第12講導數的應用教案.doc

第12講導數的應用()教案【2013年高考會這樣考】1考查利用導數解決有關實際問題2考查利用導數研究方程根的分布情況、兩曲線交點個數等3考查利用導數證明不等式、解決有關不等式問題【復習目標】本節(jié)復習時，要深入體會導數應用中蘊含的數學思想方法數形結合思想，如通過從導函數圖象特征解讀函數圖象的特征，或求兩曲線交點個數等；等價轉化思想，如將證明的不等式問題等價轉化為研究相應問題的最值等基礎梳理1利用導數解決實際生活中的優(yōu)化問題(1)分析實際問題中各變量之間的關系，建立實際問題的數學模型，寫出相應的函數關系式y(tǒng)f(x)并確定定義域；(2)求導數f(x)，解方程f(x)0；(3)判斷使f(x)0的點是極大值點還是極小值點；(4)確定函數的最大值或最小值，還原到實際問題中作答2研究函數圖象的交點、方程的根、函數的零點，歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題思路的，因此使用的知識還是函數的單調性和極值的知識兩個注意(1)注意實際問題中函數定義域的確定(2)在實際問題中，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數值比較兩個轉化(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用(2)將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性、極值問題處理雙基自測1(人教A版教材習題改編)已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為yx381x234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為()A13萬件 B11萬件 C9萬件 D7萬件解析因為yx281，所以當x9時，y0；當x(0,9)時，y0，所以函數yx381x234在(9，)上單調遞減，在(0,9)上單調遞增，所以x9是函數的極大值點，又因為函數在(0，)上只有一個極大值點，所以函數在x9處取得最大值答案C2(2012青島質檢)若函數f(x)x33xa有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)解析由于函數f(x)是連續(xù)的，故只需要兩個極值異號即可f(x)3x23，令3x230，則x1，只需f(1)f(1)0.即(a2)(a2)0，故a(2,2)答案A3從邊長為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3解析設盒子容積為y cm3，盒子的高為x cm.則y(102x)(162x)x(0x5)4x352x2160 x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144 (cm)3.答案C4若f(x)，0abe，則有()Af(a)f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f(b) Df(a)f(b)1解析f(x)ln x(1ln x)在(0，e)上f(x)0.f(x)在(0，e)上是增函數答案C5若f(x)x33ax23(a2)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為_解析f(x)3x26ax3(a2)，由題意知f(x)0有兩個不等的實根，故(6a)2433(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.答案(，1)(2，)考向一運用導數解決恒成立及求參數范圍問題【例1】(2011鄭州聯考)已知函數f(x)ln x.(1)若a0，試判斷f(x)在定義域內的單調性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范圍審題視點 (1)求導數f(x)判斷f(x)0或f(x)0確定單調性(2)根據單調性求f(x)在1，e上的最小值列方程求解(3)f(x)x2axln xx3求xln xx3的最大值解(1)由題意f(x)的定義域為(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是單調遞增函數(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上為增函數，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上為減函數，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，當1xa時，f(x)0，f(x)在(1，a)上為減函數；當axe時，f(x)0，f(x)在(a，e)上為增函數，f(x)minf(a)ln(a)1，a.綜上所述，a.(3)f(x)x2，ln xx2.又x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時，h(x)0，h(x)在(1，)上是減函數h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是減函數g(x)g(1)1，當a1時，f(x)x2在(1，)上恒成立【方法總結】(1)求函數的單調區(qū)間，直接求導，然后解不等式即可，注意函數的定義域；(2)轉化為函數在區(qū)間上的最小值問題，然后利用導數研究【訓練1】 設函數f(x)x2exxex.