概率論第二部分.doc

概率論第一章 隨機事件及其概率1第二章 隨機變量及其概率分布6第三章 多維隨機變量及其概率分布11第四章 隨機變量的數(shù)字特征14第五章 大數(shù)定律與中心極限定理19第六章 統(tǒng)計量及其抽樣分布21第七章 參數(shù)估計24第八章 假設(shè)檢驗27第四章 隨機變量的數(shù)字特征1 單個隨機變量的期望例1 設(shè) ，則例2 設(shè)X的分布密度為，則2 單個隨機變量函數(shù)的期望設(shè)X為隨機變量，是普通函數(shù)，則是隨機變量，且 *例3 設(shè)X的分布如例1，求的期望解：例4 設(shè)X的分布密度如例2，求的期望解：當（其中）時，即為X的方差例4 設(shè)則 ，（方差大者，取值分散）注：是重要常用公式例5 設(shè)隨機變量X具有概率密度，求DX解：因是分段函數(shù)，故求時也要隨之分段積分于是3函數(shù)的期望設(shè)是普通函數(shù)，則是隨機變量，其數(shù)學(xué)期望EZ等于例6 設(shè)分布律為 ，則例 設(shè)的分布密度，則 當時，其中，則是X，Y的協(xié)方差，即 （重點）當時，其中 *為X，Y的相關(guān)系數(shù)期望的重要性質(zhì)（1） （常數(shù)）（2）（3） 推廣：（4）若X，Y相互獨立，則方差的重要性質(zhì)（1），其中c為常數(shù)（2）特別（3）若X，Y相互獨立，則 （4）例 設(shè)X，Y相互獨立，且，則協(xié)方差的運算性質(zhì)：（1）（2），其中a，b為常數(shù)（3）（4）若X，Y相互獨立，則，從而，即X與Y不相關(guān)注：一般地，若X，Y獨立，則X，Y必不相關(guān)（即）；反之不真，即X，Y不相關(guān)推不出X，Y獨立。重要特例是：若為正態(tài)分布，則X，Y獨立等價于X，Y不相關(guān)（即）例 設(shè)的分布律為 ，求解：易知 故，, ， *例 設(shè)，則 *例 設(shè)為連續(xù)型，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是_（選擇題）（A）X，Y獨立 （B） （C）（D）解法1（排除法）：排除（A），因X，Y獨立不相關(guān)（故非充要條件）；排除（B），這一等式成立不需任何條件；排除（D），由服從正態(tài)分布及知X，Y獨立，從而不相關(guān)，但并非正態(tài)場合才有這一結(jié)論故選（C）解法2（直接證明）：當時，故X，Y不相關(guān)；反之亦然。 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1 貝努利大數(shù)定律貝努利大數(shù)定律：設(shè)，為A在n次觀測中發(fā)生的頻率，則對任給的正數(shù)有2 中心極限定理設(shè)相互獨立，同分布，從而它們有相同的期望和相同的方差，其中為標準正態(tài)分布函數(shù)注：中心極限定理的含義是：大量隨機變量的和近似正態(tài)分布，即當n很大時近似某正態(tài)分布，為了便于查表近似計算，將標準化（從而標準化后其近似分布）故上述隨機變量的分布函數(shù)，即在應(yīng)用中心極限定理，大多用上式的形式更進一步的特別場合為：若相互獨立同分布時，上式化為這一式子在應(yīng)用也較為常用例1 計算機進行加法計算時，設(shè)所取整誤差是相互獨立的隨機變量，且都服從，求300個數(shù)相加的誤差總和的絕對值小于10的概率。解：易知第i個加數(shù)的誤差滿足：，故故所第六章 統(tǒng)計量及其抽樣分布1設(shè)總體則其樣本相互獨立，同分布，n為樣本容量從而 例1 設(shè)總體X，則從而其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為2常見統(tǒng)計量常見統(tǒng)計量：設(shè)總體為X，為其樣本，不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量（1）樣本均值，這結(jié)論對任何總體都成立。進一步的，若總體X，則，從而（2）樣本方差，（3）若總體X，則有與相互獨立，且 *（4）若總體X與總體Y相互獨立，與分別為其樣本，X，Y，其中，則進一步的，若，則有其中3.關(guān)于分布的密度曲線及分位數(shù)（1）分布若，則，從而而F分布的密度曲線與上圖相似。（2）分布若，則t分布的密度曲線關(guān)于y軸對稱，故有例 設(shè)總體，是容量n的樣本均值，求解：由總體，知，故 ，例 設(shè)總體X，為其樣本，則證明：即 第七章 參數(shù)估計1矩法估計：矩估計的實質(zhì)是用樣本矩作為總體相應(yīng)矩的估計量設(shè)X為總體，為其樣本則的矩估計 的矩估計 例1 設(shè)總體，其中皆未知，為其樣本，求的矩估計解：因為，故 ，故例2 設(shè)總體，未知，求的矩估計解：因為，故（矩法方程），由此解得，即為的矩估計例3 設(shè)總體，其中，未知為其樣本，求P的矩估計解：由，故P的矩估計2極大似然估計設(shè)總體X，具有概率密度函數(shù)， 其中為未知參數(shù)，其變化范圍為，為其樣本，則似然函數(shù)為若存在使，則稱為的極大似然估計一般求法：由題設(shè)，求出的表達式取對數(shù)： *求導(dǎo)并令其等于0，建立似然方程 *解之即得的極大似然估計例4 設(shè)是總體X的樣本，總體概率密度為求 的矩估計和極大似然估計解：（1）由 解得為之矩估計（2）似然函數(shù) * 解得的極大似然估計例5 設(shè)總體X，為其樣本，求的極大似然估計解： 由于按常規(guī)方法建立的似然方程無解，故用極大似然估計的定義解之設(shè)欲使似然函數(shù)達最大，取即可注3估計量的評價標準（1）無偏性：若，則為的無偏估計（2）有效性：若、皆為之無偏估計，且D，則稱較有效（3）相合性：若的估計量滿足，則稱為之相合估計4參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)總體，為其樣本則的置信度的區(qū)間估計為（1）已知時；（2）未知時；（見書中P.162表）例6 設(shè)總體，且，則的0.95置信區(qū)間為注請查看教材中正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一覽表第八章 假設(shè)檢驗1 假設(shè)檢驗的基本思想：小概率事件在一次抽樣中是幾乎不可能發(fā)生的例1 設(shè)總體，其中未知，為其樣本試在顯著性水平下檢驗假設(shè)；這里，即為小概率事件的概率，當真時，則 即事件即為小概率事件，當它發(fā)生時，即認為原假設(shè)不真，從而接受對立假設(shè)2 兩類錯誤以例1為例，上述的取值完全由樣本所決定，由于樣本的隨機性，假設(shè)檢驗可能犯以下兩類錯誤：第一類錯誤：（拒真），也即檢驗的顯著性水平第二類錯誤：（接受不真）（接受真）在樣本容量n固定時，相互制約，當減小時，的值會增大，反之亦然。3正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗（1）首先要會判斷所討論問題是否為假設(shè)檢驗問題例2 從一批燈泡中隨機抽取50個，分別測得其壽命，算得其平均值（小時），樣本標準差（小時），問可否認為這批燈泡的平均