正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用.doc

正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修5P16練習(xí)1改編)在ABC中，若sin Asin Bsin C=7813，則cos C=.【答案】-【解析】由正弦定理知abc=7813，再由余弦定理得cos C=-.2.(必修5P24復(fù)習(xí)題1改編)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，則角A=.【答案】【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，所以cosA=，所以角A=.3.(必修5P20練習(xí)3改編)如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75方向、距塔68 n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為n mile/h.(第3題)【答案】4.(必修5P26本章測(cè)試7改編)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin A+csin C-asin C=bsin B，則角B=.【答案】45【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，故cos B=，因此B=45.5.(必修5P19例4改編)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，則角B的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，所以cos B=，因?yàn)?B，所以0B.1.測(cè)量問(wèn)題的有關(guān)名詞(1)仰角和俯角：是指與目標(biāo)視線(xiàn)在同一垂直平面內(nèi)的水平視線(xiàn)的夾角.其中目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方時(shí)叫作仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)下方時(shí)叫作俯角.(2)方向角：是指從指定方向線(xiàn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如北偏東30，南偏西45.(3)方位角：是指北方向線(xiàn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的角.(4)坡角：是指坡面與水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的鉛直高度與水平寬度之比.2.求解三角形實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)分析：理解題意，弄清已知和未知，畫(huà)出示意圖；(2)建模：根據(jù)條件和目標(biāo)，構(gòu)建三角形，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的角是否符合實(shí)際意義，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破利用正、余弦定理解常見(jiàn)的三角問(wèn)題例1(2016蘇北四市期中)在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b=4，c=6，且asin B=2.(1)求角A的大??；(2)若D為BC的中點(diǎn)，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng).【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA.因?yàn)閎=4，asin B=2，所以sin A=.又0A，所以A=.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=16+36-224=28，所以a=2.又因?yàn)閍sin B=2，所以sin B=，所以cos B=.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以BD=DC=.在ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B，即AD2=36+7-26=19，所以AD=.變式(2015全國(guó)卷)已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90，且a=，求ABC的面積.【解答】(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又因?yàn)閍=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos B=.(2)由(1)知b2=2ac.因?yàn)锽=90，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=.所以ABC的面積為1.【精要點(diǎn)評(píng)】解三角形問(wèn)題的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解題過(guò)程中要注意邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，根據(jù)題目需要合理選擇變形的方向.實(shí)際問(wèn)題中解三角形例22011年5月中下旬，強(qiáng)颶風(fēng)襲擊美國(guó)南部與中西部，造成了巨大的損失.為了減少?gòu)?qiáng)颶風(fēng)帶來(lái)的災(zāi)難，美國(guó)救援隊(duì)隨時(shí)待命進(jìn)行救援.如圖(1)，某天，信息中心在A處獲悉：在其正東方向相距80 n mile的B處有一艘客輪遇險(xiǎn)，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距40 n mile的C處的救援船，救援船立即朝北偏東角的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援.(例2(1)(1)若救援船的航行速度為60 n mile/h，求救援船到達(dá)客輪遇險(xiǎn)位置的時(shí)間(2.646，結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)求tan 的值.【思維引導(dǎo)】(1)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，因此本題的關(guān)鍵是找出圖中的角和邊，利用余弦定理求出BC即可解決；(2)首先利用正弦定理求出sinACB，然后利用同角基本關(guān)系求出tan ACB，再利用兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.(例2(2)【解答】(1)如圖(2)，在ABC中，AB=80，AC=40，BAC=120，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120，即BC=40，故救援船到達(dá)客輪遇險(xiǎn)位置所需時(shí)間為4060=1.76 (h).(2)在ABC中，由正弦定理可得=，則sin ACB=sin BAC=.顯然ACB為銳角，故cos ACB=，tan ACB=，而=ACB+30.所以tan =tan(ACB+30)=.變式如圖，某海島上一觀(guān)察哨A在上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60的C處，12時(shí)20分測(cè)得該輪船在海島北偏西60的B處，12時(shí)40分，該輪船到達(dá)海島正西方5 km的E港口，若該輪船始終勻速前進(jìn)，求該輪船的速度.(變式)【解答】設(shè)ABE=，船的速度為v km/h，則BC=v，BE=v，在ABE中，=，即sin =.在ABC中，=，即AC=.