結(jié)構(gòu)突變與協(xié)變理論簡(jiǎn)介(doc 17頁(yè)).doc

結(jié)構(gòu)突變與協(xié)變理論簡(jiǎn)介摘要：本文介紹了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的前沿理論結(jié)構(gòu)突變和協(xié)變的概念與檢驗(yàn)和估計(jì)方法，以及其應(yīng)用情況。一般計(jì)量方法都假定在建模區(qū)間內(nèi)，經(jīng)濟(jì)變量的DGP保持不變，然而現(xiàn)實(shí)中一些強(qiáng)烈的外生沖擊，例如石油危機(jī)、金融危機(jī)等，會(huì)改變經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的DGP，使得模型的某些參數(shù)發(fā)生改變。結(jié)構(gòu)突變和協(xié)變理論就是研究經(jīng)濟(jì)模型的參數(shù)的時(shí)變問(wèn)題，是對(duì)單位根檢驗(yàn)和協(xié)整理論的有益補(bǔ)充,并且對(duì)于經(jīng)濟(jì)建模更接近數(shù)據(jù)的真實(shí)DGP、提高模型的預(yù)測(cè)精度有重要意義。關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)突變、協(xié)變、外生結(jié)構(gòu)突變、內(nèi)生結(jié)構(gòu)突變、同期均值協(xié)變、異期均值協(xié)變Keywords：Structural Breaks，Co-breaking，Exogenous Structural Breaks，Endogenous Structural Breaks，CMC，IMC大量宏觀經(jīng)濟(jì)序列都顯示是由非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程生成的。也就是說(shuō)，觀測(cè)數(shù)據(jù)的方差，甚至它們的均值，都是隨時(shí)間而變的。這種序列的例子包括有上升趨勢(shì)的GDP、在惡性通貨膨脹時(shí)期的總價(jià)格水平的變化等。一種解釋非平穩(wěn)過(guò)程的方法是單整過(guò)程，此時(shí)，非平穩(wěn)性是有小擾動(dòng)項(xiàng)累積而成的，并因此經(jīng)常被稱為隨機(jī)非平穩(wěn)。其數(shù)據(jù)生成過(guò)程（DGP）為， 。單整過(guò)程是差分平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)非平穩(wěn)過(guò)程是否含有單位根，常用的方法有DF(ADF)檢驗(yàn)、CRDW檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)。這三者檢驗(yàn)的結(jié)果有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不盡一致的情況，追究其原因，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)序列的真實(shí)DGP形式往往是未知的，從而如果被檢驗(yàn)過(guò)程的DGP與AR(1)不同，或者被檢驗(yàn)過(guò)程的DGP在某時(shí)點(diǎn)發(fā)生了改變（也即含有突變點(diǎn)），這些都會(huì)導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)的檢驗(yàn)勢(shì)降低。傳統(tǒng)的單位根檢驗(yàn)是假設(shè)在所考慮期間內(nèi)數(shù)據(jù)的DGP保持不變，但是由于劇烈的外生沖擊（例如體制變遷、經(jīng)濟(jì)危機(jī)、技術(shù)升級(jí)等），可能會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)模型所反映的數(shù)據(jù)的潛在DGP改變，也就是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的系數(shù)發(fā)生了時(shí)變。對(duì)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的系數(shù)的時(shí)變性問(wèn)題，已經(jīng)納入一般計(jì)量軟件的CHOW檢驗(yàn)（Chow，1960）就顯示出了計(jì)量工作者很早就開(kāi)始考慮這個(gè)問(wèn)題，但是Chow檢驗(yàn)相對(duì)來(lái)說(shuō)還是很粗略的。另外頗具影響的觀點(diǎn)是Lucas批判（1976）。他當(dāng)時(shí)是對(duì)經(jīng)典計(jì)量方法的預(yù)測(cè)能力提出質(zhì)疑。