2.1求曲線的方程.doc

求曲線方程學(xué)案課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、 預(yù)習(xí)目標(biāo)回顧圓錐曲線的定義，并會(huì)利用定義和性質(zhì)求圓錐曲線的方程。二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容1到頂點(diǎn)和定直線的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 2直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，已知過定點(diǎn)（1，0），則弦PQ中點(diǎn)的軌跡方程是 3已知點(diǎn)P是雙曲線上任一點(diǎn)，過P作軸的垂線，垂足為Q，則PQ中點(diǎn)M的軌跡方程是 4在中，已知，且成等差數(shù)列，則C點(diǎn)軌跡方程為 課堂探究學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法，了解解析幾何的基本問題 2理解曲線的方程、方程的曲線的概念，能根據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程，了解兩條曲線交點(diǎn)的概念3通過曲線方程概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)與形相互聯(lián)系、對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點(diǎn)4.通過求曲線方程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問題的能力，幫助學(xué)生理解解析幾何的思想方法.5.進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】學(xué)習(xí)重點(diǎn)：熟練掌握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等，并能靈活應(yīng)用。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【學(xué)習(xí)過程】一、 新課分析 解析幾何主要研究?jī)纱箢悊栴}：一是根據(jù)題設(shè)條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).解答軌跡問題時(shí)，若能充分挖掘幾何關(guān)系，則往往可以簡(jiǎn)化解題過程 二、典型例題例1設(shè)動(dòng)直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，P是上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程。OyxB方法點(diǎn)撥：用直接法：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則只需直接把這種關(guān)系“翻譯”成關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方程。經(jīng)化簡(jiǎn)所得同解的最簡(jiǎn)方程，即為所求軌跡方程。其一般步驟為：建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡(jiǎn)檢驗(yàn)。例2如圖，在中，平方單位，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，若曲線E過點(diǎn)C且滿足的值為常數(shù)。（1） 求曲線E的方程；C（2） 設(shè)直線的斜率為1，若直線與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)Q、R，求線段QR的中點(diǎn)M的軌跡方程。AyxOB方法點(diǎn)撥：用圓錐曲線的定義求方程。如果題目中的幾何條件能夠滿足圓、橢圓、雙曲線，拋物線的第一、二定義，則直接利用曲線定義寫出其軌跡方程。例3如圖所示，過橢圓E：上任一點(diǎn)P，作右準(zhǔn)線的垂線PH，垂足為H。延長(zhǎng)PH到Q，使HQ=（1）當(dāng)P點(diǎn)在E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡G的方程；（2）當(dāng)取何值時(shí)，軌跡G是焦點(diǎn)在平行于軸的直線上的橢圓？證明這些焦點(diǎn)都在同一個(gè)橢圓上，并寫出橢圓的方程；（3）當(dāng)取何值時(shí)，軌跡G是一個(gè)圓？判斷這個(gè)圓與橢圓的右準(zhǔn)線的位置關(guān)系。方法點(diǎn)撥：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一。求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為變量間的關(guān)系。在確定了軌跡方程之后，有時(shí)需要對(duì)方程中的參數(shù)進(jìn)行討論，因?yàn)閰?shù)取值的變化會(huì)使方程表示不同的曲線，會(huì)使其與其他曲線的位置關(guān)系不同，會(huì)引起另外某些變量取值范圍的變化。例4設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值。 方法點(diǎn)撥：本題是運(yùn)用參數(shù)法求的軌跡。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量，并用表示動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，便可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡普通方程。其中應(yīng)注意方程的等價(jià)性，即由的范圍確定出范圍。 三、小結(jié): 求曲線方程的兩類問題：一是動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的根本原因，二是動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的約束條件；求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等。課后題高與練習(xí)1.若點(diǎn)M（x,y）滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D拋物線.2.點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)原點(diǎn)O與動(dòng)點(diǎn)M，以O(shè)M為邊作一個(gè)正方形MNPO，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A.B. C. D. 3.方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.B. C. D. 4.一動(dòng)圓M與兩定圓均外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是.5.拋物線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程是.