考研數學公式手冊隨身看(打印版).pdf

目目 錄錄 一 高等數學 1 一 函數 極限 連續(xù) 1 二 一元函數微分學 4 三 一元函數積分學 11 四 向量代數和空間解析幾何 16 五 多元函數微分學 24 六 多元函數積分學 30 七 無窮級數 34 八 常微分方程 40 二 線性代數 44 一 行列式 44 二 矩陣 45 三 向量 48 四 線性方程組 50 五 矩陣的特征值和特征向量 51 六 二次型 53 三 概率論與數理統(tǒng)計 55 一 隨機事件和概率 55 二 隨機變量及其概率分布 58 三 多維隨機變量及其分布 60 四 隨機變量的數字特征 63 五 大數定律和中心極限定理 65 六 數理統(tǒng)計的基本概念 66 七 參數估計 68 八 假設檢驗 70 經常用到的初等數學公式 72 平面幾何 76 1 一 高等數學一 高等數學 一一 函數 極限 連續(xù)函數 極限 連續(xù) 考試內容考試內容 公式 定理 概念公式 定理 概念 函數和隱函數和隱 函數函數 函數 設有兩個變量x和y 變量x的定義域為D 如果對于D中的每 一個x值 按照一定的法則 變量y有一個確定的值與之對應 則稱變量y為變量x的函數 記作 yf x 基本初等基本初等 函數的性函數的性 質及其圖質及其圖 形 形 初等函初等函 數 數 函數關函數關 系的建立系的建立 基本初等函數包括五類函數 1 冪函數 yxR 2 指數函數 x ya 0a 且1a 3 對數函數 logayx 0a 且1a 4 三角函數 如sin cos tanyx yx yx 等 5 反三角函數 如 arcsin arccos arctanyx yx yx 等 初等函數 由常數C和基本初等函數經過有限次四則運算與有限此復合 步驟所構成 并可用一個數學式子表示的函數 稱為初等函 數 數 列 極 限數 列 極 限 與 函 數 極與 函 數 極 限 的 定 義限 的 定 義 及其性質及其性質 函 數 的 左函 數 的 左 極 限 與 右極 限 與 右 極限極限 1 0 00 lim xx f xAfxfxA 2 00 0 lim lim 0 xxxx f xAf xAa xa x 其中 3 保號定理保號定理 0 lim 0 0 0 xx f xAAA 設又或則 一個 000 0 0 xxxxxf xf x 若則是 的k階無窮小 0 x 常用的等階無窮小 當時 sin arcsin tan arctan ln 1 e1 x x x x x x x 2 1 1 1cos 2 1 1 1 n xx xx n 無窮小的性質 1 有限個無窮小的代數和為無窮小 2 有限個無窮小的乘積為無窮小 3 無窮小乘以有界變量為無窮小 Th 在同一變化趨勢下 無窮大的倒數為無窮小 非零的無窮小的倒數 為無窮大 極限的四極限的四 則運算則運算 lim lim f xAg xB 則 1 lim f xg xAB 2 lim f x g xA B 3 lim 0 f xA B g xB 3 極限存在極限存在 的兩個準的兩個準 則 則 單調有單調有 界 準 則 和界 準 則 和 夾逼準則夾逼準則 兩 個 重 要兩 個 重 要 極限 極限 1 xxf xx 0 夾逼定理 設在 的鄰域內 恒有 00 lim lim xxxx xxA 且 0 lim xx f xA 則 2 單調有界定理 單調有界的數列必有極限單調有界定理 單調有界的數列必有極限 3 兩個重要極限 兩個重要極限 0 sin 1 lim1 x x x 1 0 2 lim 1 e x x x 重要公式 重要公式 0 0 1 011 1 011 lim0 nn nn mm x mm a nm b a xa xaxa nm b xb xbxb nm L L 4 幾個常用極限特例 lim1 n n n lim arctan 2 x x lim arctan 2 x x lim arccot0 x x lim arccot x x lim e0 x x lim e x x 0 lim1 x x x 函數連續(xù)函數連續(xù) 的概念 的概念 函函 數間斷數間斷 點的類點的類 型 型 初等函初等函 數 的 連 續(xù)數 的 連 續(xù) 性 性 閉區(qū)間閉區(qū)間 上 連 續(xù) 函上 連 續(xù) 函 數的性質數的性質 連續(xù)函數在閉區(qū)間上的性質 1 連續(xù)函數的有界性 設函數 f x在 a b上連續(xù) 則 f x 在 a b上有界 即 常數0M 對任意的 xa b 恒有 f xM 2 最值定理 設函數 f x在 a b上連續(xù) 則在 a b上 f x至少取得最大值與最小值各一次 即 使得 4 max a x b ff xa b min a x b ff xa b 3 介值定理 若函數 f x在 a b上連續(xù) 是介于 f a與 f b 或最大值M與最小值m 之間的任一實數 則在 a b 上至少 一個 使得 fab 4 零點定理或根的存在性定理 設函數 f x在 a b上連 續(xù) 且 0f af b 則在 a b內至少 一個 使得 0 fab 2 sin sin 2 nn kxkkxn 3 cos cos 2 nn kxkkxn 7 4 1 1 mnm n xm m m n x L 5 1 1 ln 1 nn n n x x 6 萊布尼茲公式 若 u x v x均n階可導 則 0 