他認(rèn)為，如果一個(gè)模型的某些參數(shù)所反映的是私人行為對(duì)以前的經(jīng)濟(jì)政策的反應(yīng)函數(shù)的適應(yīng)性，如果政策反應(yīng)函數(shù)發(fā)生了改變，則私人行為對(duì)新的反應(yīng)函數(shù)將再適應(yīng)，其結(jié)果是，原先估計(jì)的模型參數(shù)將不能描述這種再適應(yīng)。Lucas批判隱含的意思是如果政策反應(yīng)函數(shù)出現(xiàn)變化，則計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的參數(shù)也將改變。其實(shí)質(zhì)是提出了計(jì)量模型的參數(shù)是否隨時(shí)間而變化的問(wèn)題，隱含了經(jīng)典計(jì)量模型產(chǎn)生不精確預(yù)測(cè)的重要原因是結(jié)構(gòu)變化問(wèn)題。因此，計(jì)量理論開(kāi)始嘗試用另一種觀點(diǎn)來(lái)描述數(shù)據(jù)生成：有些非平穩(wěn)過(guò)程是由于數(shù)據(jù)的確定趨勢(shì)（截距或者斜率）會(huì)隨時(shí)間而變，數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性歸咎于斷續(xù)出現(xiàn)的大的遷移（shift），即結(jié)構(gòu)突變（Structural Breaks），將這樣的數(shù)據(jù)稱為確定性非平穩(wěn)。一、 結(jié)構(gòu)突變理論結(jié)構(gòu)突變的思想就是考察外生沖擊（例如金融危機(jī)、石油價(jià)格沖擊）是否使得時(shí)間序列的數(shù)據(jù)生成過(guò)程發(fā)生了改變。除上面提到的差分平穩(wěn)過(guò)程之外，還有兩種常見(jiàn)的非平穩(wěn)過(guò)程： （1）上式稱為趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程或者退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，因?yàn)樗梢酝ㄟ^(guò)退去時(shí)間趨勢(shì)而成為平穩(wěn)過(guò)程。 （2）它被稱為確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。它退去時(shí)間趨勢(shì)后是一個(gè)隨機(jī)非平穩(wěn)過(guò)程，只有既差分又退勢(shì)才能使之平穩(wěn)化。對(duì)于（1）和（2）式，如果在某一時(shí)點(diǎn)，式中的或者發(fā)生了變化，則稱其發(fā)生了結(jié)構(gòu)突變。對(duì)于含結(jié)構(gòu)突變的時(shí)間序列，可以根據(jù)原序列是否平穩(wěn)分為結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程和結(jié)構(gòu)突變的單位根過(guò)程，根據(jù)突變點(diǎn)是否先驗(yàn)設(shè)定，分為外生性結(jié)構(gòu)突變（已知）和內(nèi)生性結(jié)構(gòu)突變（未知）。（1）外生性結(jié)構(gòu)突變的檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)突變發(fā)生時(shí)點(diǎn)已知時(shí)，稱其為外生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)。假定發(fā)生結(jié)構(gòu)突變的時(shí)點(diǎn)為，則發(fā)生在截距的突變?yōu)椋渲?，?dāng) 時(shí)；， 當(dāng)時(shí)。也就是之后，截距由突變到。對(duì)于時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)t，也可能發(fā)生相應(yīng)的結(jié)構(gòu)突變，或者結(jié)構(gòu)突變?cè)诮鼐嗪蜁r(shí)間趨勢(shì)上同時(shí)發(fā)生。若發(fā)生了確定項(xiàng)結(jié)構(gòu)突變的是單位根過(guò)程，則稱為具有結(jié)構(gòu)突變的單位根過(guò)程。Perron（1989）針對(duì)突變點(diǎn)已知的結(jié)構(gòu)突變提出了三種模型：截距突變的“崩潰”模型A、斜率突變的“增長(zhǎng)率”模型B、截距與斜率都有突變的模型C。模型A： （3）這一模型稱為崩潰模型，是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)變化之后，yt 的均值軌跡不再返回結(jié)構(gòu)變化之前的均值軌跡。模型B： （4）這里t*=0，當(dāng)t tB時(shí)；t*=t - tB，當(dāng)ttB時(shí)。