高三數(shù)學第二輪專題講座復習：幾種常見解不等式的解法.doc

高三數(shù)學第二輪專題講座復習：幾種常見解不等式的解法高考要求 不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛，又是學習高等數(shù)學的重要工具，所以不等式是高考數(shù)學命題的重點，解不等式的應用非常廣泛，如求函數(shù)的定義域、值域，求參數(shù)的取值范圍等，高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等有關概念和性質密切聯(lián)系，應重視；從歷年高考題目看，關于解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式 重難點歸納 解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題 (1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法 (2)掌握用零點分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法 (3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數(shù)和對數(shù)不等式的幾種基本類型的解法 (4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法 (5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式 (6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論 典型題例示范講解 例1已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0時0 (1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數(shù)； (2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，求t的取值范圍 錯解分析 (2)問中利用單調性轉化為不等式時，x+1，1，1，1必不可少，這恰好是容易忽略的地方 技巧與方法 (1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之筆 (1)證明 任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增函數(shù) (2)解 f(x)在1，1上為增函數(shù)， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上為增函數(shù)，且f(1)=1，故對x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，記g(a)=t22at，對a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范圍是 t|t2或t=0或t2 例2設不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實數(shù)a的取值范圍 命題意圖 考查二次不等式的解與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系 知識依托 本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數(shù)學思想 錯解分析 M=是符合題設條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于a的不等式要全面、合理，易出錯 技巧與方法 該題實質上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內在聯(lián)系是關鍵所在；數(shù)形結合的思想使題目更加明朗 解 M1，4有兩種情況 其一是M=，此時0；其二是M，此時=0或0，分三種情況計算a的取值范圍 設f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當0時，1a2，M=1，4(2)當=0時，a=1或2 當a=1時M=11，4；當a=2時，m=21，4 (3)當0時，a1或a2 設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4時，a的取值范圍是(1，) 例3解關于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化為 0，當a1時，原不等式與(x)(x2)0同解 由于原不等式的解為(，)(2，+) 當a1時，原不等式與(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集為(，2)；若a=0時，解集為；若0a1，,解集為(2，)綜上所述 當a1時解集為(，)(2，+)；當0a1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a0時，解集為(，2） 學生鞏固練習 1 設函數(shù)f(x)=，已知f(a)1，則a的取值范圍是( )A (，2)(，+)B (，)C (，2)(，1)D (2，)(1，+)2 已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，則f(x)g(x)0的解集是_ 3 已知關于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，則a的取值范圍是_ 4 已知適合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值為3 (1)求p的值； (2)若f(x)=，解關于x的不等式f-1(x)(kR+)5 設f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，問是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+對一切實數(shù)x都成立，證明你的結論 參考答案 1 解析 由f(x)及f(a)1可得 或 或 解得a2，解得a1，解得xa的取值范圍是(，2)(，1）答案 C2 解析 由已知ba2f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，f(x)0的解集是(b，a2)，g(x)0的解集是() 由f(x)g(x)0可得 x(a2，)(，a2)答案 (a2，)(，a2)3 解析 原方程可化為cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原問題轉化為方程t22ta1=0在1，1上至少有一個實根 令f(t)=t22ta1，對稱軸t=1，畫圖象分析可得解得a2，2 答案 2，24 解 (1)適合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值為3，x30，|x3|=3x 若|x24x+p|=x2+4xp，則原不等式為x23x+p+20，其解集不可能為x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p 原不等式為x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8 (2)f(x)=，f-1(x)=log8 (1x1，有l(wèi)og8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k 1x1，kR+，當0k2時，原不等式解集為x|1kx1；當k2時，原不等式的解集為x|1x1 5 解 由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=1，由f(x)2x2+2x+推得f(1) 由f(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f