2019屆市第一中學高三第六次質檢數(shù)學（理）試題（解析版）

2019屆市第一中學高三第六次質檢數(shù)學（理）試題一、單選題1已知（是實數(shù)），其中是虛數(shù)單位，則（ ）A-2B-1C1D3【答案】A【解析】解析：由題設可得，則，故，應選答案A2如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,若四邊形及其內部的點組成的集合記為,為中任意一點,則的最大值為( )ABCD【答案】B【解析】先畫出，平移直線易得在點D處取得最大值，代入點D坐標求出最大值.【詳解】解：在圖中畫出直線，平移直線易得在點D處取得最大值因為點D，所以最大為2故選：B.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，屬于基礎題.3如圖，在平面直角坐標系中，直線與圓相交于兩點，則=（ ）ABCD【答案】D【解析】圓心O到直線距離為，所以，選D.4在的展開式中，若二項式系數(shù)最大的項是第六項，則展開式中常數(shù)項（ ）.A180B120C90D45【答案】A【解析】根據(jù)二項式系數(shù)最大的項是第六項，可以求出的值，再根據(jù)二項式展開式的通項公式，求出常數(shù)項即可.【詳解】因為二項式系數(shù)最大的項是第六項，所以.，該二項式的展開式的通項公式為：，令，所以常數(shù)項為：.故選：A【點睛】本題考查了二項式定理的應用、二項式展開式的通項公式，考查了二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題.5下邊的程序運行后輸出的結果為( )A50B5C25D0【答案】D【解析】共執(zhí)行了5次循環(huán)體，第一次a=1,第二次a=3,第三次a=1,第四次，a=0,第五次a=0.所以輸出a的值為06平面上三條直線，如果這三條直線將平面劃分成六部分，則實數(shù)的取值集合（ ）.ABCD【答案】D【解析】根據(jù)三條直線將平面劃分成六部分，可以確定三條直線的位置關系，然后分類討論求出實數(shù)的取值集合.【詳解】因為三條直線將平面劃分成六部分，所以三條直線有以下兩種情況：（1）三條直線交于同一點.解方程組，所以交點坐標為，直線也過該點，故；（2）當直線與平行時，；當直線與平行時，綜上所述：.故選：D【點睛】本題考查了直線分平面問題，考查了直線與直線的位置關系，考查了已知直線平行求參數(shù)問題，屬于基礎題.7已知是等比數(shù)列的前項和，若存在，滿足，則數(shù)列的公比為（ ）ABC2D3【答案】D【解析】先判斷，由，利用等比數(shù)列求和公式可得，結合可得，從而根據(jù)可得結果.【詳解】設等比數(shù)列公比為當時，不符合題意，當時，得，又，由，得，故選D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，意在考查對基本公式的掌握與應用，考查了分類討論思想的應用，屬于中檔題.解有關等比數(shù)列求和的題的過程中，如果公比是參數(shù)一定要討論與兩種情況，這是易錯點.8某市為加強城市圈的建設，計劃對周邊如圖所示的八個中小城市進行綜合規(guī)劃治理，第一期工程擬從這八個中小城市中選取三個城市，但要求沒有任何兩個城市相鄰，則城市被選中的概率為（ ）.ABCD【答案】A【解析】根據(jù)題意列出城市被選中的情況和沒有被選中的情況，最后求出概率即可.【詳解】八個中小城市中選取三個城市，要求沒有任何兩個城市相鄰，城市被選中的情況有：，共10種；八個中小城市中選取三個城市，要求沒有任何兩個城市相鄰，城市沒被選中的情況有：，共10種,所以城市被選中的概率為.故選：A【點睛】本題考查了古典概型概率的計算方法，屬于基礎題.9 已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A B C D 【答案】D【解析】試題分析：由于點在拋物線C：的準線上，所以，設直線AB的方程為，將與聯(lián)立，即，則（負值舍去），將k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故選D.【考點】1.直線與拋物線的位置關系；2.斜率公式.10已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，則命題，且，成立的充要條件是（ ）.ABCD【答案】B【解析】由導數(shù)的定義,結合充要條件的定義直接求解即可【詳解】且，不妨設，當時，可得，設，所以該函數(shù)是單調遞減函數(shù)，故；當時，可得，設，所以該函數(shù)是單調遞增函數(shù)，故，因此有.