突變發(fā)生在斜率而截距不變的模型B，由于斜率反映增長(zhǎng)率，因此也稱為變化的增長(zhǎng)率模型。模型C： (5)對(duì)于模型A、B、C，原假設(shè)和備擇假設(shè)為：H0： H1：當(dāng)接受H0時(shí)，yt 為結(jié)構(gòu)突變的單位根過(guò)程，而接受H1時(shí)，yt為結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。從而對(duì)結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)就轉(zhuǎn)化為對(duì)退化趨勢(shì)之后的殘差的單位根檢驗(yàn)。不過(guò)Perron（1989）證明，即使回歸后的殘差是獨(dú)立同分布的，的系數(shù)的分布并不是標(biāo)準(zhǔn)的DF分布，它與突變的時(shí)點(diǎn)位置= tB/T有關(guān)，因此必須使用Perron的臨界值確定接受還是拒絕=1。不過(guò)Perron（1989）證明，即使回歸后的殘差是獨(dú)立同分布的，的系數(shù)的分布并不是標(biāo)準(zhǔn)的DF分布，它與突變的時(shí)點(diǎn)位置= tB/T有關(guān)，因此必須使用Perron的臨界值確定接受還是拒絕=1。（2）內(nèi)生性結(jié)構(gòu)突變的檢驗(yàn)當(dāng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變化不是特別明顯時(shí)，外生結(jié)構(gòu)突變的檢驗(yàn)可能失效。因此，很多文獻(xiàn)開(kāi)始研究在未知時(shí)的結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)。這樣問(wèn)題的重點(diǎn)首先是如何確定。Perron、Vogelsang等人對(duì)結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)未知的情況，仍延續(xù)結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)已知的單位根檢驗(yàn)的思路，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行退化趨勢(shì)，然后對(duì)所有可能的結(jié)構(gòu)變化點(diǎn)重復(fù)上述外生結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢驗(yàn)步驟。一般來(lái)說(shuō)，為保證檢驗(yàn)功效， 應(yīng)位于15,85之間。的確定可以根據(jù)數(shù)據(jù)特性來(lái)經(jīng)驗(yàn)判斷，也可以把樣本區(qū)的1585的每一時(shí)點(diǎn)都作為可能的突變點(diǎn)。這樣，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為已知的情況。對(duì)每一個(gè)，重復(fù)外生結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)的步驟，計(jì)算相應(yīng)的的t值（記為），取，以此確定和。與對(duì)應(yīng)的就是結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)。確定了結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)后，將與未知的結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)的臨界值比較，來(lái)最終確定數(shù)據(jù)是由結(jié)構(gòu)突變的單位根還是結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)穩(wěn)定過(guò)程所生成。進(jìn)一步，Bai & Perron(1998)給出了在線性系統(tǒng)中存在多個(gè)內(nèi)生突變時(shí)的參數(shù)的漸進(jìn)分布和突變時(shí)點(diǎn)的檢驗(yàn)方法，并且給出了對(duì)于零假設(shè)：存在個(gè)突變與備擇假設(shè)：存在個(gè)突變的檢驗(yàn)方法。（3）結(jié)構(gòu)突變檢驗(yàn)的必要性Perron（1989）指出，如果被檢驗(yàn)過(guò)程是一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)存在結(jié)構(gòu)突變的退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)用ADF 統(tǒng)計(jì)量做單位根檢驗(yàn)時(shí)，容易將其誤判為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程，即進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)不考慮結(jié)構(gòu)突變，會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)功效降低（實(shí)為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，檢驗(yàn)結(jié)果卻認(rèn)為是單位根過(guò)程）。