n niin i n i uvc u v 其中 0 u u 0 v v 微分微分中值中值 定理 定理 必必達達 法法則 則 泰勒泰勒公式公式 Th1 費馬定理 若函數 f x滿足條件 1 函數 f x在 0 x的某鄰域內有定義 并且在此鄰域內恒有 0 f xf x 或 0 f xf x 2 f x在 0 x處可導 則有 0 0fx Th2 羅爾定理 設函數 f x滿足條件 1 在閉區(qū)間 a b上連續(xù) 2 在 a b內可導 則在 a b內 一個 使 0f Th3 拉格朗日中值定理 設函數 f x滿足條件 1 在 a b上連續(xù) 2 在 a b內可導 則在 a b內 一個 使 f bf a f ba Th4 柯西中值定理 設函數 f x g x滿足條件 1 在 a b上連續(xù) 2 在 a b內可導且 fx g x 均存在 且 0g x 則在 a b內 一個 使 f bf af g bg ag 洛必達法則 法則 0 0 型 設函數 f xg x滿足條件 00 lim0 lim0 xxxx f xg x f xg x在 0 x的鄰域內可導 在 0 x處可除外 且 0gx 0 lim xx fx gx 存在 或 則 00 limlim xxxx f xfx g xgx 8 法則 I 0 0 型 設函數 f xg x滿足條件 lim0 lim0 xx f xg x 一個0X 當xX 時 f xg x可導 且 0gx 0 lim xx fx gx 存在 或 則 00 limlim xxxx f xfx g xgx 法則 型 設函數 f xg x滿足條件 00 lim lim xxxx f xg x f xg x在 0 x 的鄰域內可 導 在 0 x處可除外 且 0gx 0 lim xx fx gx 存在 或 則 00 limlim xxxx f xfx g xgx 同理法則 II 型 仿法則 I 可寫出 泰勒公式 設函數 f x在點 0 x處的某鄰域內具有1n 階導 數 則對該鄰域內異于 0 x的任意點x 在 0 x與x之間至少 一個 使得 2 00000 1 2 fxfxfxxxfxxx L 0 0 n n n fx xxRx n 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 稱為 f x在點 0 x處的n階泰勒余 項 令 0 0 x 則n階泰勒公式 2 1 0 0 0 0 2 n n n f fxffxfxxRx n L 1 9 其中 1 1 1 n n n f Rxx n 在 0 與x之間 1 式稱為麥克勞林公式 常用五種函數在 0 0 x 處的泰勒公式 1 2 11 e1 2 1 n xn x xxxe nn L 或 2 11 1 2 nn xxxo x n L 1 3 11 sinsinsin 3 2 1 2 nn xnxn xxx nn L 或 3 1 sin 3 2 n n xn xxo x n L 1 2 11 cos1coscos 2 2 1 2 nn xnxn xx nn L 或 2 1 1cos 2 2 n n xn xo x n L 1 231 1 11 1 ln 1 1 23 1 1 nnn n n xx xxxx nn L 或 231 11 1 23 n nn x xxxo x n L 2 1 1 1 1 1 2 mn m mm mmn xmxxx n L L 11 1 1 1 1 nm n m mmn x n L 或 2 1 1 1 2 m m m xm xx L 1 1 nn m mmn xo x n L 函數單調函數單調 性的性的判別判別 函數的極函數的極 值值 函數的函數的 圖形的圖形的凹凹 凸凸性 性 拐拐點點 1 函數單調性的判斷 Th1 設函數 f x在 a b區(qū)間內可導 如果對 xa b 都有 0fx 或 0fx 則函數 f x在 a b內是單調增加的 或單調減少 Th2 取極值的必要條件 設函數 f x在 0 x處可導 且在 0 x處取極值 10 及漸近線及漸近線 用函數圖用函數圖 形描繪函形描繪函 數最大值數最大值 和最小值和最小值 則 0 0fx Th3 取極值的第一充分條件 設函數 f x在 0 x的某一鄰域內可微 且 0 0fx 或 f x在 0 x處連續(xù) 但 0 fx不存在 1 若當x經過 0 x時 fx由 變 則 0 f x為極大值 2 若當x經過 0 x時 fx由 變 則 0 f x為極小值 3 若 fx經過 0 xx 的兩側不變號 則 0 f x不是極值 Th4 取極值的第二充分條件 設 f x在點 0 x處有 0fx 且 0 0fx 則 當 0 0fx時 0 f x為極小值 注 如果 0 0fx 此方法失效 2 漸近線的求法 1 水平漸近線 若lim x f xb 或lim x f xb 則yb 稱為函數 yf x 的水平漸近線 2 鉛直漸近線 若 0 lim xx f x 或 0 lim xx f x 則 0 xx 稱為 yf x 的鉛直漸近線 3 斜漸近線 若 lim lim xx f x abf xax x 則 yaxb 稱為 yf x 的斜漸近線 3 函數凹凸性的判斷 Th1 凹凸性的判別定理 若在 I 上 0fx 則 f x在 I 上是凸的 或凹的 Th2 拐點的判別定理 1 若在 0 x處 0fx 或 fx不存 在 當x變動經過 0 x時 fx變號 則 00 xf x為拐點 11 