高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題四第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明問(wèn)題案文.docx

第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明問(wèn)題高考定位1.以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷，主要以選擇、填空題的形式，題目難度較??；2.以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并常與幾何體的表面積、體積相滲透.真 題 感 悟1.(2017全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行的是()解析法一對(duì)于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳BCD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB平面MNQ.因此A項(xiàng)不正確.圖(1)圖(2)法二對(duì)于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQAB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行.A項(xiàng)不正確.答案A2.(2016全國(guó)卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線(xiàn)，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)).解析當(dāng)mn，m，n時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.答案3.(2016全國(guó)卷)平面過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A. B. C. D.解析如圖所示，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1，因?yàn)槠矫鍯B1D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m.因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.故m，n所成角即直線(xiàn)B1D1與CD1所成角，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線(xiàn)B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.答案A4.(2017全國(guó)卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.(1)證明BAPCDP90，ABPA，CDPD.ABCD，ABPD.又PAPDP，PA，PD平面PAD，AB平面PAD.AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)解取AD的中點(diǎn)E，連接PE.PAPD，PEAD.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx，故四棱錐PABCD的體積VPABCDABADPEx3.由題設(shè)得x3，故x2.從而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.考 點(diǎn) 整 合1.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線(xiàn)面平行的判定定理：a，b，aba.(2)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.2.直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線(xiàn)面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala.熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的判定【例1】(2017成都診斷)已知m，n是空間中兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，且m，n.有下列命題：若，則mn；若，則m；若l，且ml，nl，則；若l，且ml，mn，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析若，則mn或m，n異面，不正確；若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得m，正確；若l，且ml，nl，則與不一定垂直，不正確；若l，且ml，mn，l與n不一定相交，不能推出，不正確.答案B探究提高判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法(1)借助空間線(xiàn)面平行、面面平行、線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.(2)借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀(guān)察線(xiàn)面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定.(3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷.【訓(xùn)練1】 (2017廣東省際名校聯(lián)考)已知，為平面，a，b，c為直線(xiàn)，下列命題正確的是()A.a，若ba，則bB.，c，bc，則bC.ab，bc，則acD.abA，a，b，a，b，則解析選項(xiàng)A中，b或b，不正確.B中b與可能斜交，B錯(cuò)誤.C中ac，a與c異面，或a與c相交，C錯(cuò)誤.利用面面平行的判定定理，易知D正確.答案D熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明【例2】如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED為平行四邊形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD.PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.【遷移探究1】在本例條件下，證明平面BEF平面ABCD.證明如圖，連接AC，設(shè)ACBEO，連接FO，AE.ABCD，ABAD，CD2AB，CECD，AB綉CE.四邊形ABCE為平行四邊形.O為AC的中點(diǎn)，則FO綉PA，又PA平面ABCD，F(xiàn)O平面ABCD.又FO平面BEF，平面BEF平面ABCD.【遷移探究2】在本例條件下，若ABBC，求證：BE平面PAC.證明連接AC，ACBEO.ABCD，CD2AB，且E為CD的中點(diǎn).AB綉CE.又ABBC，四邊形ABCE為菱形，BEAC.又PA平面ABCD，又BE平面ABCD，PABE，又PAACA，PA，AC平面PAC，BE平面PAC.探究提高垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.(1)證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行.(2)證明線(xiàn)面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直.(3)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直.熱點(diǎn)三平面圖形中的折疊問(wèn)題【例3】(2016全國(guó)卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐DABCFE的體積.(1)證明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以O(shè)H1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐DABCFE的體積V2.探究提高1.解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口.一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的圖形的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的圖形的性質(zhì)發(fā)生變化.2.在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形，善于將折疊后的量放在原平面圖形中進(jìn)行分析求解.【訓(xùn)練3】 (2017成都診斷)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，點(diǎn)G，R分別在線(xiàn)段DH，HB上，且.將AED，CFD，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，B，C重合于點(diǎn)P，如圖2所示.圖1圖2(1)求證：GR平面PEF；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑.(1)證明在正方形ABCD中，A，B，C為直角.在三棱錐PDEF中，PE，PF，PD兩兩垂直.又PEPFP，PD平面PEF.，即，在PDH中，RGPD.GR平面PEF.(2)解正方形ABCD邊長(zhǎng)為4.由題意知，PEPF2，PD4，EF2，DF2.SPEF2，SDPFSDPE4.SDEF26.設(shè)三棱錐PDEF內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積為VPDEFPDSPEF(SPEF2SDPFSDEF)r，解得r.三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑為.1.空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的判定(1)可以從線(xiàn)、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例.(2)可以借助長(zhǎng)方體，在理解空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線(xiàn)、面的位置關(guān)系的定義.2.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)線(xiàn)平行，常用方法如下：(1)證明線(xiàn)線(xiàn)平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線(xiàn)同時(shí)和第三條直線(xiàn)平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線(xiàn)定理證線(xiàn)線(xiàn)平行；四是利用線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線(xiàn)即高線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理；線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：即要證兩線(xiàn)垂直，只需證明一線(xiàn)垂直于另一線(xiàn)所在的平面即可，l，ala.3.解決平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變“性”與“量”，即兩條直線(xiàn)的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度、角度等.一、選擇題1.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線(xiàn)l.若直線(xiàn)m，n滿(mǎn)足m，n，則()A.ml B.mnC.nl D.mn解析由已知，l，l，又n，nl，C正確.故選C.答案C2.(2017全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1，從而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C3.(2017梅州質(zhì)檢)已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線(xiàn)，則下列命題中正確的是()A.若m，n，則mnB.若m，nm，則nC.若m，n，則mnD.若，n，mn，則m解析對(duì)于A，m，n，則mn或m，n異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m，nm，則n或n，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若n，則n或n，又m，mn，故C正確；對(duì)于D，若，n，mn，則m可能與相交，也可能與平行，也可能在內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選C.答案C4.如圖，在三棱錐DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，又BEDEE，于是AC平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以選C.答案C5.(2017石家莊質(zhì)檢)設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析mn或m，n異面，故錯(cuò)誤；易知正確；m或m，故錯(cuò)誤；或與相交，故錯(cuò)誤.答案B二、填空題6.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)MAB，點(diǎn)NAD，若，則直線(xiàn)MN與平面BDC的位置關(guān)系是_.解析由，得MNBD.而B(niǎo)D平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.答案平行7.正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線(xiàn)段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào)).ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐EABC的體積為定值；直線(xiàn)B1E直線(xiàn)BC1.解析因AC平面BDD1B1，故正確；因B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為V，則VEABCV，為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯(cuò)誤.答案8.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的命題序號(hào)是_.平面ABD平面ABC平面ADC平面BDC平面ABC平面BDC平面ADC平面ABC解析因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.答案三、解答題9.(2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，ABAD， EFAD，則ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，ADAC.10.(2016全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積.(1)證明由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四邊形A