同樣，當(dāng)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)，不考慮漂移項(xiàng)存在突變，或不考慮趨勢(shì)項(xiàng)、漂移項(xiàng)同時(shí)存在突變，也會(huì)導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)功效降低。Hendry（1999）說(shuō)明了若在建模時(shí)沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)存在的結(jié)構(gòu)突變，將會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)失敗。王少平、李子奈（2003）利用仿真試驗(yàn)檢驗(yàn)了當(dāng)某樣本區(qū)間存在結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)時(shí)的DF檢驗(yàn)的功效。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)有持續(xù)的時(shí)間小于整個(gè)樣本長(zhǎng)度的1/4時(shí)的明顯的結(jié)構(gòu)變化，且其發(fā)生在樣本的前半期時(shí)，DF檢驗(yàn)仍有80的正確率，但是若結(jié)構(gòu)變化持續(xù)時(shí)間發(fā)生在樣本后期時(shí)，DF的檢驗(yàn)勢(shì)則不足20，且越靠后，檢驗(yàn)勢(shì)降低越明顯。他們的仿真試驗(yàn)還表明，當(dāng)結(jié)構(gòu)變化持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)（超過(guò)整個(gè)樣本期的1/2），對(duì)DF檢驗(yàn)產(chǎn)生了嚴(yán)重的影響，檢驗(yàn)勢(shì)降低到幾乎10之下。（4）結(jié)構(gòu)突變的應(yīng)用關(guān)于結(jié)構(gòu)突變理論的應(yīng)用還不是非常廣泛。皮榮Perron (1989)將大蕭條（1929年）和石油危機(jī)（1973年）做為對(duì)美國(guó)經(jīng)濟(jì)序列的沖擊，認(rèn)為大蕭條使得經(jīng)濟(jì)水平降低（均值突變），而石油危機(jī)使得增長(zhǎng)率降低（斜率突變），并運(yùn)用這種假設(shè)突變時(shí)點(diǎn)已知的方法檢驗(yàn)了Nelson &Plosser(1982) 中的14個(gè)單位根過(guò)程，認(rèn)為其中有11個(gè)為結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)穩(wěn)定。然而，Zivot&Andrews (1992) 通過(guò)內(nèi)生化結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢驗(yàn)方法，認(rèn)為Perron的結(jié)論部分不正確。Tony Caporale等（2000）檢驗(yàn)了1961.11986.3的美國(guó)實(shí)際利率與政府換屆之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)利率發(fā)生結(jié)構(gòu)突變的時(shí)間與總統(tǒng)換屆的時(shí)間相吻合，而與更換美聯(lián)儲(chǔ)主席的時(shí)間不一致。Hungnes（2004）利用VAR模型中的結(jié)構(gòu)突變方法，檢驗(yàn)了德國(guó)統(tǒng)一前后貨幣需求、真實(shí)GNP、利率、通貨膨脹等變量，發(fā)現(xiàn)在統(tǒng)一貨幣（1990年7月）后，變量都有結(jié)構(gòu)突變。王少平（2003）檢驗(yàn)了19762000年中國(guó)人民幣匯率的穩(wěn)定性，結(jié)果表明人民幣匯率服從結(jié)構(gòu)突變的單位根過(guò)程，兩個(gè)突變點(diǎn)1989 年和1993年都是由于人民幣自身的幣值對(duì)匯率的調(diào)整所致，并且匯率在亞洲金融危機(jī)之后沒(méi)有出現(xiàn)結(jié)構(gòu)突變，保持了穩(wěn)定。