高中數(shù)學(xué)中空間向量部分課件 選修213.2.3空間角的計(jì)算.ppt

3 2 3空間的角的計(jì)算 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法 解題時(shí) 可用定量的計(jì)算代替定性的分析 從而避免了一些繁瑣的推理論證 求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題 也是高考的熱點(diǎn)之一 我們主要研究怎么樣用向量的辦法解決空間角的問題 空間的角 空間的角常見的有 線線角 線面角 面面角 空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角 故我們研究線線角時(shí) 就主要求范圍內(nèi)的角 斜線與平面所成的角是指斜線與它在面內(nèi)的射影所成銳角 再結(jié)合與面垂直 平行或在面內(nèi)這些特殊情況 線面角的范圍也是 兩個(gè)平面所成的角是用二面角的平面角來度量 它的范圍是 總之 空間的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角 因此我們可以考慮通過兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角 異面直線所成角的范圍 思考 結(jié)論 一 線線角 所以與所成角的余弦值為 解 以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 設(shè)則 所以 例一 練習(xí) 在長方體中 簡解 直線與平面所成角的范圍 思考 結(jié)論 二 線面角 簡解 所以 練習(xí) x y z 設(shè)正方體棱長為1 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量 在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱 的夾角 如圖 設(shè)二面角的大小為 其中 d c b a 三 面面角 方向向量法 二面角的范圍 例三 如圖3 甲站在水庫底面上的點(diǎn)a處 乙站在水壩斜面上的點(diǎn)b處 從a b到直線 庫底與水壩的交線 的距離ac和bd分別為和 cd的長為 ab的長為 求庫底與水壩所成二面角的余弦值 解 如圖 化為向量問題 根據(jù)向量的加法法則有 于是 得 設(shè)向量與的夾角為 就是庫底與水壩所成的二面角 因此 所以 所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為 三 面面角 二面角的范圍 法向量法 注意法向量的方向 一進(jìn)一出 二面角等于法向量夾角 同進(jìn)同出 二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角 設(shè)平面 方向朝面外 方向朝面內(nèi) 屬于 一進(jìn)一出 的情況 二面角等于法向量夾角 小結(jié) 1 異面直線所成角 2 直線與平面所成角 d c b a 3 二面角 一進(jìn)一出 二面角等于法向量的夾角 同進(jìn)同出 二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角 2 如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是 1 0 1 0 1 1 那么這條斜線與平面所成的角是 3 已知兩平面的法向量分別m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的鈍二面角為 練習(xí) 1 已知 2 2 1 4 5 3 則平面abc的一個(gè)法向量是 600 1350 4 三棱錐p abcpa abc pa ab ac e為pc中點(diǎn) 則pa與be所成角的余弦值為 5 直三棱柱abc a1b1c1中 a1a 2 ab ac 1 則ac1與截面bb1cc1所成角的余弦值為 6 正方體中abcd a1b1c1d1中e為a1d1的中點(diǎn) 則二面角e bc a的大小是 7 正三棱柱中 d是ac的中點(diǎn) 當(dāng)時(shí) 求二面角的余弦值 8 已知正方體的邊長為2 o為ac和bd的交點(diǎn) m為的中點(diǎn) 1 求證 直線面mac 2 求二面角的余弦值 故 則可設(shè) 1 則b 0 1 0 作于e 于f 則 即為二面角的大小 在中 即e分有向線段的比為 由于且 所以 在中 同理可求 即二面角的余弦值為 解法二 同法一 以c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系c xyz 在坐標(biāo)平面yoz中 設(shè)面的一個(gè)法向量為 同法一 可求b 0 1 0 由得 解得 所以 可取 二面角的大小等于 即二面角的余弦值為 方向朝面外 方向朝面內(nèi) 屬于 一進(jìn)一出 的情況 二面角等于法向量夾角 8 證明 以為正交基底 建立空間直角坐標(biāo)系如圖 則可得 8 已知正方體的邊長為2 o為ac和bd的交點(diǎn) m為的中點(diǎn) 1 求證 直線面mac 2 求二面角的余弦值 習(xí)題課 例1如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 側(cè)棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中點(diǎn) 作ef pb交pb于點(diǎn)f 1 求證 pa 平面edb 2 求證 pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f a b c d p e f 解 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)dc 1 1 證明 連結(jié)ac ac交bd于點(diǎn)g 連結(jié)eg a b c d p e f g 2 求證 pb 平面efd a b c d p e f 3 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f 例2 如圖 在四棱錐s abcd中 底面abcd為平行四邊形 側(cè)面sbc底面abcd 已知ab 2 bc sa sb 1 求證 2 求直線sd與平面sab所成角的正弦值 s a b c d c 證明 1 取bc中點(diǎn)o 連接oa os 2 求直線sd與平面sab所成角的正弦值 所以直線sd與平面sab所成角的正弦值為 例3如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd為矩形 側(cè)棱pa 底面abcd pa ab 1 ad 在線段bc上是否存在一點(diǎn)e 使pa與平面pde所成角的大小為450 若存在 確定點(diǎn)e的位置 若不存在說明理由 d b a c e p 解 以a為原點(diǎn) ad ab ap所在的直線分別為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)be m 則 例4 2004 天津 如圖所示 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 側(cè)棱pd底面abcd pd dc e是pc的中點(diǎn) 1 證明 pa 平面edb 2 求eb與底面abcd所成的角的正切值 a b c d p e 1 證明 設(shè)正方形邊長為1 則pd dc da 1 連ac bd交于g點(diǎn) 2 求eb與底面abcd所成的角的正切值 所以eb與底面abcd所成的角的正弦值為 所以eb與底面abcd所成的角的正切值為 方向朝面內(nèi) 方向朝面外 屬于 一進(jìn)一出 的情況 二面角等于法向量夾角 1 如圖 已知 直角梯形oabc中 oa bc aoc 90 so 面oabc 且os oc bc 1 oa 2 求 1 異面直線sa和ob所成的角的余弦值 2 os與面sab所成角的余弦值 3 二面角b as o的余弦值 練習(xí) 1 如圖 已知 直角梯形oabc中 oa bc aoc 90 so 面oabc 且os oc bc 1 oa 2 求 1 異面直線sa和ob所成的角的余弦值 1 如圖 已知 直角梯形oabc中 oa bc aoc 90 so 面oabc 且os oc bc 1 oa 2 求 2 os與面sab所成角的余弦值 所以os與面sab所成角的余弦值為 所以二面角b as o的余弦值為 1 如圖 已知 直角梯形oabc中 oa bc aoc 90 so 面oabc 且os oc bc 1 oa 2 求 3 二面角b as o的余弦值 2 在如圖的實(shí)驗(yàn)裝置中 正方形框架的邊長都是1 且平面abcd與平面abef互相垂直 活動(dòng)彈子m n分別在正方形對(duì)角線ac和bf上移動(dòng) 且cm和bn的長度保持相等 記