurve 是指在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下 利率與到期期限之間的關(guān)系 或者說(shuō)是理論上的零息債券利率曲線 常見(jiàn)的利率期限結(jié)構(gòu)有以下四種 貼現(xiàn)因子曲線 discountfactorcurve 零息票收益曲線 zero couponyieldcurve 常用 或 遠(yuǎn)期利率曲線 forwardratescurve 瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu) instantaneousforwardtermstructure 常用 利率期限結(jié)構(gòu)模型 靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型 靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型概述 靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型以當(dāng)天市場(chǎng)的債券價(jià)格信息為基礎(chǔ) 構(gòu)造利率曲線函數(shù) 利用所構(gòu)造的利率曲線得到理論價(jià)格來(lái)逼近債券的市場(chǎng)價(jià)格 從而得出符合當(dāng)天價(jià)格信息的利率期限結(jié)構(gòu) 靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型最為常見(jiàn)的有樣條函數(shù)模型和節(jié)約型模型 樣條函數(shù)模型主要包括多項(xiàng)式樣條法 指數(shù)樣條法和B樣條法 節(jié)約型模型的主要代表是Nelson Siegel模型及其擴(kuò)展模型 通常 使用靜態(tài)模型擬合利率期限結(jié)構(gòu)的具體過(guò)程如下 首先 從市場(chǎng)上選出一組無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)的附息債券 設(shè)該組附息債券在時(shí)間t的市場(chǎng)價(jià)格為 在時(shí)間s的現(xiàn)金流入為 其中 j表示該組的第j支債券 由于期限結(jié)構(gòu)指的是零息債券的收益率與其到期日間之關(guān)系 因此必須先調(diào)整 息票效應(yīng) CouponEffect 息票效應(yīng)是指 對(duì)于剩余到期期限相同的債券來(lái)說(shuō) 它們的到期收益率不僅與當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)有關(guān) 還與它們的票面利率水平有關(guān) 對(duì)于相同的即期利率期限結(jié)構(gòu)而言 到期收益率是這些即期利率的加權(quán)平均 而權(quán)重是各個(gè)現(xiàn)金流的現(xiàn)值 于是 假想出貼現(xiàn)函數(shù)或零息票債券利率的具體形式 其中和為參數(shù)向量 然后利用假想出的具體形式 來(lái)推導(dǎo)附息債券的理論價(jià)格 當(dāng)推導(dǎo)出的理論價(jià)格與給定的市場(chǎng)價(jià)格最為接近時(shí) 就可以估計(jì)出由和構(gòu)成的參數(shù)向量 即 其中 是從模型 或模型 推導(dǎo)出的附息債券理論價(jià)格 顯然 債券樣本中長(zhǎng)期品種的價(jià)格波動(dòng)性應(yīng)大于短期品種 而由此帶來(lái)的結(jié)果是 以上述方法中表示長(zhǎng)期債券的定價(jià)誤差往往大于短期債券 這就是在進(jìn)行收益率曲線擬合時(shí)無(wú)法避免的樣本異方差特征 導(dǎo)致的結(jié)果往往是收益率曲線在遠(yuǎn)端出現(xiàn) 過(guò)度擬合 Overfitting 的情況 而在近端則無(wú)法很好地表現(xiàn)短期債的實(shí)際情況 為了解決這一問(wèn)題 應(yīng)該對(duì)短期債券賦予較高的權(quán)重 而對(duì)長(zhǎng)期債券賦予較低的權(quán)重 從而允許長(zhǎng)期債券存在較高的誤差 在Bolder和Streliski 1999 的論文中 設(shè)定了如下的權(quán)重系數(shù) 而將參數(shù)的估計(jì)過(guò)程定義為 多項(xiàng)式樣條法 多項(xiàng)式樣條函數(shù)假設(shè)折現(xiàn)因子是到期期限s的多項(xiàng)式分段連續(xù)函數(shù) 在運(yùn)用此函數(shù)時(shí) 仔細(xì)選擇多項(xiàng)式的階數(shù)是至關(guān)重要的 階數(shù)的多少?zèng)Q定了利率曲線的平滑程度和擬合程度 同時(shí)也影響到待估參數(shù)的數(shù)量 本書將多項(xiàng)式樣條函數(shù)的階數(shù)定為3 這是因?yàn)?