佟孟華等（2004）檢驗(yàn)了1996年1月到2003年5月的中國(guó)上證指數(shù)，結(jié)果表明上證指數(shù)是結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。二、 協(xié)變理論當(dāng)幾個(gè)變量都發(fā)生了確定性趨勢(shì)突變時(shí)，它們之間或許有關(guān)聯(lián)，也可能沒(méi)有。結(jié)構(gòu)突變是一種間歇發(fā)生的持久的大的變化，與產(chǎn)生I(1)過(guò)程的頻繁的小的變化不同。但是，這兩種不平穩(wěn)的形式又緊密相關(guān)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)很難區(qū)分，解決方法也有相似之處（例如，單位根過(guò)程和均值突變都可以通過(guò)差分使之平穩(wěn)化）。因此，自然容易想到，既然協(xié)整可以通過(guò)變量的線性組合來(lái)“消除”I(1)系統(tǒng)中的單位根，是否在具有結(jié)構(gòu)突變的系統(tǒng)中也可以有類似做法呢？與協(xié)整概念類似，Ogaki和Park（1989）、Kang（1990）介紹了共趨勢(shì)回歸（co-trending regression）的概念，線性組合后的數(shù)據(jù)消除了原有的確定性趨勢(shì)。Chapman和Ogaki（1993）將上述思想擴(kuò)展到了分段趨勢(shì)序列中，線性組合消除了原先單個(gè)序列中的確定性突變。相對(duì)于單方程分析，Hendry（1996）首次提出了協(xié)變（cobreaking）的定義，即通過(guò)變量之間的線性組合來(lái)消除時(shí)間序列的確定性趨勢(shì)突變。同時(shí)他給出了協(xié)變關(guān)系的多變量建模過(guò)程。在Clements & Hendry (1999)中，他們定義了幾種協(xié)變過(guò)程，并提出了協(xié)變成立的條件。更進(jìn)一步，探討了協(xié)變與協(xié)整的關(guān)系，并將協(xié)變概念應(yīng)用到了多重突變和條件模型的情形中。下面重點(diǎn)介紹Clements & Hendry (1999)定義的同期協(xié)變與異期協(xié)變的概念。（1）同期均值協(xié)變同期均值協(xié)變（Contemporaneous Mean Co-breaking，記為CMC）與從I(1)到I(0)的協(xié)整很類似。這時(shí)盡管系統(tǒng)是服從于突變的，然而對(duì)變量按照相同時(shí)點(diǎn)進(jìn)行線性組合就不依賴于突變。對(duì)于一個(gè)n維隨機(jī)過(guò)程向量，它的非條件期望是 這里， （6）對(duì)于任何，都是發(fā)生了一個(gè)均值的遷移。定義： 對(duì)于ns維的s階矩陣，如果，則稱與發(fā)生了s階的同期均值協(xié)變。s階的CMC可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆謮K子向量來(lái)描述，也可以直接擴(kuò)展到更高階矩(例如，方差協(xié)變)。類似地，這個(gè)概念可以擴(kuò)展到對(duì)非平穩(wěn)過(guò)程的函數(shù)，這里一些變量的組合的期望具有良好定義，例如（I(1)過(guò)程的差分），或者（協(xié)整組合）。按照（6）的定義，有 （7）這樣降為s階的線性變換的的參數(shù)確定就與確定性趨勢(shì)變遷無(wú)關(guān)。從而，盡管總體會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)失敗，但是這個(gè)子集不會(huì)。直觀感覺(jué)是，當(dāng)在時(shí)期之間可以任意改變時(shí)，均值協(xié)變不可能存在，因?yàn)橐粋€(gè)矩陣要去“消滅”所有的均值突變。然而，在理論上存在一些情況，當(dāng)所有都變化時(shí)，仍然存在協(xié)變關(guān)系。為顯示這種可能性，考慮在一個(gè)降秩的情況中的CMC。記nT維矩陣，這里。則條件（是n1維的）可以被寫作。Clement & Hendry利用線性代數(shù)原理和CMC的定義，得出了以下結(jié)論：1對(duì)于（n1維），即1階CMC存在的充分必要條件是的秩。2如果存在r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量滿足，則CMC的階不小于r。3當(dāng)存在突變時(shí)，CMC的階數(shù)不能超過(guò)n1階。把突變項(xiàng)按照行向量重新排列，它們影響著每個(gè)變量，相應(yīng)地，。4當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，CMC不可能存在。因?yàn)閷?duì)于所有的，有。5當(dāng)只存在個(gè)不同的值時(shí)，則存在不小于的階的CMC。