故選：B【點睛】本題考查了充要條件的判斷，考查了導數(shù)的應用 ，屬于基礎題.11已知點在圓上，點在圓上，則下列說法錯誤的是A的取值范圍為B取值范圍為C的取值范圍為D若，則實數(shù)的取值范圍為【答案】B【解析】M在圓C1上，點N在圓C2上，MON90，0，又OM+1，ON+1，當OM=+1，ON=+1時，取得最小值（+1）2cos=32，故A正確；設M（1+cos，1+sin），N（1+cos，1+sin），則=（cos+cos，sin+sin），2=2coscos+2sinsin+2=2cos（）+2，02，故B錯誤；兩圓外離，半徑均為1，|C1C2|=2，22|MN|2+2，即222+2，故C正確；1|OM|+1，-1|ON|+1，當時，解得323+2，故D正確故選B12已知，是半徑為2的球面上的點，點在上的射影為，則三棱錐體積的最大值是（ ）.ABCD【答案】B【解析】由可以判斷出點在底面的射影的位置，這樣可以確定球心位置，利用勾股定理、直角三角形的性質可以求出點到底面的距離，利用相似三角形的性質，可以求出三角形的面積表達式，最后利用導數(shù)求出其面積的最大值，最后也就求出了體積的最大值,【詳解】因為，所以點在底面的射影是直角三角形斜邊中點，所以球心在線段的延長線上，設，因此，即，.過作，垂足為，設，由，可得，設，則有，由，可得，當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，故當，函數(shù)有最大值，最大值為：.三角形的面積的最大值為.三棱錐體積的最大值是.故選：B【點睛】本題考查了三棱錐體積最大值的求法，考查了幾何體的性質，考查了直角三角形的性質，考查了導數(shù)的應用，考查了數(shù)學運算能力.二、填空題13計算_【答案】【解析】分析：根據(jù)定積分的幾何意義，將定積分化為兩個區(qū)域的面積求解詳解：令，可得，表示以原點為圓心，半徑為2的圓的上半部分結合圖形可得所求定積分為和扇形的面積之和（如圖），且中，扇形中，故點睛：求定積分的方法有兩種，一是根據(jù)微積分基本定理求解；二是根據(jù)定積分的幾何意義求解，特別是對于被積函數(shù)中含有根號形式的定積分，一般要根據(jù)幾何意義轉化為圖形的面積求解14在DABC中，且，則_.【答案】【解析】先利用正弦定理化邊為角，結合倍角公式求出，從而求出.【詳解】因為，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故為銳角，所以.【點睛】本題主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用邊角關系進行轉化，三角恒等變換也會經(jīng)常使用.15已知雙曲線C：，左、右焦點分別為，過點作一直線與雙曲線C的右半支交于P、Q兩點，使得F1PQ=90，則F1PQ的內切圓的半徑r =_【答案】2【解析】【詳解】由雙曲線的性質知，,因F1PQ=90，故 ,因此 ，從而直角三角形的內切圓半徑是,故填2.點睛：在一個直角三角形中，內切圓的半徑，可根據(jù)切線長定理得到：，其中分別為直角邊和斜邊.16正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面.線段長度的最小值為_.【答案】【解析】建立空間直角坐標系，設，求出相應點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的運算，結合平面，可以求出點的坐標，利用空間兩點間距離公式，結合配方法求出線段長度的最小值.【詳解】以為空間直角坐標系的原點，以為軸.設，則，因為平面，所以，所以線段長度為：，當時，有最小值，其值為.故答案為：【點睛】本題考查了利用配方法求線段的長的最小值，考查了利用空間向量數(shù)量積的應用，考查了線面垂直的性質，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題17設數(shù)列的前項之積為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項之和為若對任意的，總有，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)由,再由可得數(shù)列的通項公式；(2)先求出,再根據(jù)對任意的,可得的取值范圍.試題解析：解：（1）由，得，所以，所以又，所以6分（2）由，得，所以，因為對任意的，故所求的取值范圍是12分【考點】1.等比數(shù)列的通項公式和性質；2.等比數(shù)列求和.18為了了解我校高2017級本部和大學城校區(qū)的學生是否愿意參加自主招生培訓的情況，對全年級2000名高三學生進行了問卷調查，統(tǒng)計結果如下表：校區(qū)愿意參加不愿意參加重慶一中本部校區(qū)220980重慶一中大學城校區(qū)80720（1）若從愿意參加自主招生培訓的同學中按分層抽樣的方法抽取15人，則大學城校區(qū)應抽取幾人；（2）現(xiàn)對愿意參加自主招生的同學組織摸底考試，考試題共有5道題，每題20分，對于這5道題，考生“如花姐”完全會答的有3題，不完全會的有2道，不完全會的每道題她得分的概率滿足：，假設解答各題之間沒有影響，對于一道不完全會的題，求“如花姐”得分的均值；試求“如花姐”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學期望【答案】（1）；（2）；【解析