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若當x2,2時，不等式f(x)m恒成立，求實數m的取值范圍解(1)函數f(x)的定義域為( ，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，則1ex0，所以f(x)0；若x0，則1ex0，所以f(x)0；f(x)在(，)上為減函數，即f(x)的單調減區(qū)間為(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上單調遞減f(x)minf(2)2e2，m2e2時，不等式f(x)m恒成立考向二運用導數證明不等式問題【例2】設a為實數，函數f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1.審題視點 第(2)問構造函數h(x)exx22ax1，利用函數的單調性解決(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調遞減2(1ln 2a)單調遞增故f(x)的單調遞減區(qū)間是(，ln 2，單調遞增區(qū)間是ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當aln 21時，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內單調遞增于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.【方法總結】利用導數方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數h(x)f(x)g(x)，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數h(x)0，其中一個重要技巧就是找到函數h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口【訓練2】 已知函數f(x)x2ln x.(1)求函數f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求證：當x(1，)時，函數f(x)的圖象在g(x)x3x2的下方(1)解f(x)x2ln x，f(x)2x.x1時，f(x)0，故f(x)在1，e上是增函數，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)證明令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，則F(x)x2x2.x1，F(x)0，F(x)在(1，)上是減函數F(x)F(1)0，即f(x)g(x)當x(1，)時，函數f(x)的圖象總在g(x)的圖象的下方考向三運用導數解決生活中的優(yōu)化問題【例3】現需要對泰山景點進一步改造升級，提高旅游增加值，經過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：yxax2ln，t，)，其中t為大于的常數當x10時，y9.2.(1)求yf(x)的解析式和投入x的取值范圍；(2)求旅游增加值y取得最大值時對應的x值審題視點 第(1)問把x10，y9.2代入函數式，即可求出a的值，得到y(tǒng)f(x)；第(2)問求f(x)的最大值，需要先討論yf(x)的單調性，確定取得最大值的區(qū)間和對應的x值解(1)當x10時，y9.2，即10a102ln 19.2，解得a.f(x)xln.t且t，6x，即投入x的取值范圍是.(2)對f(x)求導，得f(x).令f(x)0，得x50或x1(舍去)當x(6,50)時，f(x)0，且f(x)在(6,50上連續(xù)，因此，f(x)在(6,50上是增函數；當x(50，)時，f(x)0，且f(x)在50，)上連續(xù)，因此，f(x)在50，)上是減函數x50為極大值點當50，即t時，投入50萬元改造時取得最大增加值；當650，即t時，投入萬元改造時取得最大增加值【方法總結】函數是具體的，其單調性和最值都很明確，定義域是變化的，這類問題分類討論的標準就是看最值點是否在定義域內【訓練3】 (2011蘇北四市二調)據環(huán)保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為k(k0)現已知相距18 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和設ACx km.(1)試將y表示為x的函數；(2)若a1，x6時，y取得最小值，試求b的值解(1)由題意知點C受A污染源污染指數為，點C受B污染源污染指數為，其中k為比例系數，且k0.從而點C處的污染指數y(0x18)(2)因為a1，所以y，yk，令y0，得x，又此時x6，解得b8，經驗證符合題意，所以，污染源B的污染強度b的值為8.難點突破8有關導數熱點問題的求解策略 導數的工具性使得導數在高考中的應用有得天獨厚的優(yōu)勢，特別是在研究函數的性質、相切問題以及實際優(yōu)化的問題方面近年，各地高考都從不同的方面對導數內容進行考查，既有考查導數的小題，又有考查導數綜合應用的大題這些問題構成了高考試卷中一道亮麗的風景線一、研究函數性質的導數問題導數是研究函數問題的有力工具，常常用來解決函數的單調性、極值、最值等問題【示例】 (2011陜西)設f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關系；(3)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)對任意x0成立二、研究曲線的切線的導數問題導數的幾何意義是我們解決有關直線與曲線相切的問題以及切線的斜率問題的有力武器，它使得復雜的圖象關系問題轉化為簡單的函數問題、因而常常與導函數在切點的函數值一起作為列出方程的重要依據【示例】 (2011遼寧)設函數f(x)xax2bln x，曲線yf(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.(1)求a、b的值；(2)證明：f(x)2x2.三、解決實際問題的導數問題對于實際問題中的一些優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大、用料最省等問題，常常需要將實際問題抽象為數學問題，然后化為函數的