Th3 拐點的判別定理 2 設 f x在 0 x點的某鄰域內有三階導數 且 0fx 0fx 則 00 xf x為拐點 弧弧微分 微分 曲曲 率率的概念的概念 曲率半徑曲率半徑 1 弧微分 2 1 dSy dx 2 曲率 曲線 yf x 在點 x y處的曲率 3 2 2 1 y k y 對于參數方程 xt yt 3 2 22 tttt k tt 3 曲率半徑 曲線在點M處的曲率 0 k k 與曲線在點M處的曲率半徑 有如下關系 1 k 三三 一元函數一元函數積積分學分學 考試內容考試內容 對應公式 定理 概念對應公式 定理 概念 原原函數和函數和 不不定定積積分分 的概念 的概念 不不 定定積積分的分的 基本性質基本性質 基本性質 1 kf x dxkf x dx 0k 為常數 2 1212 kk f xfxfx dxf x dxfx dxfx dx LL 3 求導 f x dxf x 或微分 df x dxf x dx 4 F x dxF xC 或 dF xF xC C是任意常數 基本基本積積分分 公式公式 1 1 1 kk x dxxC k 1k 2 11 dxC xx 1 2dxxC x 1 lndxxC x 0 1 ee ln x xxx a a dxCaadxC a 12 cossinsincosxdxxCxdxxC 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x 2 2 1 csccot sin dxxdxxC x 1 cscln csccot sin dxxdxxxC x 1 secln sectan cos dxxdxxxC x sec tanseccsc cotcscxxdxxCxxdxxC tanln coscotln sinxdxxCxdxxC 222 1 arctanarctan 1 dxxdx CxC aaaxx 222 arcsinarcsin 1 dxxdx CxC a axx 222 111 lnln 2211 dxaxdxx CC aaxxaxx 22 22 ln dx xxaC xa 重要公式重要公式 1 f xl l 設在上連續(xù) 則 0 ll l fx dxfxfxdx 0 0 2 l fx fx d xfx 當 為 奇 函 數 當 為 偶 函 數 2f xTa 設 是以為周期的連續(xù)函數 為任意實數 則 2 0 2 T aTT T a fx dxfx dxfx dx 222 0 1 3 4 a ax dxa 13 22 00 131 22 2 4 sincos 132 1 23 nn nn n nn xdxxdx nn n nn L L 當 為偶數 當 為奇數 2 0 5sincossincos 0 nm nxmxdxnxmxdx nm 2 0 sincossincos0nxmxdxnxmxdx 2 0 coscoscoscos0 0 nm nxmxdxnxmxdx nm 定定積積分的分的 概念和基概念和基 本性質 本性質 定定 積積分分中值中值 定理定理 1 定定積積分的基本性質分的基本性質 1 bbb aaa f x dxf t dtf u du L 定積分只與被積函數和積分限有關 而與積分變量無關 即 2 ba ab f x dxf x dx 3 b a dxba 4 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 5 bb aa kf x dxkf x dx k 為常數 6 bcb aac f x dxf x dxf x dx 7 bb aa f xg x xa bf x dxg x dx 比較定理 設則 0 b a f xxa bf x dx 推論 1 當0 時 2 bb aa f x dxf x dx 8 b a mf xM xa bm M m baf x dxM ba 估值定理 設其中為常數 則 14 9 b a f xa ba b f x dxba f 積分中值定理 設在上連續(xù) 則在上至少 一個 使 1 b a ff x dx ba 平均值公式 積積分上限分上限 的函數及的函數及 其導數 其導數 牛牛 頓 萊頓 萊 布尼茲布尼茲公公 式式 Th1 x a f xabxab F xf t dtx 設函數 在 上連續(xù) 則變上限積分 對 可導 x a dd FxF xf t dtfx dxdx 且 有 x a F xf t dtFxfxx 推論1 設 則 x x x f t dtfxxfxx 推論2 xx xx aa f t g x dtg xf t dt 推論3 x a gxf t dtg x fxx Th2 f xa bxa b 設在 上連續(xù) 則 x a f x dtf xa b 是在上的一個原函數 Th3 f xa b牛頓 萊布尼茨公式 設在 上連續(xù) F x f x是的的原原函數 則函數 則 b b a a fx dxF xF bF a 不不定定積積分分 和定和定積積分分 的的換換元元積積 分分法法與分與分 部積部積分分法法 1 不不定定積積分 分 分分部積部積分分法法 udvuvvdu 選擇 u dv 的原則 積分容易者選作 dv 求導簡單者選為 u 換換元元積積分分法法 f u duF uC 設 fxx dxfxdx 則 uxf u duF uCFxC 設 15 2 定定積積分分 換換元元法法 f xa bxt 設函數 