生活數(shù)學(xué)與智巧趣題2010-10-25.ppt

生活數(shù)學(xué)與智巧趣題 主講人 呂建國(guó) 學(xué)大教育北京分公司小學(xué)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)系列 主講內(nèi)容 奇偶性問題完全平方數(shù)挑次品歸納法枚舉法 搶數(shù) 游戲抽屜原理公倍數(shù)問題 二進(jìn)制問題行程問題鐘表問題時(shí)間差問題比例問題經(jīng)濟(jì)問題銀行利率剩余定理 例1 奇偶性的應(yīng)用 1 某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽 共30道試題 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是 答對(duì)一題給3分 答錯(cuò)倒扣1分 不答給1分 請(qǐng)你說明 該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù) 分析每個(gè)學(xué)生的得分?jǐn)?shù)都是偶數(shù) 是解答此題的關(guān)鍵所在 解對(duì)每個(gè)學(xué)生來說 30道題都答對(duì)可得90分 是個(gè)偶數(shù) 如答錯(cuò)一題 就相差4分 不管答錯(cuò)幾題 4的倍數(shù)都是偶數(shù) 90減去偶數(shù)還是偶數(shù) 同樣 如不答一題 就相差2分 不管不答幾題 2的倍數(shù)都是偶數(shù) 偶數(shù)減去偶數(shù)還是偶數(shù) 因此 每個(gè)學(xué)生的得分?jǐn)?shù)都是偶數(shù) 而偶數(shù)的和仍是偶數(shù) 故全班同學(xué)得分?jǐn)?shù)的總和一定是偶數(shù) 例2 奇偶性的應(yīng)用 2 桌上有9只杯子 全部口朝上 每次將其中6只同時(shí) 翻轉(zhuǎn) 請(qǐng)說明 無(wú)論經(jīng)過多少次這樣的 翻轉(zhuǎn) 都不能使9只杯子全部口朝下 解答 要使一只杯子口朝下 必須經(jīng)過奇數(shù)次 翻轉(zhuǎn) 要使9只杯子口全朝下 必須經(jīng)過9個(gè)奇數(shù)之和次 翻轉(zhuǎn) 即 翻轉(zhuǎn) 的總次數(shù)為奇數(shù) 但是 按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子 無(wú)論經(jīng)過多少次 翻轉(zhuǎn) 翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次 因此無(wú)論經(jīng)過多少次 翻轉(zhuǎn) 都不能使9只杯子全部口朝下 例3 完全平方數(shù)的應(yīng)用少年宮游樂廳懸掛著200個(gè)彩色燈泡 這些燈泡或明或暗 十分有趣 這200個(gè)燈泡按1 200編號(hào) 它們的亮暗規(guī)則是 第一秒 全部燈泡變亮 第二秒 凡編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗 第三秒 凡編號(hào)為3的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài) 即亮的變暗 暗的變亮 一般地 第秒凡編號(hào)為的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài) 這樣繼續(xù)下去 每4分鐘一個(gè)周期 問 第200秒時(shí) 明亮的燈泡有多少個(gè) 解答 某個(gè)燈泡 如果他的亮暗變化次數(shù)是奇數(shù) 那么它是明亮的 根據(jù)題意可知 號(hào)碼為的燈泡 亮暗變化次數(shù)等于的約數(shù)的個(gè)數(shù) 若得約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù) 則一定是平方數(shù) 所以200秒時(shí) 那些編號(hào)是平方數(shù)的燈泡是明亮的 因?yàn)?00以內(nèi)有14個(gè)平方數(shù) 所以200秒時(shí)明亮的燈泡有14個(gè) 例4 用歸納法解決數(shù)學(xué)問題老師給冬冬布置了12篇作文 規(guī)定他每天至少寫一篇 最多能寫3篇 那么他共有多少種寫完作文的方法 例5 枚舉法解決數(shù)學(xué)問題從1到100的自然數(shù)中 每次取出兩個(gè)數(shù) 要使它們的和大于100 共有多少種取法 提示 用枚舉法 此類方法適合于數(shù)目 種類不很繁雜的題 且分析時(shí)應(yīng)盡量做到分類全面 不重不漏 例6 排隊(duì)報(bào)數(shù)問題一個(gè)班有40人 站成一排 從左到右一次進(jìn)行 1 2 報(bào)數(shù) 報(bào)1的人走開 剩下的人繼續(xù)從左到右依次進(jìn)行 1 2 報(bào)數(shù) 