物理奧賽例題及答案—對稱法.doc

練習題五:對稱法A1、一半徑為R入黨半圓均勻薄片質(zhì)心的位置？求一厚度和密度都均勻的扇形薄片，其半徑為R，頂角為2A，求質(zhì)心？ A2、如圖76所示，長為l的兩塊相同的均勻長方形磚塊A和B疊放在一起，A磚相對于B磚伸出，B磚放在水平桌面上，磚的端面與桌面平行。 為保持兩磚不翻倒，B磚伸出桌面的最大長度是多少？解析：此題可用力矩平衡求解，但用對稱法求解，會直觀簡潔。把A磚右端伸出B端的截去，補在B磚的右端，則變成圖76甲所示的對稱形狀。 伸出最多時對稱軸應恰好通過桌邊。所以：lx = x +解得B磚右端伸出桌面的最大長度為：x =1A3、如圖711所示，三根等長的細絕緣棒連接成等邊三角形，A點為三角形的內(nèi)心，B點與三角形共面且與A相對ac棒對稱，三棒帶有均勻分布的電荷，此時測得A 、B兩點的電勢各為UA 、UB ，現(xiàn)將ac棒取走，而ab 、bc棒的電荷分布不變，求這時A 、B兩點的電勢、。解析：ab 、bc 、ac三根棒中的電荷對稱分布，各自對A點電勢的貢獻相同，ac棒對B點電勢的貢獻和對A點電勢的貢獻相同，而ab、bc棒對B點電勢的貢獻也相同。設ab 、bc 、ac棒各自在A點的電勢為U1 ，ab 、bc棒在B點的電勢為U2 。由對稱性知，ac棒在B點的電勢為U1 。由電勢疊加原理得：3U1 = UA U1+ 2U2 = UB 由、兩式得：U1 =，U2 =將ac棒取走后，A 、B兩點的電勢分別為：= UAU1 =UA= UBU2 =+A4、電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R ，CD為通過半球頂點C與球心O的軸線，如圖所示，P 、Q為CD軸線上在O點兩側(cè)，離O點距離相等的兩點，已知P點的電勢為UP ，試求Q點的電勢UQ 。解析：可以設想一個均勻帶電、帶電量也是q的右半球，與題中所給的左半球組成一個完整的均勻帶電球面，根據(jù)對稱性來解。由對稱性可知，右半球在P點的電勢等于左半球在Q點的電勢UQ 。即：= UQ所以有：UP + UQ = UP + PDCQOBA而UP +正是兩個半球在P點的電勢，因為球面均勻帶電，所以UP += K由此解得Q點的電勢：UQ =UP 。A5、一無限長均勻帶電細線彎成如圖78所示的平面圖形，其中AB是半徑為R的半圓弧，AA平行于BB，試求圓心O處的電場強度。解析：如圖78甲所示，左上1/4圓弧內(nèi)的線元L1與右下直線上的線元L3具有角元對稱關系。L1電荷與L3電荷在O點的場強E1與E3方向相反，若它們的大小也相等，則左上與右下線元電場強度成對抵消，可得圓心處場強為零。設電荷線密度為常量 ，因很小，L1電荷與L3電荷可看做點電荷，其帶電量：q1 = R ，q2 = L3當很小時，有：q2 =又因為E1 = K，E2 = K= K= K，與E1的大小相同，且E1與E2方向相反。所以圓心O處的電場強度為零。A6、如圖715所示，兩塊豎直放置的平行金屬板A 、B之間距離為d ，兩板間電壓為U ，在兩板間放一半徑為R的金屬球殼，球心到兩板的距離相等，C點為球殼上的一點，位置在垂直于兩板的球直徑的靠A板的一端，試求A板與點C間的電壓大小為多少？解析：將金屬球殼放在電場中達到靜電平衡后，球殼為等勢體，兩極板之間的電場由原來的勻強電場變?yōu)槿鐖D715甲所示的電場，這時C與A板間電勢差就不能用公式UAC = EdAC來計算。我們利用電場的對稱性求解。由于電場線和金屬球關于球心O對稱，所以A板與金屬板的電勢差UAO和金屬球與B板的電勢差UOB相等，即：UAO = UOB又A 、B兩板電勢差保持不變?yōu)閁 ，即：UAO + UOB = U由以上兩式解得：UAO = UOB =所以得A 、C兩點間電勢差：UAC = UAO =AB1、沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個彈性小球A ，拋出點離水平地面的高度為h ，距離墻壁的水平距離為s ，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點距墻壁的水平距離為2s ，如圖71所示。求小球拋出時的初速度。解析：因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞， 故與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對稱性， 碰撞后小球的運動軌跡與無墻壁阻擋時小球繼續(xù)前進的軌跡相對稱，如圖71甲所示，所以小球的運動可以轉(zhuǎn)換為平拋運動處理， 效果上相當于小球從A點水平拋出所做的運動。根據(jù)平拋運動的規(guī)律：因為拋出點到落地點的距離為3s ，拋出點的高度為h ，代入后可解得：v0 = x= 3sv0m123B2、如圖所示，完全相同的三塊木塊并排固定在水平面上，一顆子彈以速度v水平射入，若子彈在木塊中做勻減速運動，且穿過第三塊木塊后速度恰好為零，則子彈依次射入每塊木塊時的速度之比和穿過每塊木塊的時間之比。解：子彈勻減速穿過三木塊，末速度為零，我們假設子彈從右向左作初速度為零的勻加速直線運動 則：子彈依次穿過321三木塊所用時間之比：t3：t2：t1=1：（ 2 1）：（ 3 2 ） 得：子彈依次穿過123三木塊所用時間之比：t1：t2：t3=（ 3 2 ）：（ 2 1）：1 設子彈穿過第三木塊所用時間為1秒，則穿過3，2兩木塊時間為：t3+t2= 2 秒，穿過3，2，1三木塊時間為：t3+t2+t1= 3 秒 則：子彈依次穿過3，2，1三木塊時速度之比為：1： 2 ： 3 所以，子彈依次穿過1，2，3三木塊時速度之比為： 3 ： 2 ：1 故答案為： 3 ： 2 ：1；( 3 2 )：( 2 1)：1B3、（1）豎直上拋運動與自由落體運動的等價性； （2）彈簧振子伸長與壓縮運動過程的等價性； （3）光線傳播過程的可逆性。B4、如圖713所示，在水平方向的勻強電場中，用長為l的絕緣細線，拴住質(zhì)量為m 、帶電量為q的小球，線的上端O固定，開始時將線和球拉成水平，松開后，小球由靜止開始向下擺動，當擺過60角時，速度又變?yōu)榱?。