在 上連續(xù) 若 滿足 0 tt 1 在 上連續(xù) 且 2 aabt 并且 當 在 上變化時 tab 的值在 上變化 則 則 b a fx dxftt dt 分分部積部積分公式分公式 u xv xa bu x v x設 在 上具有連續(xù)導函數則 aa a b bb u x vx dxu x v xv x ux dx 3 定定積積分分不不等式等式證明中常用證明中常用的的不不等式等式 22 1 2abab 1 2 0 2aa a 3 柯西不等式 222 bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx f xg xab 其中 在 上連續(xù) 有理函數有理函數 三角三角函數函數 的有理式的有理式 和和簡簡單無單無 理函數的理函數的 積積分 分 廣廣義義 積積分和定分和定 積積分的應分的應 用用 1 三角三角函數函數代換代換 函數 f x含根式 所作代換 三角形示意圖 22 ax sinxat 22 ax tanxat 22 xa secxat 16 有理函數積分有理函數積分 1 ln A dxAxaC xa 1 1 2 1 1 nn AA dxC n xanxa 2 2 2 2222 4 2 4 3 4 24 p xu nn q p na dxdxdu pq pxpx qua x 令 2212 11 4 2 1 2 nnn x apdx dxa xpx qnxpx qxpx q 2 40pq z y x 標標準二準二次方程次方程及其圖形及其圖形 名稱 方程 圖形 橢球面 222 222 1 xyz abc a b c均為正數 ob c z y x 24 單葉雙曲面 222 222 1 xyz abc a b c均為正數 雙葉雙曲面 222 222 1 xyz abc a b c均為正數 橢圓的拋物面 22 22 2 xy pz ab a b p為正數 雙曲拋物面 又名馬鞍面 22 22 2 xy pz ab a b p均為正數 二次錐面 222 222 0 xyz abc a b c為正數 o y x z 五五 多多元函數微分學元函數微分學 考試內容考試內容 對應公式 定理 概念對應公式 定理 概念 25 多多元函數元函數 的概念 的概念 二二 元函數的元函數的 幾何意義幾何意義 二元函數二元函數 的極限和的極限和 連續(xù)的概連續(xù)的概 念 念 二元函數 zf x y 連續(xù) 可導 兩偏導存在 與可微三者的關系如 下 可導 可微 函數連續(xù) 表示可推出 用全微分定義驗證一個可導函數的可微性 只需驗證 lim0 xy zfx yxfx yy 是否為 有界閉區(qū)有界閉區(qū) 域域上上多多元元 連續(xù)函數連續(xù)函數 的性質 的性質 多多 元函數元函數偏偏 導數和導數和全全 微分 微分 全全微微 分存在的分存在的 必要必要條件條件 和和充充分分條條 件件 基本基本原原理理 1 xyyx xyyx Th zf x yfx yfx y Dfx yfx y 求偏導與次序無關定理 設的兩個混合偏導數 在區(qū)域 內連續(xù) 則有 2 Thzf x yP x y zzzz dzdxdy xyxy 可微與偏導存在的關系定理 若在 點處可微 則在該點處必存在 且有 3 Th z zfx yP x y y P x y zfx yP x y 偏 導 存 在 與 可 微 的 關 系 定 理 z 若的 兩 個 偏 導 數在 x 上 的 某 領 域 內 存 在 且 在連 續(xù) 則在點 處 可 微 多多 元元 復 合復 合 函數 函數 隱函隱函 數 的數 的 求求 導導 法法 二階二階偏偏 導數 導數 方向方向 導 數 和導 數 和 梯梯 度度 1 復合復合函數微分函數微分法法 1 zf u v ux y vx y 設則 zzuzv xuxvx zzuzv yuyv y 2 zf u v ux vx z duz dv z u dxv dx 設 dz 則稱之為 的全導數 dx 26 3 0 zf x u v ux y vx y zffufv xxuxvx zfufv yuyvy 設 則 注注 復合函數一定要設中間變量 抽象函數的高階偏導數 其中間變量 用數字 1 2 3 表示更簡潔 2 隱函數微分隱函數微分法法 1 0 x y Fx ydy F x y dxFx y 設則 2 0 y x zz Fx y z Fx y zzz F x y z xFx y zyFx y z 則 3 yy x zz x F x y z 0 設由方程組確定的隱函數 G x y z 0 dy dz dx dx 則可通過 dy dz dx dx 解關于的線性方程組 0 0 xyz xyz dydz FFF dxdy dydz GGG dxdx yzx yzx dydz FFF dxdx dydz GGG dxdx 來求解 方向導數和梯度 Th1 設 zf x y 在 000 Mxy處可微 則 f x y在點 000 Mxy沿任意 方向 cos cos l 存在方向導數且 000000 coscos f xyf xyf xy lxy 在平面上l除了用方向角表示外也可用極角表示 cos sin l 0 2 l 是 的極角 此時相應的方向導 數的計算公式為 000000 cossin f xyf xyf xy lxy Th2 設三元函數 uf x y z 在 0000 