當(dāng)多項(xiàng)式樣條函數(shù)為二階時(shí) 的二階導(dǎo)數(shù)是離散的 當(dāng)階數(shù)過(guò)高 四階或五階 時(shí) 驗(yàn)證三階或四階導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)的難度將增大 待估參數(shù)的數(shù)量也將增大 一般選用如下形式的多項(xiàng)式樣條函數(shù) 注意 對(duì)于即期貼現(xiàn)率函數(shù)來(lái)說(shuō) 顯然有 另外 為了保證分段函數(shù)的平滑性以及在分段點(diǎn)的平滑過(guò)渡 必須保證貼現(xiàn)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)且一 二階可導(dǎo) 還需要滿足如下約束條件 其中的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 例如 考慮30年期的貼現(xiàn)率函數(shù) 可以用三次多項(xiàng)式分段擬合如下 其中 函數(shù)必須滿足以下的7個(gè)約束條件 從而 我們可以將互相獨(dú)立的參數(shù)縮減到5個(gè) 指數(shù)樣條法 指數(shù)樣條函數(shù)是VasicekandFong 1982 提出的 與在多項(xiàng)式樣條函數(shù)部分所述的原因相同 也采用三階指數(shù)形式樣條函數(shù) 其形式為 模型中 除了u也是一個(gè)參數(shù) 并且有明顯的經(jīng)濟(jì)含義 VasicekandFong 1982 證明了如下等式 即 u可以被認(rèn)為是當(dāng)前的起息日為未來(lái)無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的瞬間遠(yuǎn)期利率 同樣 指數(shù)樣條法也必須滿足如下約束條件 其中 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 選擇樣條函數(shù)的分段數(shù)量和取樣條分界點(diǎn)在指數(shù)樣條法中也同樣十分重要 其方法可以參見(jiàn)多項(xiàng)式樣條法 并且 指數(shù)樣條模型也容易導(dǎo)致遠(yuǎn)期利率曲線不穩(wěn)定 不同于多項(xiàng)式樣條法的是 其參數(shù)估計(jì)必須采用非線性最優(yōu)化 Nelson Siegel模型及其擴(kuò)展形式 Nelson Siegel模型可以由一個(gè)公式來(lái)說(shuō)明 該公式的形式與那些描述動(dòng)態(tài)利率的普通微分方程的解的表達(dá)式十分類似 該公式為 其中 表示即期計(jì)算的 在未來(lái)時(shí)間時(shí)發(fā)生的瞬間遠(yuǎn)期利率 均為待估參數(shù) 利用 可以得到 這就是Nelson Siegel模型的基本表達(dá)形式 當(dāng)固定時(shí) 通過(guò)的不同組合 利用這個(gè)模型 可以推出四種不同形狀的零息票債券收益曲線 遞增 遞減 水平和倒置 但是 這個(gè)模型無(wú)法推導(dǎo)出形狀更為復(fù)雜的收益曲線 例如V形收益曲線和駝峰收益曲線 為了克服上述缺點(diǎn) Svensson 1994 將上述模型擴(kuò)展如下 于是 可以得到 動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型 動(dòng)態(tài)利率期限模型包括均衡模型和套利模型 均衡模型是一種由均衡分析方法得出的模型 它從假設(shè)一些經(jīng)濟(jì)變量開(kāi)始 推出短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的一個(gè)過(guò)程 然后尋找該過(guò)程對(duì)債券價(jià)格和期權(quán)價(jià)格的含義 均衡模型利用以下三步來(lái)為利率或有要求權(quán)定價(jià) 利用已建立好的因子模型來(lái)推導(dǎo)出理論零息票債券收益率曲線 利用參考債券的市場(chǎng)價(jià)格來(lái)校準(zhǔn)模型并推出模型的參數(shù)值 最后 利用已確定的參數(shù)來(lái)為金融衍生品定價(jià) 套利模型由無(wú)套利分析方法得出 它是利用市場(chǎng)上的價(jià)格信息來(lái)推導(dǎo)出利率隨機(jī)微分方程的形式的 均衡模型 根據(jù)狀態(tài)變量集中隨機(jī)變量的個(gè)數(shù) 可以將利率期限結(jié)構(gòu)模型區(qū)分為單因素和兩 多 因素模型兩大類 一般單因素模型 對(duì)取不同的形式 得到了不同的模型 其一般形式如下 表21 1單因素模型總結(jié) Vasicek模型 假設(shè)短期利率的歷史數(shù)據(jù)服從Ornstein Uhlenbeck過(guò)程 即 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q條件下 得到利率變化的過(guò)程為 其中 通過(guò)求解偏微分方程或鞅方法 可以推導(dǎo)出在時(shí)間T到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間t的價(jià)格為 其中 于是 根據(jù)公式 可以推導(dǎo)出起息時(shí)間為t 剩余到期期限為的貼現(xiàn)債券的利率 從而得出時(shí)間t的收益率曲線 貼現(xiàn)債券利率的波動(dòng)率由下式給出 CIR模型 CIR模型假設(shè)短期利率的風(fēng)險(xiǎn)中性過(guò)程為 于是 貼現(xiàn)債券價(jià)格可以表示為 其中 貼現(xiàn)債券利率的波動(dòng)率由下式給出 套利模型 在套利模型中 假設(shè)在時(shí)間T到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間t的價(jià)格的相對(duì)變化滿足如下Ito過(guò)程 其中 為貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的預(yù)期瞬間收益 為貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的瞬時(shí)波動(dòng) W為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 將方程 21 28 在等價(jià)鞅測(cè)度下寫成如下形式 其中 為在另一個(gè)概率測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 根據(jù)Ito引例解上面隨機(jī)微分方程 stochasticdifferentialequation 得到 可以從方程中消除短期利率 過(guò)程如下 首先 利用條件 得到 上面兩式相除 得 上式表明 債券的價(jià)格僅取決于當(dāng)前的期限結(jié)構(gòu)以及波動(dòng)性結(jié)構(gòu) 根據(jù) 21 32 式 還可以推出到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間t的利率 以及在時(shí)間t計(jì)算的 起息日為時(shí)間T的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率 由 可以推得 其中 為瞬間遠(yuǎn)期利率的波動(dòng) 它滿足 由 21 36 式 還可以得到 圖21 3重組樹 圖21 4非重組樹 離散時(shí)間形式的Ho Lee模型 基本假設(shè)HoandLee 1986 假定市場(chǎng)滿足離散狀態(tài)時(shí)間框架下的標(biāo)準(zhǔn)完全資本市場(chǎng)假設(shè) 市場(chǎng)無(wú)摩擦 即 無(wú)稅收 無(wú)交易成本 所有的證券都完全可分 市場(chǎng)在離散時(shí)間點(diǎn)出清 市場(chǎng)完全 即 對(duì)任意期限n 存在貼現(xiàn)債券 對(duì)任意的時(shí)間點(diǎn)n 存在有限個(gè)狀態(tài) 二項(xiàng)式過(guò)程 HoandLee 1986 假定利率期限結(jié)構(gòu)移動(dòng)遵循二項(xiàng)式過(guò)程隨時(shí)間變化 即 其中 定義為在第i種狀態(tài)下 剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間n的均衡價(jià)格 當(dāng)利率上升時(shí) 該價(jià)值向運(yùn)動(dòng) 當(dāng)利率下降時(shí) 該價(jià)值向運(yùn)動(dòng) 干擾函數(shù) 定義干擾函數(shù)和如下 如果利率下降 則債券的價(jià)值向上移動(dòng)到 如果利率上升 那么債券的價(jià)值向下移動(dòng)到 其中 風(fēng)險(xiǎn)中性概率 無(wú)套利條件對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn) n i 給出了其擾動(dòng)函數(shù)的約束 其中 n i 0 與到期期限T 初始貼現(xiàn)債券價(jià)格無(wú)關(guān) 但可能與時(shí)間n 狀態(tài)i有關(guān) 稱為隱含二項(xiàng)式概率 根據(jù)干擾函數(shù)的定義 上式可寫為 隱含二項(xiàng)式概率為CoxRossandRubinstein 1979 模型中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率 RiskNeutralProbability 于是 其中 對(duì)重組樹的要求 在定義了干擾函數(shù)之后 就可以用公式來(lái)明確對(duì)重組樹的要求了 圖21 6利率期限結(jié)構(gòu)的二項(xiàng)式過(guò)程 2 當(dāng)狀態(tài)先上移后下移時(shí) 有 又因?yàn)?故有 當(dāng)狀態(tài)先下移后上移時(shí) 同樣可以得到 比較 21 42 式和 21 43 式 得 又由于 故有 上式可簡(jiǎn)化為一個(gè)一階線性差分方程 其中 于是 和均為常數(shù) 求解上述一階線性差分方程 得 故 為風(fēng)險(xiǎn)中性概率 由 21 48 式 可以推導(dǎo)出 利率期限結(jié)構(gòu) 在第i種狀態(tài)下剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券的時(shí)間n的價(jià)格用初始利率期限結(jié)構(gòu)表示如下 將 21 46 式和 21 47 式代入上式 得 特別的 當(dāng)T 1時(shí) 債券價(jià)格為 于是 短期利率為 設(shè)隱含二項(xiàng)概率為q 則是關(guān)于i的一個(gè)二項(xiàng)分布 均值為 方差為 連續(xù)時(shí)間形式的Ho Lee模型 連續(xù)時(shí)間形式的Ho Lee模型實(shí)際上是單因素HJM模型的一個(gè)特例 它假設(shè)為瞬間遠(yuǎn)期利率的波動(dòng)與t和T無(wú)關(guān) 即 于是 短期利率由下式給出 貼現(xiàn)債券價(jià)格由下式給出 貼現(xiàn)債券利率由下式給出 瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率由下式給出 貼現(xiàn)債券的波動(dòng)方程由下式給出 貼現(xiàn)債券利率的波動(dòng)方程由下式給出 模型的另一種表達(dá) Ho Lee模型的連續(xù)時(shí)間等價(jià)形式為 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度條件下 上式可以寫成 從而有 由于近似等于 這說(shuō)明 短期