全國高中數(shù)學競賽二試模擬訓練題(14).doc

此文檔收集于網(wǎng)絡，僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除加試模擬訓練題（14）1、非等腰的內切圓圓心為，其與分別相切于點，分別交圓于， 中的角平分線分別交于點，證明（1）是的角平分線；（2）如果是和的兩個外接圓的交點，則點在直線上。2、對任意實數(shù)，試證：3、設是正整數(shù)，我們說集合1，2，2的一個排列（）具有性質P，是指在1，2，21當中至少有一個，使得求證，對于任何，具有性質P的排列比不具有性質P的排列的個數(shù)多.4、求方程的整數(shù)解，其中是質數(shù)，是大于1的正整數(shù)，并證明你所得到的解是全部解. 加試模擬訓練題（14）1、非等腰的內切圓圓心為，其與分別相切于點，分別交圓于， 中的角平分線分別交于點，證明（1）是的角平分線；（2）如果是和的兩個外接圓的交點，則點在直線上。證明 （1）因為，所以有，從而有，即是的角平分線。（2）設的外心為，連，則。由于，所以，于是有，即與相切于。同理與的外接圓相切于，從而在與的外接圓的根軸上，即三點共線。2、對任意實數(shù)，試證： 證明：當時，所證不等式顯然成立. 當不全為零時， 將所證不等式可變形為 令 式中的均可取一切實數(shù)（不同時為零即可）. 不妨取變量作為考查對象. （1）當時，由，得即 （2）當時，將式整理，得 可以為0，當時，不等式顯然成立；當時，因，即或 由得 當時，不等式顯然成立； 當時， 即 即解得：或 同理，由，得，對任意實數(shù)都滿足的充要條件是：解得 綜合以上，可得的取值范圍是： 由此可得 即所證不等式成立.3、設是正整數(shù)，我們說集合1，2，2的一個排列（）具有性質P，是指在1，2，21當中至少有一個，使得求證，對于任何，具有性質P的排列比不具有性質P的排列的個數(shù)多.（1989，第30屆IMO試題6）【證明】設A為不具有性質P的排列的集合，B為具有性質P的排列的集合，顯然為了證明，只要得到就夠了.使作容斥原理.設()中,與相鄰的排列的集合為則由容斥原理得 = 4、（普特南競賽題）求方程的整數(shù)解，其中是質數(shù)，是大于1的正整數(shù)，并證明你所得到的解是全部解. 解析：容易看到兩個質數(shù)中肯定有一個為2，不妨假設，即。若，從余數(shù)去討論，為奇數(shù)。，所以，提取公因數(shù)，有，從奇偶性可以看出這種情形方程無解。為偶