Mxyz處可微 則 uf x y z 在點 0000 Mxyz沿任意方向 cos cos cos l 存在方向導數且有 27 000000000 coscos f xyzf xyzf xyz lxy 000 cos f xyz z 梯度 zf x y 在點 0 M的方向導數計算公式可改寫成 000000 cos cos f xyf xyf xy lxy 000000 cos grad f xylgradf xygrad f xyl 這里向量 0000 00 f xyf xy gradf xy xy 成為 zf x y 在點 0 M的梯度 向量 00 f xy l l 隨 而變化 00 00 grad f xy l grad f xy 即沿梯度方向時 方 向導數取最大值 00 grad f xy 空空間間曲線曲線 的的切線切線和和 法平面法平面 曲曲 面面的的切平切平 面面和和法線法線 1 曲線曲線的的切線切線及及法平面方程法平面方程 0000 1 xx t yy txyztt zz t 曲線在 000 000 xxyyzz x ty tz t 處的切線方程 000000 0 x txxy tyyz tzz 法平面方程 2 空間曲線 的一般式方程為 0 0 F x y z G x y z 000 P xyz 則在曲線 的 處的 000 ppp xxyyzz F GF GF G y zz xx y 切線方程 法線方程法線方程 28 000 0 ppp F GF GF G xxyyzz y zz xx y 2 空空間間曲面曲面在其上在其上某某點點處處的的切平面切平面和和法線方程法線方程 000 1 zf x yP x y z 設曲面為顯示方程則在上一點處的 000 0 p p zz xxyyzz xy 切平面方程 000 1 p p xxyyzz z z x y 法線方程 000 2 0 F x y zP x y z 設曲面為隱式方程 則在上一點的 000 0 xyz p p FxxFyyFzz 切平面方程 000 xpypzp xxyyzz FFF 法線方程 二元函數二元函數 的二階的二階泰泰 勒勒公式 公式 多多 元函數的元函數的 極極值值和和條條 件件極極值值 多多 元函數的元函數的 最最大大值值 最最 小小值值及其及其 簡簡單應單應用用 1 多多元函數的極元函數的極值值 定義 定義 00 zf x yP x y 設函數在的某鄰域內有定義 若若對對于于該鄰該鄰域域 內內異異于于 00 P xy 點的任一 Q x y點恒有 0000 f x yf xyf xy 或 00 f xyf x y則稱為的極小值 極大極大值值 00 00 00 00 1 0 0 x y Th zfx yP xy fxy P xyzfx y fxy 取極值的必要條件 設在點的一階偏導數存在 且 是的極值點 則 29 00 000 2 0 0 xy Th zfx yP xy fxyfxy 0 函 數 取 極 值 的 充 分 條 件 設在點 的 某 鄰 域 內 有 連 續(xù) 的 二 階 偏 導 數 且 222 000000 0 xyxy fxyfxyfxy 若或則為極小值點 22 000000 0 0 xy fx yfx yP x y 2 若或則為極大值點 2 無無條件條件極極 值值 解題程序 0 1 zf x yxy 0 求出的駐點 00 2 2 Thxy用判別是否為極值點 是 00 f xy則為 zf x y 的極值 3 條件極值 拉格朗日乘數法 1 x yzf x y 由條件 0 求的極值 解題程序 F x yf x yx y 令 00 0 0 0 xx yy fx yx y fx yx yxy x y 解方程組 求駐點 00 f xyf x y即為的極值 存在的話 30 0 0 00 00 2 0 0 0 0 xx yy zz uf x y z F x y zx y z fx yzx y z fx y zx y z fx y zx y z x y z x y zf x y zf x y z 由條件 x y z 0 求的極值 解題程序 令 解方程組 若 為其解即為的極值 若存在的話 12 1122 3 0 0 12 x y zx y zuf x y z F x y zf x y zx y zx y z 由條件 求函數的極值 解題程序 令 以下仿 六六 多元函數積分學多元函數積分學 考試內容考試內容 對應公式 定理 概念對應公式 定理 概念 二 重 積 分二 重 積 分 與 三 重 積與 三 重 積 分的概念分的概念 性質 性質 計算計算 和應用和應用 1 二重積分 二重積分 0 11 i I lim 1 2 max n iiii d i ni i f x y dfdd din L D 其中 為的直徑 幾何意義 幾何意義 0 I D zf x yx yDzf x y 當時 而二重積分 表示以 為曲頂 以 為底的柱體體積 2 三重積分 三重積分 0 11 D i I lim 1 2 max n iiiii d i ni i F x y z dvfvdd dvin L 其中 為的直徑 物理意義 物理意義 If x y z 三重積分 表示體密度為的空間形體 的質量 3 性質性質 只敘述二重積分的性質 三重積分類似只敘述二重積分的性質 三重積分類似 1 D kf xykf x yk D d d 為常數 31 2 DD f x yg x y df x y dg x y d 3 1 