在ACE中，=25+-25cos 150，化簡(jiǎn)得v2=25+100=，即v2=93，所以v=.故船速為 km/h.例3(2015蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào))如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心、半徑為10 m的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離)，且OB的連線(xiàn)恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E.經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為45，30和60.(例3)(1)求煙囪AB的高度；(2)如果要在CE間修一條直路，求CE的長(zhǎng).【思維引導(dǎo)】一要理解這是一個(gè)立體圖形，若設(shè)AB=h m，在RtABE中，AEB=60，可求得EB=h.(1)在RtABO中，AOB=30，OB=h，由OE=10，可求出AB.(2)在RtABC中，ACB=45，BC=AB，在CBO中，求出cos COB，在CEO中，求CE的長(zhǎng).【解答】(1)設(shè)AB的高度為h m.在CAB中，因?yàn)锳CB=45，所以CB=h.在OAB和EAB中，因?yàn)锳OB=30，AEB=60，所以O(shè)B=h，EB=h.由題意得h-=10，解得h=15.答：煙囪的高度為15 m.(2)在OBC中，OC=10 m，OB=15 m，BC=15 m，所以cos COB=，所以在OCE中，OC=10 m，OE=10 m，所以CE2=OC2+OE2-2OCOEcos COE=300+300-600=100.答：CE的長(zhǎng)為10 m.變式(2015蘇錫常鎮(zhèn)三模)如圖(1)，甲船從A處以每小時(shí)30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A南偏西75方向且與A相距10 n mile 處.當(dāng)甲船航行20 min到達(dá)C處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60方向的D處，此時(shí)兩船相距10 n mile.(變式(1)(1)求乙船每小時(shí)航行多少海里?(2)在C處的北偏西30方向且與C相距 n mile處有一個(gè)暗礁E，暗礁E周?chē)?n mile范圍內(nèi)為航行危險(xiǎn)區(qū)域.問(wèn)：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無(wú)危險(xiǎn)?如果有危險(xiǎn)，從有危險(xiǎn)開(kāi)始多少小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)?如無(wú)危險(xiǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.(變式(2)【解答】(1)如圖(2)，連接AD，由題知CD=10，AC=30=10，ACD=60，所以ACD為等邊三角形，所以AD=10，又因?yàn)镈AB=45，在ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ABADcos 45=100，BD=10，v=103=30(n mile/h).答：乙船的速度為每小時(shí)30 n mile.(2)在海平面內(nèi)，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以東西方向作x軸，以南北方向作y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.危險(xiǎn)區(qū)域在以E為圓心，半徑為r=的圓內(nèi)，因?yàn)镈AB=DBA=45，易知直線(xiàn)BD的方程為y=x，E的橫坐標(biāo)為ABcos 15-CEsin 30，縱坐標(biāo)為ABsin 15+CEcos 30+AC，求得A(5+5，5-5)，C(5+5，5+5)，E，點(diǎn)E到直線(xiàn)BD的距離為d1=1，故甲船沒(méi)有危險(xiǎn).以E為圓心，半徑為的圓截直線(xiàn)BD所得的弦長(zhǎng)為l=2=2，所以乙船遭遇危險(xiǎn)持續(xù)時(shí)間t=(h).答：甲船沒(méi)有危險(xiǎn)，乙船有危險(xiǎn)，且在遭遇危險(xiǎn)開(kāi)始持續(xù) h后脫險(xiǎn).解三角形中的不等關(guān)系微課9 典型示例例4如圖，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90，OP=2，點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上.(例4)(1)若OM=，求PM的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)N在線(xiàn)段MQ上，且MON=30，問(wèn)：當(dāng)POM取何值時(shí)，OMN的面積最小?并求出面積的最小值.【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】(1)在OMP中，P=45，OM=，OP=2.由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2OPPMcos 45，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)設(shè)POM=，060，在OMP中，由正弦定理，得=，所以O(shè)M=，同理ON=，故SOMN=OMONsin MON=.因?yàn)?60，所以302+30150.所以當(dāng)=30時(shí)，sin(2+30)取得最大值為1，此時(shí)OMN的面積取得最小值，即POM=30時(shí)，OMN的面積最小，其最小值為8-4. 總結(jié)歸納(1)求最值首先選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛樽宰兞?，若?dòng)點(diǎn)在圓上，則選擇圓心角為自變量，三角形(特別是直角三角形)中常選擇一銳角為自變量，最關(guān)鍵的是列出解析式.(2)若角是自變量，常把解析式化為f(x)=Asin(x+)+B的形式，求得最值. 題組強(qiáng)化1.若ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sin A+sin B=2sin C，則cos C的最小值是.【答案】【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，所以cos C=，當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2，即=時(shí)等號(hào)成立，所以cos C的最小值為.2.在銳角三角形ABC中，已知A=2B，則的取值范圍是.【答案】()【解析】因?yàn)锳+B+C=180，A=2B，ABC為銳角三角形，所以30B時(shí)，d(t)=；當(dāng)t時(shí)，d(t)=.所以d(t)= (t0)，當(dāng)t=時(shí)，兩人的距離最短，且為 km.答：當(dāng)t=時(shí)，兩人的距離最短為 km.1.(2015北京卷)在ABC中，已知a=3，b=，A=，則角B=.【答案】【解析】由正弦定理，得=，即=，所以sin B=，因?yàn)閎0，y0.APQ的面積S=xysin 120=xy.因?yàn)閤y=10 000，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)AP=AQ=100 m時(shí)，可使三角形地塊APQ的面積最大.(2)由題意得100(1x+1.5y)=20 000，即x+1.5y=200.在APQ中，PQ2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy，即PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中0y.