求：?）A、B兩點的電勢差UAB多大？（2）電場強度多大？解析：（1）小球在A 、B間擺動，根據(jù)能量守恒定律有：PA = PB取A點為零勢能的參考點，即PB = 0則：EPB =mglsin60+ qUBA = 0所以：UBA =，UAB =（2）小球在平衡位置的受力如圖713甲。根據(jù)共點力的平衡條件：有：qE = mgtan60解得電場強度：E =B5、A 、B 、C三只獵犬站立的位置構成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？解析：以地面為參考系，三只獵犬運動軌跡都是一條復雜的曲線，但根據(jù)對稱性，三只獵犬最后相交于三角形的中心點，在追捕過程中，三只獵犬的位置構成三角形的形狀不變，以繞點旋轉(zhuǎn)的參考系來描述，可認為三角形不轉(zhuǎn)動，而是三個頂點向中心靠近，所以只要求出頂點到中心運動的時間即可。由題意作圖73 ，設頂點到中心的距離為s ，則由已知條件得：s =a由運動合成與分解的知識可知，在旋轉(zhuǎn)的參考系中頂點向中心運動的速度為：v= vcos30=v由此可知三角形收縮到中心的時間為：t =（此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。）C1、（1）如圖725所示的四面體框架由電阻同為R的6根電阻絲聯(lián)結而成，求任意兩個頂點A、B間的等效電阻RAB （2）6個相同的電阻R構成一個如圖所示的電阻網(wǎng)絡，求AB間和AD間的等效電阻。ADCBOABCD C2、電路如圖10所示，已知各電阻阻值均為R，求RAC、RAB、RAO各為多少歐？C3、（1）電路如圖721所示，每兩個節(jié)點間電阻的阻值為R，求A、B間總電阻RAB.答案： RAB=2R（2）在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡中，每一小段電阻均為R，試求A、B之間的等效電阻RAB。圖8 圖9圖10 圖11分析:由于網(wǎng)絡具有相對于過A、B對角線的對稱性，可以折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡。而后根據(jù)等電勢點之間可以拆開也可以合并的思想簡化電路即可。解法(a)：簡化為如圖9所示的網(wǎng)絡以后，將3、O兩個等勢點短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖10所示的簡單網(wǎng)絡。最后不難算得RAO=ROB=5R/14RAB= RAO+ROB=5R/7解法(b)：簡化為如圖所示的網(wǎng)絡以后，將圖中的O點上下斷開，如圖11所示，最后不難算得RAB=5R/7C4、有7個電阻同為R的網(wǎng)絡如圖17所示，試求A、B間的等效電阻RAB。圖17 圖18解：將Y網(wǎng)絡O-ABC變換成網(wǎng)絡如圖18所示其中 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RRBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra=5R/2RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb=5R這樣就是一個簡單電路了，很容易算得RAB=7R/5C5、如圖6所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是R。求A、G之間的電阻是多少？分析: 假設在A 、G兩點之間加上電壓時，顯然由于對稱性D、B、E 的電勢是相等的，C、F、H的電勢也是相等的，把這些點各自連起來，原電路就變成了如圖7所示的簡單電路。解:由簡化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得RAG=5R/6（同學們想一想，若求A、F或A、E之間的電阻又應當如何簡化？）AC6、限平面導體網(wǎng)絡，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖28所示。所有正六邊型每邊的電阻均為R0，求間位結點a、b間的電阻。分析：假設有電流I自a電流入，向四面八方流到無窮遠處，那么必有I/3 電流由a流向c，有 I/6電流由c流向b.再假設有電流I由四面八方匯集b點流出，那么必有I/6電流由f流向 c, 有I/3電流由c流向b.解：將以上兩種情況結合，由電流疊加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2(由a流向c)Icb=I/3+I/6=I/2(由c流向b)因此ab之間的等效電阻為Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0 C7、（1）圖27所示是一個無窮方格電阻絲網(wǎng)絡的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個結點A、B之間的等效電阻。分析：假設電流I從A點流入，向四面八方流到無窮遠處，根據(jù)對稱性，有I/4電流由A點流到B點。假設電流I經(jīng)過無限長時間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到 B點后流出，根據(jù)對稱性，同樣有I/4電流經(jīng)A點流到B點。圖27解:從以上分析看出，AB段的電流便由兩個I/4疊加而成，為I/2因此 UAB=(I/2)*rA、B之間的等效電阻RAB=UAB/I=r/2（2）如圖718所示是一個由電阻絲構成的平面正方形無窮網(wǎng)絡，當各小段電阻絲的電阻均為R時，A、B兩點之間的等效電阻為R/2，今將A，B之間的一小段電阻絲換成電阻為R的另一端電阻絲，試問調(diào)換后A，B之間的等效電阻是多少？練習題一：整體法的補充：一根質(zhì)量為M