如此下去 直到只剩下一個(gè)人為止 最后剩下的一個(gè)人是哪一個(gè)人 點(diǎn)撥 最后剩下的人所對(duì)應(yīng)的號(hào)數(shù)應(yīng)該是含有因數(shù)2最多的 即32 解答 把全班所有的人從左到右依次編號(hào) 1 2 3 4 5 40第一次報(bào)完 剩下的人 號(hào)碼是2的倍數(shù) 第二次報(bào)完 剩下的人 號(hào)碼是4的倍數(shù) 第三次報(bào)完 剩下的人 號(hào)碼是8的倍數(shù) 第四次報(bào)完 剩下的人 號(hào)碼是16的倍數(shù) 第五次報(bào)完 剩下的人 號(hào)碼是32的倍數(shù) 所以最后剩下的那個(gè)人是第32號(hào) 例7 搶30 游戲小明與弟弟在玩一種 搶報(bào)30 的游戲 從1開始到30 兩人輪流報(bào)數(shù) 每人每次最多報(bào)兩個(gè)數(shù) 不能不報(bào) 誰(shuí)先搶到 30 算贏 請(qǐng)問 在他們先報(bào)與后報(bào)的人中 誰(shuí)有必勝的策略 點(diǎn)撥 每次能報(bào)1個(gè)或2個(gè) 當(dāng)對(duì)手報(bào)1個(gè)時(shí) 自己就報(bào)2個(gè) 對(duì)手報(bào)2個(gè)時(shí) 自己就報(bào)1個(gè) 這種方法可以簡(jiǎn)稱為 湊3 解答 可以以3個(gè)數(shù)為一組 對(duì)手報(bào)的是3個(gè)數(shù)的一部分 自己報(bào)的是最后一部分 因此30 3 10 沒有余數(shù) 所以應(yīng)該讓對(duì)方先報(bào) 后報(bào)的人有必勝策略 就是 湊3 例8 取棋子游戲一堆棋子共有2002個(gè) 甲 乙兩人玩輪流取棋子的游戲 甲先取 乙后取 并且規(guī)定每次取的棋子不能超過7粒 但不能不取 如果規(guī)定取到最后一粒的人為勝者 那么甲應(yīng)如何制定策略以取勝 例9 挑次品 今有101枚硬幣 其中有100枚同樣的真幣和1枚偽幣 偽幣與真幣和重量不同 現(xiàn)需弄清楚偽幣究竟比真幣輕 還是比真幣重 但只有一架沒有砝碼的天平 那么怎樣利用這架天平稱兩次 來達(dá)到目的 解答 分成50 50 1三堆 第一次稱兩個(gè)50 如果平了 第二次從這100個(gè)任意拿1個(gè) 當(dāng)然是真的 與第三堆的1個(gè)稱 自然會(huì)出結(jié)果 第一次稱兩個(gè)50不平是正常的 第二次我們把其中的一堆 或重的或輕的都行 分成25 25 稱第二次 1 把輕的分成25 25 如果平了 說明那堆重的有假 當(dāng)然假的是超重 如果不平 說明這50個(gè)輕的有假 假的是輕了 2 把重的分成25 25 道理同上 所以兩次可以發(fā)現(xiàn)輕重 但是找不出哪個(gè)是假的 例10 挑次品 2 有27顆珍珠 其中一顆是假珍珠 這顆假珍珠外觀上不易察覺 只是稍輕一些 現(xiàn)有一架天平 要想把假珍珠找出來 至少要稱多少次 例11 抽屜原理一個(gè)小組共有13名同學(xué) 其中至少有2名同學(xué)同一個(gè)月過生日 為什么 解答 每年里共有12個(gè)月 任何一個(gè)人的生日 一定在其中的某一個(gè)月 如果把這12個(gè)月看成12個(gè) 抽屜 把13名同學(xué)的生日看成13只 蘋果 把13只蘋果放進(jìn)12個(gè)抽屜里 一定有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋果 也就是說 至少有2名同學(xué)在同一個(gè)月過生日 例12 公倍數(shù)問題 一次會(huì)餐供有三種飲料 餐后統(tǒng)計(jì) 三種飲料共用了65瓶 平均每2個(gè)人飲用一瓶A飲料 每3人飲用一瓶B飲料 每4人飲用一瓶C飲料 問參加會(huì)餐的人數(shù)是多少人 點(diǎn)撥 參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是2 3 4的公倍數(shù) 解答 2 3 4 12 參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是12的倍數(shù) 12 2 12 3 12 4 6 4 3 13 瓶 可見12個(gè)人要用6瓶A飲料 4瓶B飲料 3瓶C飲料 共用13瓶飲料 又因?yàn)?5 13 5 所以參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12的5倍 12 5 60 人 答 參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)是60人 例13 二進(jìn)制問題150粒糖果需至少裝在幾個(gè)盒子中 就能保證150以內(nèi)所有糖果數(shù)都可用幾只盒子湊齊 而不必打開盒子 此時(shí)每只盒子里放多少粒糖 例14 行程問題 1 甲 乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā) 