6當(dāng)時(shí)，的秩，從而必然存在著不小于階的CMC。結(jié)論6表明當(dāng)時(shí)必然有CMC(nT)，然而這可能是“虛假（spurious）”協(xié)變（例如，甚至當(dāng)這里存在T個(gè)無(wú)關(guān)的突變時(shí)，CMC仍在理論上成立）。7當(dāng)中存在任意m1維的子向量是零向量時(shí)，（），則至少有CMC（m）發(fā)生。一個(gè)重要的有實(shí)際意義的情形是當(dāng)突變?cè)谧兞块g是相關(guān)的情況。8如果對(duì)于成立（這里是秩為的維矩陣，是維向量），則存在不小于的階的CMC。這些結(jié)論是互相關(guān)聯(lián)，層層深入的。結(jié)論8非常重要，因?yàn)樗鼘f(xié)變與協(xié)整以及共趨勢(shì)結(jié)合了起來(lái)。Hendry & Doornik（1994）在消除兩個(gè)協(xié)整向量中的一個(gè)的趨勢(shì)時(shí)曾經(jīng)暗含了上述思想的應(yīng)用。（2）異期均值協(xié)變異期均值協(xié)變（Intertemporal Mean Cobreaking，記為IMC）用來(lái)消除發(fā)生在不同時(shí)點(diǎn)的突變，例如：，這里j可以與i不同。由此，通過(guò)線性組合當(dāng)期變量和滯后項(xiàng)，可能可以使突變消失。因?yàn)榇蠖鄷r(shí)間序列模型都是動(dòng)態(tài)的，多個(gè)變量組成的系統(tǒng)中的突變有各種可能的時(shí)間相關(guān)性，這就要仔細(xì)考慮異期協(xié)變矩陣。用L來(lái)表示滯后算子，也就是，用表示一個(gè)維的次多項(xiàng)式矩陣：。由來(lái)定義維的矩陣：。定義：當(dāng)?shù)闹仁莝（）時(shí)，若維的次多項(xiàng)式矩陣使得成立，并且不存在秩為s的維的次多項(xiàng)式矩陣能夠零化（對(duì)），則稱與產(chǎn)生了s階異期協(xié)變。上述的異期均值協(xié)變記為IMC（p, s）。要求IMC（p-1, s）不存在是為了保證具有唯一的維的非退化線性變換。IMC與CMC有著密切的關(guān)系。CMC的定義要求與確定性突變無(wú)關(guān)，因此CMC(s)成立就意味著IMC(1,s)成立，并且IMC(p-1,s)成立也意味著IMC（p，s）成立。因此，條件比要弱的多。從IMC的定義和（6）式，有: 需要注意的是，由于滯后項(xiàng)的使用使得完全“消除”突變成為可能，CMC(0)是與IMC（1，n）是相容的。例如，當(dāng)，并且CMC的階是0時(shí)，使對(duì)于 成立。這里R是滿秩矩陣（秩n）。從而，因此在時(shí)點(diǎn)存在IMC（1,n）。異期均值協(xié)變可能會(huì)捕獲以不同方式聯(lián)系的突變的真實(shí)延遲效應(yīng)，但是，當(dāng)突變數(shù)很少、并且變量的滯后值恰好相抵時(shí)，異期協(xié)變也可能會(huì)成為一種“虛假”協(xié)變。當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的真實(shí)滯后長(zhǎng)度q小于的滯后長(zhǎng)度p時(shí)，“虛假”協(xié)變的影響就更加嚴(yán)重。正如IMC的定義所預(yù)示的，形式最簡(jiǎn)單的IMC（p,s）的公式消除了滯后的突變，將問(wèn)題簡(jiǎn)化為一個(gè)擴(kuò)展了向量的CMC的變形，記為。一般來(lái)說(shuō)，它可能具有一個(gè)最高階的CMC(s1)(記做)，則有最高階的IMC（1,s1+s2）使得：這里是維矩陣，并且對(duì)有和的秩是。依次類推（為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里用下三角陣），得到： 對(duì)于 成立。上式簡(jiǎn)記為：。令，則是維的，是維的。則此時(shí)的與原先的IMC(p,s)相同，并包括了對(duì)于維的矩陣的降秩條件：的零維數(shù)（nullity）決定了協(xié)變的階數(shù)。因?yàn)楫?dāng)時(shí)不是方陣，所以在這個(gè)擴(kuò)展的公式中，甚至是所有時(shí)存在是可能的。（3）協(xié)變對(duì)于預(yù)測(cè)的影響Clements & Hendry(1999)利用VEqCM 是由時(shí)間序列變量組成的向量，則一階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以寫作：，這里，。包含了確定性項(xiàng)，的初始值是固定的。是參數(shù)矩陣。上式可以被改寫為：這里。當(dāng)并且協(xié)整向量的秩是r時(shí)， 和是矩陣。將協(xié)整表示出來(lái)，就得到了VEqCM形式：。（Vector Equilibrium Correction Mechanism or Model，向量均衡糾正機(jī)制/模型），說(shuō)明了協(xié)變對(duì)于外推預(yù)測(cè)的影響。