i n i i DD f x y df x y dD 其中為 D的構成子域且任兩個子域沒 有重迭部分1 2 im L 4 D dAAD 其中 為 的面積 5 比較定理 比較定理 DD Df x yg x yf x y dg x y d 若在 上恒有則 6 M mf x yD估值定理 設分別為在閉域 上的最大與最小值 AD為 的面積 則 D mAf x y dMA 7 f x yDAD Df x y dfA D 中值定理 若在閉域 上連續(xù) 為 的面積 則在 上至少 一點 使 8 二重積分的對稱性原理對稱性原理 xf x yy f x y D 1 如果積分域D關于 軸對稱 為 的奇偶函數 則二重積分d 1 0 2 D fyf xyf x y f x y dff xyf x y 關于 為奇函數 即 關于y為偶函數 即 DD 1為 在上半平面部分 這個性質的幾何意義見圖 a b 32 yf x yx2 如果積分域D關于 軸對稱 為 的奇偶函數 f x y D 則二重積分d 2 0 2 D fxfx yf x y f x y dfxfx yf x y 關于 的奇函數 即 關于 為偶函數 即 DD 2為 在右半平面部分 f x yx y3 如果D關于原點對稱 同時為的奇偶函數 f x y D 則二重積分d 2 0 2 D ffxyf x y f x y dffxyf x y 關于x y的奇函數 即 關于x y為偶函數 即 DD 1為 在上半平面部分 yxf x yf x y DD 4 如果D關于直線對稱 則dd 注 注 注意到二重積分積分域 D 的對稱性及被積函數 f x y的奇偶性 一方面可減少計算量 另一方面可避免出差錯 要特別注意的是僅當積 分域 D 的對稱性與被積函數 f x y的奇偶性兩者兼得時才能用性質 8 兩類曲線兩類曲線 積分的概積分的概 念 念 性質及性質及 計算 計算 兩類兩類 曲線積分曲線積分 的關系 的關系 格格 林公式 林公式 平平 1 平面曲線積分與路徑無關的四個等價條件平面曲線積分與路徑無關的四個等價條件 設函數 P x y Q x y在單連通區(qū)域 D 上具有一階連續(xù)偏導數 則 L PdxQdy 與路徑無關 QP x yD xy 33 面曲線積面曲線積 分與分與路路徑徑 無關的無關的條條 件件 0 L PdxQdyL 為一簡單分段光滑封閉曲線 存在函數 u x yx yD 使 du x yPdxQdy 且 00 x y xy u x yPdxQdy 2 格林公式 設平面上的有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數 P x y Q x y在有D連續(xù)的一階偏導數 則有 L D QP dxdyPdxQdy xy 或者 L D QP dxdyPdxQdy xy 二元函數二元函數 全全微分的微分的 原原函數 函數 兩兩 類類曲面積曲面積 分的概念分的概念 性質及性質及計計 算 算 兩類兩類曲曲 面積面積分的分的 關系 關系 高高斯斯 公式 公式 斯托斯托 克斯克斯 公式 公式 1 高斯 Gauss 公式 設 是空間中的有界閉區(qū)域 由分塊光滑的曲面所S圍成 函數 P x y z Q x y z R x y z在 由連續(xù)的一階偏導數 則 coscoscos S S PQR dVPdydzQdzdxRdxdy xyz PQR dVPQRdS xyz 或 這里S是 的整個邊界的外側 即取外法向 cos cos cos 是S上點 x y z處的外法向量的方向余弦 2 斯托克斯公式 設 為分段光滑的又向閉曲線 S是以 為邊界的分塊光滑有向曲面 的 正 向 與S的 側 即 法 向 量 的 指 向 符 合 右 手 法 則 函 數 P x y z Q x y z R x y z在包含S的一個空間區(qū)域內有連續(xù)的一階偏 導數 則有 S RQPRQP dydzdzdxdxdyPdxQdyRdz yzzxxy S dydzdzdxdxdy PdxQdyRdz xyz PQR 或 34 cos cos cos S RQPRQP yzzxxy PdxQdyRdz 散 度散 度 和和 旋旋 度度 的 概 念的 概 念 及及計計算 算 曲曲 線 積線 積 分 和分 和 曲 面 積曲 面 積 分分 的應的應用用 1 散度的計算公式 設 AP x y z iQ x y z jR x y z k P Q R u vvvv 均可導 則A u v 在 P x y z 點處的散度為 PQR divA xyz u v 2 旋度的計算公式 設有矢量場 AP x y z iQ x y z jR x y z k u vvvv 其中 P Q R均有連續(xù) 的一階偏導數 則旋度rotA uv 為 ijk rotA xyz PQR vvv u v 七七 無窮無窮級級數數 考試內容考試內容 對應公式 定理 概念對應公式 定理 概念 常常 數數 項 級項 級 數 的數 的 收 斂收 斂 與與 發(fā) 散發(fā) 散 的的 概念 概念 收斂收斂 級級 數 的 和數 的 和 的 概 念的 概 念 級級 數 的 基 本數 的 基 本 性 質 與性 質 與 收收 斂斂 的 必 要的 必 要 條件條件 1 級級數數 1 n n u 的性質 的性質 11 1 0 nn nn cucu 設的 常 數 則與有 相 同 斂 散 性 11 2 nn nn uv 設 有 兩 