相向而行 距離是100千米 甲每小時(shí)走6千米 乙每小時(shí)走4千米 甲帶著一只狗 狗每小時(shí)走10千米 這只狗同甲一道出發(fā) 碰到乙的時(shí)候 它又掉頭朝甲這邊走 碰到甲時(shí)又往乙那邊走 直到兩人相遇 問這只狗一共走了多少千米 例15 行程問題 2 一班 二班同學(xué)從學(xué)校出發(fā) 在距學(xué)校18km的林場(chǎng)植樹 因車少人多 只能兩班共乘一輛汽車前往 一班先乘車 二班步行 汽車行至中途A地 一班同學(xué)下車步行 汽車立即返回接二班同學(xué) 最后兩班同學(xué)同時(shí)到達(dá)林場(chǎng) 已知汽車時(shí)速60km h 步行速度為4km h 同學(xué)們上下車的時(shí)間忽略不計(jì) 求兩班同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到林場(chǎng)需多長(zhǎng)時(shí)間 例16 比例問題車過河交渡費(fèi)3元 馬過河交渡費(fèi)2元 人過河交渡費(fèi)1元 某天過河的車和馬數(shù)目的比為2 9 馬和人數(shù)目的比為3 7 共收得渡費(fèi)945元 這天渡過的車 馬和人的數(shù)目各是多少 例17 鐘表問題4點(diǎn)到5點(diǎn)之間 什么時(shí)刻時(shí)鐘的兩針成一直線 例18 時(shí)間差問題老王有一個(gè)掛鐘 這天因掛鐘忘了上發(fā)條而停了 他到集市購(gòu)買日用品 出門前他先上緊掛鐘的發(fā)條 看了當(dāng)時(shí)的時(shí)間是上午6 35 時(shí)間不準(zhǔn) 途中經(jīng)過電信局 電信局的時(shí)鐘是上午9 00 標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間 到集市采購(gòu)?fù)?又經(jīng)原路經(jīng)過電信局 看到電信局的時(shí)鐘是上午10 00 回到家里 墻上的掛鐘指向上午10 35 如果老王到集市來回路上所用時(shí)間相同 那么這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少 點(diǎn)撥 老王出門共花了4個(gè)小時(shí) 由于老王到集市來回路上所用時(shí)間相同 時(shí)間也相同 解答 電信局 集市 電信局共花了1小時(shí) 可以計(jì)算出電信局到家需要3 2 1 5小時(shí) 即此時(shí)應(yīng)為11 30圖示為 家 6 35 電信局 9 00 集市 電信局 10 00 家 10 35 例19 經(jīng)濟(jì)問題某商品按20 的利潤(rùn)定價(jià) 然后按八折出售 結(jié)果虧損了64元 這件商品的成本是多少元 點(diǎn)撥 利潤(rùn)問題常用的公式有 1 利潤(rùn) 售價(jià) 成本 2 售價(jià) 成本 1 利潤(rùn)率 3 成本 售價(jià) 1 利潤(rùn)率 4 利潤(rùn)率 售價(jià) 成本 成本 100 通常假設(shè)成本為 1 解答 假設(shè)成本為 1 按20 的利潤(rùn)定價(jià) 然后按八折 售價(jià)變成了 顯然比成本 1 低了 虧損1 0 96 0 04 所以成本為 64 0 04 1600 元 例20 銀行利率問題某個(gè)體商人以年利息14 的利率借別人4500元 第一年末償還2130元 第二年以某種貨物80件償還一部分 第三年還2736元結(jié)清 他第二年末還債的貨物每件價(jià)值多少元 點(diǎn)撥 根據(jù) 總利息 本金 利率 時(shí)間 解答 解 第一年末的本利和 4500 4500 14 1 5130 元 第二年起計(jì)息的本金 5130 2130 3000 元 第二年末的本利和 3000 3000 14 1 3420 元 第三年的本利和為2736元 故第三年初的本金為 2736 1 14 2736 1 14 2400 元 第二年末已還款的金額為3420 2400 1020 元 每件貨物的單價(jià)為1020 80 12 75 元 例21 剩余定理的應(yīng)用一個(gè)數(shù)除以5余4 除以8余3 除以11余2 求滿足條件的最小的自然數(shù) 解答 先看大數(shù)11 11 2 13 滿足最大的條件 只需要再加上11的倍數(shù) 看它是不是能除以8余3 13 11 24 除以8余0 11比8大3 所以再加1個(gè)11就能除以8余3了 就是13 11 2 35 再看8和11的最小公倍數(shù)是88 把35加上88的倍數(shù)滿足除以5余4就可以了 35 88 123除以5余3 88除以5余3 要想余4 需要3個(gè)88 余9除以5就是余4了 即 35 88 3 299 例22 剩余定理的應(yīng)用 2 有一個(gè)年級(jí)的同學(xué) 每9人一排多5人 每7人一排多1人 每5人一排多2人 問這個(gè)年級(jí)至