】試題分析：（1）由分層抽樣的概念得結果；（2）直接利用公式，可得“如花姐”得分的數(shù)學期望；，由相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式，計算隨機變量取每個值時的概率，由期望計算公式得結果試題解析：（1）大學城校區(qū)應抽取人；（2）由題知：對一道不完全會的題，“如花姐”得分的分布列為，即；61218所以對于每一道不完全會的題，“如花姐”得分的期望為分；記為“如花姐”做兩道不完全會的題的得分總和，則；所以“如花姐”最后得分的期望值為分【考點】（1）分層抽樣；（2）離散型隨機變量的分布列及期望19如圖，棱形與正三角形的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，且（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（）詳見解析；（）二面角的余弦值是【解析】試題分析：（1）依據(jù)線面平行的判定定理，需要在平面找到一條直線與直線平行即可因為平面平面，則過點作于，連接，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）由（1）知平面，又，為等邊三角形，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量即可試題解析：（1）如圖，過點作于，連接，可證得四邊形為平行四邊形，平面（2）連接，由（1），得為中點，又，為等邊三角形，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由即，令，得設平面的法向量為由即，令，得所以，所以二面角的余弦值是【考點】（1）線面平行的判定定理；（2）利用空間向量求二面角20設橢圓(ab0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值.【答案】()；()或【解析】分析：（）由題意結合橢圓的性質可得a=3，b=2則橢圓的方程為（）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）由題意可得5y1=9y2由方程組可得由方程組可得據(jù)此得到關于k的方程，解方程可得k的值為或詳解：（）設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得，由，可得ab=6，從而a=3，b=2所以，橢圓的方程為（）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）由已知有y1y20，故又因為，而OAB=，故由，可得5y1=9y2由方程組消去x，可得易知直線AB的方程為x+y2=0，由方程組消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或所以，k的值為或點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題21已知函數(shù).（1）討論的導函數(shù)零點的個數(shù)；（2）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）由已知，根據(jù)求導公式和法則，可得函數(shù)的導函數(shù)為，構造函數(shù)，易知在上為單調遞增，則，因此若或時，函數(shù)沒有零點，所以函數(shù)只有一個零點1；若或時，函數(shù)存在唯一個零點，所以函數(shù)有兩個零點.（2）由（1）知，可對的取值范圍，結合函數(shù)的單調性，進行分段討論，對參數(shù)各段取值，逐一求出函數(shù)的最小值是否為，若是即滿足題意，綜合全部從而可確定參數(shù)的取值范圍.試題解析：（1），令，故在上單調遞增則因此當或時，只有一個零點；當或時，有兩個零點.（2）當時，則函數(shù)在處取得最小值當時，則函數(shù)在上單調遞增，則必存在正數(shù)，使得.若，則，函數(shù)在與上單調遞增，在上單調遞減，又，故不符合題意.若，則，函數(shù)在上單調遞增，又，故不符合題意.若，則，設正數(shù)則，與函數(shù)的最小值為矛盾.綜上所述，即.22（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在直角坐標系中，圓，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，.（1）求的極坐標方程和的平面直角坐標系方程；（2）若直線的極坐標方程為，設與的交點為，與的交點為，求的面積.【答案】(1)見解析;(2) .【解析】試題分析：（1）化圓的標準方程為一般方程，再把代入一般方程得的極坐標方程，利用極坐標方程的幾何意義以及直線的點斜式方程，可得的直角坐標方程；（2）分別將代入，得，根據(jù)極徑與極角的幾何意義，利用三角形面積公式可得結果.試題解析：（1）因為圓的普通方程為，把代入方程得，所以的極坐標方程為，的平面直角坐標系方程為；（2）分別將代入，得