個 數 級與 111 nnnn nnn usvuvs 若則 111 nnnn nnn uvuv 若收 斂 發(fā) 散 則發(fā) 散 35 111 nnnn nnn uvuv 若均 發(fā) 散則斂 散 性 不 定 注 添加或去消有限項不影響一個級數的斂散性 設級數 1 n n u 收斂 則對其各項任意加括號后所得新級數仍收斂于原級 數的和 幾 何幾 何 級級 數數 與與 p 級級數數 以以 及及 他 們他 們 的的收斂收斂性性 正 項 級正 項 級 數數 收 斂收 斂 性 的性 的 判別法判別法 正項級正項級數數 1 n n u 0 n u 的 的判判斂斂法法 1 0 nn uv 比較判斂法 設若 11 nn nn uv 收斂 則收斂 11 nn nn uv 發(fā)散 則發(fā)散 2 11 nn nn uv 比較法的極限形式 設及均為正項級數 lim 0 n n n n u A v v 且 11 1 0 nn nn Avu 若且收斂 則收斂 11 2 0 nn nn Avu 若且發(fā)散 則發(fā)散 兩個常用的比較級數 1 1 1 1 1 n n a r iarr r 收斂 1時 級數 發(fā)散 1時 3 比比值判別法值判別法 達朗貝爾準則 適用于通項 n u中含有 n 或關于 n 的 若干連乘積形式 1 0 1 2 nn n unu L設對于來講 1 1 1 1 1 lim 1 n n n n n n n u u u u 的判斂法的判斂法 萊布尼茲準則 萊布尼茲準則 1 1 1 0 n nn n uu 若交錯級數滿足條件 1 1 1 2 2 lim0 nnn n uunu LL 則交錯級數收斂 其和 1 Su 其 n 項余和的絕對值 1 nn Ru 函數項級函數項級 數的收斂數的收斂 域與和函域與和函 數的概念數的概念 冪級數及冪級數及 其收斂半其收斂半 徑 徑 收斂區(qū)收斂區(qū) 間間 指開區(qū)指開區(qū) 間間 和收斂和收斂 域 域 冪級數冪級數 的和函數的和函數 1 冪級數 冪級數 2 012 0 nn nn n aa xa xa xa x LL 1 1 lim n n n a R a 收斂半徑 若則 2 函數函數項級項級數數 1 n n ux 收斂收斂域域的的求求法法步驟步驟 1 x 用比值 或根值 法求 即 1 lim lim n n n nn n ux xuxx ux 或 1 2 n n xuxa b 解不等式方程1 求出的收斂區(qū)間 11 3 nn nn xaxbuau b 考察 或 時 或 的斂散性 1 4 n n ux 寫出的收斂域 冪級冪級數在數在 其其收斂收斂區(qū)區(qū) 間內的基間內的基 本性質 本性質 簡簡 單單冪級冪級數數 的和函數的和函數 的的求求法法 初初 等等冪級冪級數數 展開展開式式 1 冪級數的四則運算性質 00 nn nn nn a xf xb xg x 設其收斂半徑分別為 1212 min R R RR R xR R 則對有 1 000 nnn nnnn nnn a xb xab xf xg x 且在 R R 內絕對收斂 2 0111 10 000 nnn nnnnnn nnn a xb xa bababa b x L 37 f x g x 3 0 0 0bx 設則在的足夠小鄰域內 201 012 01 n nn n n n aa xa xf x CC xC xC x g xbb xb x LL LL LL 利用多項式的長除法可得 01 00 1 01 2 00 aa ba b CC bb L 2 冪級數的分析性質 0 n n n a xRRR 設冪級數的收斂半徑為 則在 內有 1 0 n n n a xf x 的和函數 是連續(xù)的 2 00 nn nxn nn a xfa x 可逐項微分 且 1 00 nn nn nn a xna x 3 00 x nn nn nn a xf tta tdt x 00 可逐項積分 且 d 1 0 00 1 x nnn n nn a a t dtx n 3 函數的冪級數展開 泰勒級數 0 f xxx 設 在的某一鄰域內具有任意階導數 200 00000 0 2 n n n fxfx xxf xf xxxxx n L級數 0 0 n n fx xx n L 0 f xxx 稱為 在處的泰勒級數 38 2 0 0 0 0 0 0 0 2 n n n ff xxffxx n L當時 級數化為 0 n n f x n L 稱為麥克勞林級數 0 0 0 1 1 000 lim 0 1 R 01 1 n n n n nn n Thf xxx fx xx n f xRx xfxxxxx n n 0 設在某領域內具有任意階導數 則泰勒級數 收斂于的充分條件 其中 4 常見的冪級數展開式 1 2 0 1 1 1 1 1 nn n uuuu u LL 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 nnnn n uuuu u LL 3 2 0 1 2 nn u n uuu eu nn LL 4 32121 0 sin 1 1 3 21 21 nn nn n uuu uu nn LL 5 2422 0 cos1 1 1 2 4 2 2 nn nn n uuuu u nn LL 6 2311 0 ln 1 1 1 1 1 2311 nn nn n uuuu uu