利用基于Richard加速的Romberg算法進行簡單的積分計算.doc

計算機科學(xué)學(xué)院課程設(shè)計報告 課程 數(shù)值分析 題目Richard加速Romberg算法的理論推導(dǎo)與程序計算年級 2006級 專業(yè) 信息與計算科學(xué)學(xué)號 06062076 學(xué)生 王軍 指導(dǎo)教師 寧娣 2008年12月12日計算機科學(xué)學(xué)院本科課程設(shè)計任 務(wù) 書設(shè)計題目：Richard加速Romberg算法的理論推導(dǎo)與程序計算指導(dǎo)教師： 寧娣 專業(yè)： 信息與計算科學(xué) 學(xué)生姓名： 王軍 下達時間： 2008年12月11日 一、設(shè)計的主要內(nèi)容及要求1、設(shè)計Richard加速的Romberg算法，并寫出詳細推導(dǎo)過程；2、寫出可由計算機進行計算的算法步驟；3、編寫Richard加速的Romberg算法程序，要求程序能計算各種定積分值；4、利用計算機進行實例計算。二、課程設(shè)計進程安排第15周：下達任務(wù)，查閱相關(guān)資料，完成預(yù)習(xí)報告；第16周：實驗室調(diào)試并驗收；第19周：整理并最終完成課程設(shè)計報告。利用基于Richard加速的Romberg算法進行簡單的積分計算摘要：本課程設(shè)計論文主要分為六大部分。一、符號說明，對論文中出現(xiàn)過的一些符號進行說明；二、相關(guān)準備，主要介紹了復(fù)化梯形公式的推導(dǎo)過程和Richard加速過程的理論依據(jù)，為Richard外推加速算法的推導(dǎo)提供一些必要準備；三、理論推導(dǎo)，寫出了Richard加速的Romberg算法的詳細推導(dǎo)過程和計算方法；四、Richard加速的Romberg算法在計算機中實現(xiàn)，主要介紹了如何利用Richard加速的Romberg算法編寫MATLAB程序，使其程序能進行較為精確的積分計算（詳細程序見附錄）；五、利用計算機進行積分計算實例，這里進行了兩個不同被積函數(shù)在不同積分區(qū)間上的積分計算，并寫出了計算結(jié)果；六、課程總結(jié)及心得體會。 本次課程設(shè)計中，Richard加速的Romberg的推導(dǎo)過程層次清楚且較為詳細，使讀者看上去通俗、易懂。積分計算程序全部由本人自己編寫，語句簡單、結(jié)構(gòu)合理且算法復(fù)雜度較低?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)值積分,復(fù)化梯形，外推加速算法,節(jié)點，余項，MATLAB一、符號說明：被積函數(shù)；：步長；：被積區(qū)間等份時用復(fù)化梯形公式所求得的積分值；：精確積分值；：余項；：積分下限；：積分上限。二、相關(guān)準備1、復(fù)化梯形公式：把積分區(qū)間等分，步長在每個子區(qū)間上使用梯形公式:（2-1） (2-2)余項(2-3)如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至個，將二分前后的兩個積分值聯(lián)系起來加以考察，注意到每個子區(qū)間里二分只增加了一個分點，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為：(2-4)2、Richard加速過程的理論依據(jù)：使得加速過程繼續(xù)下去的理論依據(jù)是梯形法的余項可以展開成級數(shù)形式，即當(dāng)時，有如下等式成立：.即：(2-5)其中與無關(guān)。三、理論推導(dǎo)1、Richard外推加速方法：按式(2-5)，有：(3-1)現(xiàn)將式（2-5）與式(3-1)按以下方式進行組合，得：(3-2)則可以從余項展開式中消去誤差的主要部分項，從而得到： (3-3)又根據(jù)式(3-3)，有：(3-4)令 (3-5)則又進一步從余項展開中消去項，從而有： (3-6)(m)如此繼續(xù)下去，每加速一次，誤差的量級便提高二階，一般地，將按公式(3-7)經(jīng)過次加速后，余項便取如下形式： (3-8)2、Richard加速的Romberg算法的遞推公式：設(shè)表示二分k次后求得的梯形值，且以表示序列的m次加速值，根據(jù)上述理論得遞推公式為：(3-9)可以證明，如果充分光滑，那么數(shù)據(jù)均會收斂到所求積分值，即。3、Richard加速的Romberg方法的計算步驟：準備初值，計算且令（記錄二分的次數(shù)）；求梯形值，按遞推公式（2-4）計算梯形值；求加速值，按遞推公式（3-9）逐個求出數(shù)表第行其余個元素。步驟控制，對于指定精度，若，則終止計算，并取作為所求結(jié)果；否則令（任意二分一次），轉(zhuǎn)步繼續(xù)計算。四、Richard加速的Romberg算法在計算機中實現(xiàn)為了讓計算機利用Richard加速的Romberg算法計算積分值，可以編寫C程序、C+程序，也可以利用MATLAB軟件寫m程序來進行計算，三者中，利用MATLAB軟件編寫程序相對其他兩種較為容易。