考察，這個(gè)系統(tǒng)其實(shí)就是一個(gè)VEqCM，不過(guò)，式中的系統(tǒng)在時(shí)點(diǎn)T存在一個(gè)結(jié)構(gòu)突變。盡管式中的4個(gè)參數(shù)矩陣都可能發(fā)生變化，但是這里只考察和存在一次遷移的情形。記確定性突變?yōu)楹?，將其代入表達(dá)式，則 （8）因?yàn)楫?dāng)存在突變時(shí)，變量的條件期望與突變的起始時(shí)間有關(guān)，因此，這里記：和。則有： （9）表示的是的參數(shù)不變時(shí)的值，而第二項(xiàng)則包含了參數(shù)遷移的效果。對(duì)于（9）式的系統(tǒng)，考慮維矩陣，用其轉(zhuǎn)置矩陣左乘（9），則有：，則s維的均衡-均值協(xié)變要求，s維的漂移項(xiàng)協(xié)變要求。當(dāng)，則協(xié)整向量在突變前后都沒(méi)有趨勢(shì)項(xiàng)，均衡-均值協(xié)變要求：，相似地，對(duì)于漂移項(xiàng)協(xié)變，要求：。（4）協(xié)變理論的發(fā)展和完善在Clements & Hendry(1999)之后的寥寥三篇文獻(xiàn)，就在cobreaking的統(tǒng)計(jì)模型檢驗(yàn)、檢驗(yàn)cobreaking向量的個(gè)數(shù)、估計(jì)cobreaking的值方面做出了長(zhǎng)足的貢獻(xiàn)。首先是Bierens (2000)提出了檢驗(yàn)“非參數(shù)的非線性共趨勢(shì)的階”的步驟。但是，他的成果，適用性值得質(zhì)疑，因?yàn)椤胺蔷€性共趨勢(shì)檢驗(yàn)不能區(qū)別共趨勢(shì)和協(xié)整”（Bierens 2000，p331）。因此不能將序列中的非平穩(wěn)歸因于特定的歷史事件，而這恰恰違反了結(jié)構(gòu)突變分析的特性。其次，Krolzig & Toro (2001)提出co-breaking向量或許可以通過(guò)自回歸模型估計(jì)。他們假設(shè)結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)是已知的，并將向量自回歸模型中的確定趨勢(shì)項(xiàng)用適當(dāng)?shù)奶摂M變量來(lái)組合。后一項(xiàng)特征與Bierens (2000)提出的方法有絕對(duì)的概念上的區(qū)別，Bierens假設(shè)有關(guān)的過(guò)程是服從于突變，而不是用自回歸方程表示的方程。第三，Hatanaka & Yamada (2003)的工作將分段趨勢(shì)模型中的共趨勢(shì)的思想與協(xié)整思想整合。依照Bierens (2000)的方法，他們建立了一個(gè)模型，將過(guò)程分解為確定項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)。但與Bierens不同的是，他們假設(shè)截取突變和趨勢(shì)突變的時(shí)機(jī)是已知的。為了確定co-trending的階，他們提出了一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)步驟，其交替使用單位根檢驗(yàn)（尤其是Johansen, Mosconi & Nielsen (2000)提出的方法），和檢驗(yàn)確定性趨勢(shì)存在的方法。利用主成分分析得出的隨機(jī)變量的列空間是由三部分組成的：第一個(gè)子空間是由同時(shí)具有共趨勢(shì)和協(xié)整關(guān)系的向量組成，另一個(gè)是具有共趨勢(shì)但是不存在協(xié)整關(guān)系的向量組成，最后是不存在共趨勢(shì)的向量空間。(5)協(xié)變的應(yīng)用對(duì)于協(xié)變理論，由于其理論的研究尚未完善，其應(yīng)用也處于起步階段。Clements & Hendry(1999)用協(xié)變理論補(bǔ)充和改進(jìn)了他們以往對(duì)于英國(guó)貨幣需求的預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)精度較以往模型有了很大提高。他們使用了包括名義、總最終消費(fèi)I、物價(jià)平減指數(shù)P、三月期本地債券抵押利率R這些變量的1963：31989：2的調(diào)整后的季度數(shù)據(jù)。由于用1963：31983：2的數(shù)據(jù)估計(jì)的英國(guó)需求的單方程模型顯示出很差的外推預(yù)測(cè)精度，Hendry & Doornik（1994）將其擴(kuò)展為4變量VAR模型，并檢驗(yàn)出存在兩個(gè)協(xié)整關(guān)系。然而將樣本區(qū)擴(kuò)展為1963：31989：2后，由于利率的支付在1984：2法定化而有一個(gè)大幅提高，存