nn LL 7 2 1 1 1 1 1 2 an a aa aan uauuu n L LL 隨a的不同 而不同 但在 1 1 總有意義 39 函 數 的函 數 的 傅傅 立立 葉葉 系 數系 數 與與 傅傅 立立 葉葉 級級數 數 狄利狄利 克雷克雷定理定理 函數在函數在 l l 上的上的 傅傅 立立 葉 級葉 級 數數 1 2 0 2 f x 設是以為周期的函數 且在 或 上可積 則 2 0 11 cos cos 0 1 2 n af xnxdxf xnxdx n L 2 0 11 sin sin 1 2 n bf xnxdxf xnxdx n L f x稱為的傅立葉系數 2 0 1 1 cossin 2 nn n f xaanx bnx 的傅立葉系數為系數的三角級數 0 1 1 cossin 2 nn n f xf xaanxbnx 稱為的傅立葉級數 記為 3 2 f xll l設是以 為周期的函數 且在上可積 則以 n 1 a cos 0 1 2 l l n f xxdx n ll L 1 sin 0 1 2 l n l n bf xxdx n ll L 0 1 1 cossin 2 nn n nn aaxbx ll 為系數的三角級數 0 1 1 cossin 2 nn n nn f xf xaaxbx ll 稱為的傅立葉級數 記為 f x 1 f x 3狄里赫萊收斂定理 設函數在上滿足條件 除有限個第一類間斷點外都連續(xù) 2 只有有限個極值點 則的傅立葉級數在 上收斂 且有 0 000 1 0 1 cossin 0 0 22 1 0 0 2 nn n f x x f x a ax bnxf xf xxf x ffx 為的 連 續(xù) 點 為 的 第 一 類 間 斷 點 40 函數在函數在 0 l上 的上 的 正 弦 級 數正 弦 級 數 與 余 弦 級與 余 弦 級 數數 1 f x為 0 l上的非周期函數 令 0 0 f xxl F x fxlx 則 0 1 cos 2 n n an f xax l 余弦級數 其中 0 2 cos l n n af xxdx ll n 0 1 2 2 f x為 0 l上的非周期函數 令 0 0 f xxl F x fxlx 則 F x除 x 0 外在區(qū)間 上 為奇函數則 1 sin n n n f xbx l 正弦級數 其中 0 2 sin l n n bfxxdx ll n 1 2 八八 常常微分微分方程方程 考試內容考試內容 對應公式 定理 概念對應公式 定理 概念 常常微分微分方方 程程的基本的基本 概念 概念 變量變量 可可分分離離的的 微分微分方程方程 1 常微分方程 含有自變量 未知函數及未知函數的某些導數的方程式 稱微分方程 而當未知函數是一元函數時稱為常微分方程 2 可分離變量方程 1122 0f x gy dxfx gy dy 解 法 兩 邊 同 除 12 0gy fx 得 12 21 0 f xgy dxdy fxgy 12 21 f xgy dxdyC fxgy 奇奇次次微分微分 方程方程 一階一階 線線性微分性微分 1 齊次方程 y yf x 41 方程方程 伯努伯努 利利方程方程 全全 微分微分方程方程 解法 令 y u x 則yux du yux dx 于是 原方程 ln dududxdu uxf uxC dxf uuxf uu 2 可化為齊次型的方程 111 222 a xb ycdy f dxa xb yc 解法 1 當 12 0cc 時 11 11 22 22 y ab a xb ydyy x ffg y dxa xb yx ab x 屬于 2 2 11 22 0 ab ab 即 11 22 ab ab 則 221 22 222 a xb ycdy fg a xb y dxa xb yc 令 22 a xb yu 則 22 du ab f u dx 屬于 1 3 11 12 22 0 ab c c ab 不全為 0 解方程組 111 222 0 0 a xb yc a xb yc 求交點 令 xXyY 則原方程 dyX dXY 屬于 2 3 一階線性方程 yp x yq x 解法 用常數變易法求 1 求對應齊次方程 0yp x y 的通解 p x dx yCe 2 令原方程的解為 p x dx yC x e 3 代入原方程整理得 42 p x dxp x dx C x eq xC xq x edxC 4 原方程通解 p x dxp x dx yq x edxC e 4 貝努里方程 n yp x yq x y 其中0 1n 解 法 令 1 n Zy 則 方 程 1 1 dz p x zq x n dx 1 1 dz n p x zn q x dx 屬于 3 5 全微分方程 0M x y dxN x y dy 為全微分方程 MN yx 通解為 00 0 xy xy M x y dxN x y dyC 可用簡可用簡單單 的的變量代變量代 換換求求解解的的 某些某些微分微分 方程方程 可可降降 階的高階階的高階 微分微分方程方程 線線性微分性微分 方程解方程解的的 性質及性質及解解 的的結構結構定定 理理 注 這里只限于討論二階線性方程 其結論可推廣到更高階的方程 二 階線性方程的一般形式為 yp x yq x yf x 8 1 其中 p x q xf x均為連續(xù)函數 當右 端項 0f x 時 稱為二階線性齊次方程 否則稱為非齊次方程 解的性質與結構