分?jǐn)?shù)相對性的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用.doc

分?jǐn)?shù)相對性的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用什么是分?jǐn)?shù)的相對性呢？分?jǐn)?shù)可以表示整體與部分的關(guān)系；對于任何一個整體量，它的每一個部分量都可以用一個確定的分?jǐn)?shù)來表示，反之亦然。 例如，對于整體量12，它的各部分與分?jǐn)?shù)之間一一對應(yīng)關(guān)系可以畫下面的線段圖來表征：0 2 4 6 8 10 12 0 1這個線段圖等價于下面的比例表： 絕對數(shù)量 2 4 6 8 10 12相對數(shù)量 1弗賴登塔爾曾經(jīng)特別指出：“在一條直線上雙重刻度與比例表是同構(gòu)的。”（數(shù)學(xué)教育刺探在中國的講學(xué)）把直線上雙重刻度的線段圖作為分?jǐn)?shù)相對性的直觀的數(shù)學(xué)模型，具有高度的統(tǒng)攝性。它的應(yīng)用十分廣泛。想一想：下面的線段圖，分別可以表征哪些關(guān)于分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問題呢？0 ？ 120 1 圖10 10 120 ？ 1 圖20 10 ？0 1 圖3圖1可以表征如下的數(shù)學(xué)問題：（1）12的是多少？（2）12減少，剩下多少？圖2可以表征如下的數(shù)學(xué)問題：（1）10是12的幾分之幾？（2）12減少2，還剩幾分之幾？圖3可以表征如下的數(shù)學(xué)問題：（1）10是什么數(shù)的 ？（2）什么數(shù)減少，還剩下10？解決實際問題，首先要從中提出數(shù)學(xué)問題。從分?jǐn)?shù)的實際問題提出的數(shù)學(xué)問題，都可以用上述的線段圖來表征，然后根據(jù)線段圖的意義列出算式或方程，這就是“從現(xiàn)實世界引到符號世界”的橫向數(shù)學(xué)化的過程。接著，則是縱向數(shù)學(xué)化，即計算或解方程。例1小華攢了35元的零用錢，他拿出其中的捐給地震災(zāi)區(qū)的希望小學(xué)，小華捐了多少錢？從這個實際問題提出的數(shù)學(xué)問題可以表征如下： 0 ？ 35 0 1圖4根據(jù)圖4，有兩種算法：算法1： 35537321（元）。算法2： 3521（元）。答：小華捐了21元。例1可以變式：小華向地震災(zāi)區(qū)的希望小學(xué)捐了21元，是他攢的零用錢的，小華原來攢了多少錢？從這個實際問題提出的數(shù)學(xué)問題可以表征如下： 0 21 ？ 0 1圖5根據(jù)圖5，有三種算法：算法1： 21357535（元）。算法2： 設(shè)：小華原來攢了x元。 x21，兩邊同乘，得 x21， x35。學(xué)過分?jǐn)?shù)除法后，還有如下一種算法：算法3： 212135。答：小華原來攢了35元。例1還有一種問題變式：小華攢了35元的零用錢，他拿出21元捐給地震災(zāi)區(qū)的希望小學(xué)，小華捐的錢是他攢的零用錢的幾分之幾？這個問題就留給讀者自己去解決。例22001年某地超級雜交水稻的種植面積是25萬公頃，比2000年增加，2000年超級雜交水稻的種植面積是多少萬公頃？從這個實際問題提出的數(shù)學(xué)問題可以用下圖表征： 0 ？ 25 0 1 1圖6根據(jù)圖6，有三種算法：算法1：25545420（萬公頃）。算法2：設(shè)：2000年超級雜交水稻的種植面積為x萬公頃。 （1）x25， x25， x20。算法3：25（1）252520。答：2000年超級雜交水稻的種植面積是20萬公頃。在新世紀(jì)版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，上述引入方程的解法是為了化解直接列分?jǐn)?shù)除法算式的難點。到了六年級下冊，學(xué)習(xí)了正比例關(guān)系后，根據(jù)上圖直接列出除法算式也不難。關(guān)于例2可以怎樣變式，也留給讀者自己去探討。如果把例1、例2中的分?jǐn)?shù)改為60、改為25，那么分?jǐn)?shù)的實際問題就變成了百分?jǐn)?shù)的實際問題了。所以，上述線段圖稍加修改，同樣可以用于表征從百分?jǐn)?shù)實際問題提出的數(shù)學(xué)問題。甚至，按比分配問題，可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的應(yīng)用問題，因此上述線段圖在解決按比分配的實際問題中仍有用武之地。例3如果有140個橘子，按3 ：2怎樣分？為了把按比分配問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的應(yīng)用問題，就要把140視為整體量。把它按3 ：2分成兩個部分，就必須知道每一部分占整體的幾分之幾。為此，要對3 ：2進(jìn)行等比變形，即325，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，有3 ：2 ：，且1。于是，從按比分配的實際問題中提出的數(shù)學(xué)問題可以表征為： 0 ？ ？ 140 0 1 圖7學(xué)習(xí)正比例關(guān)系后，我們知道在直線雙重刻度的數(shù)學(xué)模型中，蘊含著相等的數(shù)學(xué)關(guān)系，即絕對數(shù)量與它對應(yīng)的相對數(shù)量成正比；0 a b0 c d圖8圖8中蘊含的等量關(guān)系是acbd。這個等量關(guān)系還有如下等價形式：abcd，adbc，等?？梢?，分?jǐn)?shù)相對性的數(shù)學(xué)模型，可以把分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、比的應(yīng)用以及正比例關(guān)系全部貫通都來，數(shù)學(xué)變得如此和諧、簡單。抓住絕對數(shù)量與相對數(shù)量之間的等量關(guān)系，那么，不論是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)或者比的實際問題，只要能夠用直線上的雙重刻度來表征其中的數(shù)學(xué)問題，就能夠列出算式或方程加以解決，不需要用死記硬背，也不需要生搬硬套了。例41985年，笑笑家的食品支出與其他支出分別占總支出的65和35，食品支出比其他支出多210元。你知道笑笑家這一年的總支出是多少元嗎？從這個實際問題提出的數(shù)學(xué)問題可以表征為： 210 0 ？ ？ ？ 0 35 65 1 圖9解：設(shè)：笑笑家1985年的總支出是x元。則圖9可以充實為下圖： 210 0 35x 65x x 0 35 65 1 65x35x210， 30x210， x700。答：1985年笑笑家的總支出是700元。例4也有算術(shù)解法，但用算術(shù)解法，還須進(jìn)一步分析