橢圓與橢圓關(guān)于直線對(duì)稱，橢圓的方程是（）A. B. C. D. .下列四個(gè)命題：圓關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對(duì)稱的曲線方程是；以點(diǎn)（2，3）和點(diǎn)（2，1）為焦點(diǎn)的橢圓方程可以是；頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且過點(diǎn)(4，3)的拋物線方程只能是；雙曲線右支上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為18，則P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為；以上正確的命題是.（將正確命題的序號(hào)都填上）8.設(shè)曲線C：和直線.記與C的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；若線段AB上的點(diǎn)Q滿足，求點(diǎn)Q的軌跡方程；在點(diǎn)Q的軌跡上是否存在點(diǎn)Q0，使得經(jīng)過曲線C的焦點(diǎn)的弦被點(diǎn)Q0平分？證明你的結(jié)論.答案：1、；2、；3、；4、解析：應(yīng)用圓錐曲線的定義，注意只有一支.5、；、注意焦點(diǎn)所在位置的變化。 7、；8、略解：（1）設(shè)AB中點(diǎn)M，聯(lián)立方程組得：，則，消云k得，注意到0，得AB中點(diǎn)的軌跡方程是.（2）點(diǎn)Q的軌跡方程是，是一條線段（無端點(diǎn)）.（3）曲線C的焦點(diǎn)F，設(shè)過F的直線方程為，與曲線C的方程聯(lián)立，得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,解得.當(dāng)時(shí)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo).綜上，存在點(diǎn) ，使得經(jīng)過曲線C的焦點(diǎn)的弦被點(diǎn)Q0平分.求曲線的方程【教學(xué)目標(biāo)】 1了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法，了解解析幾何的基本問題 2理解曲線的方程、方程的曲線的概念，能根據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程，了解兩條曲線交點(diǎn)的概念3通過曲線方程概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)與形相互聯(lián)系、對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點(diǎn)4.通過求曲線方程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問題的能力，幫助學(xué)生理解解析幾何的思想方法.5.進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等，并能靈活應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【教學(xué)過程】一、課前預(yù)習(xí) 1到頂點(diǎn)和定直線的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 2直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，已知過定點(diǎn)（1，0），則弦PQ中點(diǎn)的軌跡方程是 3已知點(diǎn)P是雙曲線上任一點(diǎn)，過P作軸的垂線，垂足為Q，則PQ中點(diǎn)M的軌跡方程是 4在中，已知，且成等差數(shù)列，則C點(diǎn)軌跡方程為 答案：1（提示：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則。）；2 ； 3（提示：設(shè)，則將代入雙曲線方程得。）； 4（提示：到AB的距離之和為8。） 二、新課分析 解析幾何主要研究?jī)纱箢悊栴}：一是根據(jù)題設(shè)條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).解答軌跡問題時(shí)，若能充分挖掘幾何關(guān)系，則往往可以簡(jiǎn)化解題過程 三、典型例題 lA 例1設(shè)動(dòng)直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，P是上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程。OyxB方法點(diǎn)撥：用直接法：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則只需直接把這種關(guān)系“翻譯”成關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方程。經(jīng)化簡(jiǎn)所得同解的最簡(jiǎn)方程，即為所求軌跡方程。其一般步驟為：建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡(jiǎn)檢驗(yàn)。例2如圖，在中，平方單位，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，若曲線E過點(diǎn)C且滿足的值為常數(shù)。（1） 求曲線E的方程；C（2） 設(shè)直線的斜率為1，若直線與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)Q、R，求線段QR的中點(diǎn)M的軌跡方程。AyxOB方法點(diǎn)撥：用圓錐曲線的定義求方程。如果題目中的幾何條件能夠滿足圓、橢圓、雙曲線，拋物線的第一、二定義，則直接利用曲線定義寫出其軌跡方程。例3如圖所示，過橢圓E：上任一點(diǎn)P，作右準(zhǔn)線的垂線PH，垂足為H。延長(zhǎng)PH到Q，使HQ=（1）當(dāng)P點(diǎn)在E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡G的方程；（2）當(dāng)取何值時(shí)，軌跡G是焦點(diǎn)在平行于軸的直線上的橢圓？證明這些焦點(diǎn)都在同一個(gè)橢圓上，并寫出橢圓的方程；（3）當(dāng)取何值時(shí)，軌跡G是一個(gè)圓？判斷這個(gè)圓與橢圓的右準(zhǔn)線的位置關(guān)系。O xPyHQl方法點(diǎn)撥：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一。求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為變量間的關(guān)系。在確定了軌跡方程之后，有時(shí)需要對(duì)方程中的參數(shù)進(jìn)行討論，因?yàn)閰?shù)取值的變化會(huì)使方程表示不同的曲線，會(huì)使其與其他曲線的位置關(guān)系不同，會(huì)引起另外某些變量取值范圍的變化。例4設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與