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拋物線的方程與性質(zhì)答案解析(一)拋物線方程1.焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2(09寧夏海南)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,直線與拋物線交于兩點(diǎn),若為的中點(diǎn),則拋物線C的方程為 【解】設(shè)拋物線為,與聯(lián)立方程組,消去,得:,故3.設(shè)斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與軸交于點(diǎn),若( 為原點(diǎn))的面積為,則拋物線方程為 【解】易知,直線方程為,令得,得, 所以拋物線方程為(二)拋物線定義1到軸的距離比到點(diǎn)的距離小2的軌跡方程為或【解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時(shí),滿足條件即軌跡方程為;當(dāng)時(shí),則問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等,則有2(09年全國(guó))已知直線與拋物線:相交兩點(diǎn),為 的焦點(diǎn)若,則( D )A1 B C D【解】直線過定點(diǎn)即拋物線焦點(diǎn)(2,0),由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求另法:借用第二定義得解直角三角形。3設(shè)是過拋物線焦點(diǎn)的弦,以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系是 ( )A相切 B相交 C相離 D不能確定【解】過分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,弦的中點(diǎn)為,過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則由拋物線定義得:,所以以弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切4(09年四川)已知直線和直線,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是( A )A2 B3 C D 【解】直線為拋物線的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知,到的距離等于到拋物線的焦點(diǎn)的距離,問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)和直線的距離之和最小,最小值為到直線的距離,即【變式訓(xùn)練1】已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則到點(diǎn)的距離與到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小值為 【解】點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影為,則,所以【變式訓(xùn)練2】已知是拋物線準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為拋物線焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),且,則最小值為 【解】知,原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn),則(三)拋物線性質(zhì)1.(11年全國(guó))已知拋物線:的焦點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn)則的值為( D )A. B. C. D. 【解】,準(zhǔn)線方程為,由則,由拋物線的定義得由余弦定理得,故選D2.(10重慶)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_【解】設(shè)BF=m,由拋物線的定義知中,AC=2m,AB=4m, 直線AB方程為 與拋物線方程聯(lián)立消y得所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為【變式訓(xùn)練】定長(zhǎng)為3的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng),求的中點(diǎn)到軸的距離的最小值,并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)分析:線段中點(diǎn)到軸距離的最小值,就是其橫坐標(biāo)的最小值這是中點(diǎn)坐標(biāo)問題,因此只要研究、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可【解】如圖,設(shè)是的焦點(diǎn),、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是、,又到準(zhǔn)線的垂線為,、和是垂足,則設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,則等式成立的條件是過點(diǎn)當(dāng)時(shí),故,所以,此時(shí)到軸的距離的最小值為說明:本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā),把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中,解法較簡(jiǎn)3.(09年福建)過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段的長(zhǎng)為8,則 【解】由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為,聯(lián)立有,又;【另解】4.(10年山東)已知拋物線,過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線與兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 【解】設(shè)、則有,兩式相減得:,所以有,又線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,即,所以,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.(點(diǎn)差法的應(yīng)用)【變式訓(xùn)練】(09寧夏海南)設(shè)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為,直線與拋物線相交于兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)為(2,2),則直線的方程為_.【解】拋物線的方程為,、,則,兩式相減得,所以直線的方程為。5.(09年天津)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于,=2,則與ACF的面積之比( )A B C D 【解】由題知,又,由三點(diǎn)共線有,所以 , 6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),且在準(zhǔn)線上的射影為,則在的重心、外心、內(nèi)心和垂心中,有可能仍在拋物線上的有(A)個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)【解】由拋物線的定義知:,則為等腰三角形,它所有心都在底邊上的高線上,則是中垂線都會(huì)與矛盾,唯有等腰直角時(shí),垂心是頂點(diǎn)。P7.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),分別過作軸的平行線依次交拋物線的準(zhǔn)線于兩點(diǎn),是的中點(diǎn),連結(jié),有下列命題:點(diǎn)是的外心;的外心可能在此拋物線上;軸相交于一點(diǎn);過兩點(diǎn)的拋物線的兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上;線段的長(zhǎng)度滿足:.的垂心可能在此拋物線上;則上述命題正確的序號(hào)是: 【解】.對(duì); 若的外心在此拋物線上則;因?yàn)橐訟B為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,則圓心H在AB 的中點(diǎn)上,不可能在拋物線上;錯(cuò); ,,;知的中點(diǎn)P在軸上;,則軸相交于一點(diǎn);過兩點(diǎn)的拋物線的兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上;(拋物線性質(zhì))設(shè),則切線方程分別為,聯(lián)立解得: ,即兩切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上;線段的長(zhǎng)度滿足:.由得,又,得, ,所以,,,,以AB為直徑構(gòu)造一個(gè)圓,有得:(相交弦定理)(四)拋物線綜合1.已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足設(shè)圓的方程為(1)證明:線段是圓的直徑;(2)當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí),求P的值。(1)證法一:,即,整理得設(shè)點(diǎn)是以線段為直徑得圓上得任意一點(diǎn),則即展開上式并將帶入得故線段是圓的直徑證法二:同法一得: 以 AB 為直徑的圓的方程是,展開,并將代入得所以線段 AB 是圓 C 的直徑 (2)解法一:設(shè)圓的圓心為則 ,又0 , ,, ,所以圓心的軌跡方程為:= 設(shè)圓心到直線 的距離為,則當(dāng)時(shí),有最小值,由題設(shè)得, 解法二:同法一得:圓心的軌跡方程為: 設(shè)直線與的距離為,則當(dāng)與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到的距離最小,最小值為,由 消x得,由 得()解法三:設(shè)圓的圓心為,則若圓心到直線的距離為,那 ,又,當(dāng)時(shí),有最小值,由題設(shè)得,2.(07年福建)如圖,已知點(diǎn),直線,為平面上的動(dòng)點(diǎn)過作直線的垂線,垂足為點(diǎn),且 ()求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程; ()過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),已知,求的值【解】解法一:()設(shè)點(diǎn),則,由得:PBQMFOAxy,化簡(jiǎn)得()設(shè)直線的方程為:設(shè),又,聯(lián)立方程組,消去得:
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