則當(dāng)y=，x=時(shí)，PQ2取得最小值，從而PQ也取得最小值.所以當(dāng)AP= m，AQ= m時(shí)，可使竹籬笆用料最省.【融會(huì)貫通】融會(huì)貫通能力提升已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tan C=.(1)求角C的大??；(2)當(dāng)c=1時(shí)，求a2+b2的取值范圍.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1) 由已知及余弦定理，得=，所以sin C=. 2分因?yàn)镃為銳角，所以C=30.4分(2)由正弦定理，得=2， 5分所以a=2sin A，b=2sin B=2sin(A+30).a2+b2=4sin2A+sin2(A+30)=4=4=4-3cos 2A+sin 2A=4+2sin(2A-60).8分由得60A90，10分所以602A-60120，sin(2A-60)1 .12分所以7a2+b24+2.所以a2+b2的取值范圍是(7，4+2.14分【精要點(diǎn)評(píng)】三角形有六個(gè)基本元素，即三條邊和三個(gè)角，解三角形最主要的就是將六個(gè)基本元素化為已知的過(guò)程，一般要用正、余弦定理等工具，但選用怎樣的公式，如何轉(zhuǎn)化分析，要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)第6364頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第32課正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用一、 填空題 1.輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開(kāi)海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120，輪船A的航行速度是25 n mile/h，輪船B的航行速度是15 n mile/h，下午2時(shí)兩船之間的距離為. 2.小明同學(xué)騎電動(dòng)自行車(chē)以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東75方向上，則電動(dòng)車(chē)在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是.3.如圖，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，今沿河岸選取相距40 m的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，則AB的距離為m.(第3題) 4.已知ABC的三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.5.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向、相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30、相距10 n mile的C處的乙船.設(shè)乙船朝北偏東度的方向沿直線(xiàn)前往B處救援，則sin =.(第5題)6.如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在邊BC上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，那么BD的長(zhǎng)為.(第6題) 7.(2015重慶卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，則c=.8.(2015湖北卷)如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在北偏西60的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂D在北偏西15的方向上，仰角為30，則此山的高度CD=m.(第8題)二、 解答題 9.如圖，在ABC中，sin=，AB=2，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，且AD=2DC，BD=.(1)求BC的長(zhǎng).(2)求DBC的面積.(第9題)10.(2015南京三模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知acos C+ccos A=2bcos A.(1)求角A的大小；(2)求sin B+sin C的取值范圍.11.如圖，在海島A上有一座海拔1 km的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀(guān)察站P，上午9時(shí)，測(cè)得一輪船在海島北偏東30、俯角為30的B處，到9時(shí)10分又測(cè)得該船(船直線(xiàn)航行)在海島北偏西60、俯角為45的C處.(1)求船的航行速度；(2)在C處，該船改為向正南方向航行，且不改變速度，10min后到達(dá)什么位置(以點(diǎn)A為參照點(diǎn))?(第11題)三、 選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.在ABC中，已知=，則ABC的形狀為.13.在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B+C)sin2B+sin2C，則角A的取值范圍是.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第32課正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用1. 70 n mile【解析】設(shè)輪船A，B航行到下午2時(shí)時(shí)所在的位置分別是E，F(xiàn)，則依題意有CE=252=50(n mile)，CF=152=30(n mile)，且ECF=120，所以EF=70.2. 3 km【解析】如圖，由條件知AB=24=6，在ABS中，BAS=30，AB=6，ABS=180-75=105，所以ASB=45.由正弦定理知=，所以BS=sin 30=3(km).(第2題)3. 20【解析】如圖，由題設(shè)知BDC為等腰直角三角形，故DB=40.由ACB=60和ADB=60知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以BAD=BCD=45.在BDA中，運(yùn)用正弦定理可得AB=20.(第3題)4. -【解析】設(shè)最小邊為a，則其他兩邊分別為a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值為cos =-.5. 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，則DAC=60，AC=10，所以AD=5，CD=5，則BD=25，BC=10，所以sin =sin DCB=.(第5題)6. 【解析】因?yàn)锳DAC，所以DAC=90，所以在ABD中，cosBAD=cos(BAC-90)=sinBAC=，所以BD=.7. 4【解析】由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b，又因?yàn)閍=2，所以b=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-223=16，所以c=4.8. 100【解析】在ABC中，CAB=30，ACB=75-30=45，根據(jù)正弦定理知=，即BC=sinBAC=300，所以CD=BCtanDBC=300=100.9. (1) 因?yàn)閟in=，所以cosABC=1-2=.在ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b，則由余弦定理可得9b2=a2+4-a，在ABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB=，cosBDC=.因?yàn)閏osADB=-cosBDC，所以=-，所以3b2-a2=-6.由