在本課程設(shè)計中，使用的是MATLAB軟件來計算積分值。其具體實現(xiàn)過程如下：1、編寫一個求復(fù)化梯形值的函數(shù)文件其功能是：給定積分上限、積分下限、求積區(qū)間被劃分的等份數(shù)（分別為），能利用復(fù)化梯形公式和初值計算出函數(shù)內(nèi)部定義的某一特定函數(shù)的積分值，即計算出某一函數(shù)的上、下限分別為時的值。（可以更改此函數(shù)內(nèi)部定定義的函數(shù)來計算不同函數(shù)的值）。其MATLAB程序源代碼見附錄一。2、編寫Richard加速的Romberg算法程序此程序中要求認為輸入所求積分的上、下限。并在程序中定義一個控制誤差范圍的誤差限變量，并進行初始化，可以根據(jù)要求更改誤差限變量值，計算出任意誤差范圍內(nèi)的積分值。在本程序中，首先定義k值為1，并分別計算出，并將結(jié)果存入到一個矩陣T中（）。然后檢查積分誤差，若誤差大于誤差限，則k=k+1，并將矩陣T增加一行和一列，使之變k+1行、k+1列，新增加的元素全部初始化為0。然后分別計算，并分別存入到中，再次檢查積分誤差，循環(huán)進行，直到所求積分誤差小于誤差限。最后輸出加速過程的T數(shù)表和所求積分值（即:）。其MATLAB程序文件的源代碼見附錄二。五、利用計算機進行積分計算實例在這里，分別進行了兩個積分的計算。1、利用Richard加速的Romberg算法求的值，要求誤差。（分別取，進行兩組數(shù)值的計算。）我們利用附錄一和附錄二的程序分別進行了兩組不同值時的函數(shù)積分值，其具體運行過程如下：、時的計算：程序運行時需要分別輸入值，運行結(jié)束后的結(jié)果顯示如下：請輸入積分下限a:0請輸入積分上限b:10.9207355 0.9397933 0.9461459 0.9445135 0.9460869 0.9460830 0.9456909 0.9460833 0.9460831 0.9460831 滿足精度要求的結(jié)果為： 0.9460831。注釋：T為下三角形的三角數(shù)據(jù)表T數(shù)表。時的計算結(jié)果如下：請輸入積分下限a:1請輸入積分上限b:30.8885110 0.8989042 0.9023686 0.9016449 0.9025584 0.9025711 0.9023378 0.9025688 0.9025695 0.9025695 0.9025115 0.9025694 0.9025695 0.9025695 0.9025695 滿足精度要求的結(jié)果為： 0.9025695。2、利用Richard加速的Romberg算法求的值，要求誤差。（分別取，進行兩組數(shù)值的計算。）為了計算此積分，我們需要對附錄一中定義的fx文件內(nèi)容做如下更該：function f=f(x)f=x/exp(x);end、時的計算結(jié)果顯示如下：請輸入積分下限a:0請輸入積分上限b:10.1839397 0.2436025 0.2634901 0.2590450 0.2641925 0.2642394 0.2629398 0.2642381 0.2642411 0.2642411 0.2639156 0.2642409 0.2642411 0.2642411 0.2642411 滿足精度要求的結(jié)果為： 0.2642411。時的計算結(jié)果如下：請輸入積分下限a:1請輸入積分上限b:30.5172406 0.5292909 0.5333076 0.5345993 0.5363688 0.5365729 0.5360960 0.5365949 0.5366099 0.5366105 0.5364812 0.5366096 0.5366106 0.5366106 0.5366106 滿足精度要求的結(jié)果為： 0.5366106。六、課程總結(jié)及心得體會課程總結(jié)： 本次課程設(shè)計是為了讓我們更細致的掌握Richard加速的Romberg算法，并根據(jù)算法寫出程序，使得我們能使用計算機來進行比較精確的積分計算。在本課程設(shè)計中，首先引入了一系列與Romberg算法相關(guān)的知識，為推導(dǎo)Romberg算法提供了理論依據(jù)，使得后續(xù)工作逐步順利進行。然后得到了詳細的Richard加速的Romberg算法步驟，為利用MATLAB軟件編程計算定積分排除路障。最后，利用編寫好的MATLAB程序進行了幾個實例計算。心得體會：本次課程設(shè)計是數(shù)值分析理論知識與計算機編程實踐的一次有機結(jié)合，讓我們所學(xué)的理論知識應(yīng)用到實際問題中，即鞏固了理論知識，又鍛煉了動手能力，這是以后的學(xué)習(xí)和工作中不可缺少的步驟。當(dāng)然，僅靠一次課程設(shè)計是遠遠不夠的，這就要求我們以這次為起點，在以后的學(xué)習(xí)中多鍛煉我們的動手能力，真正做到理論與實踐相結(jié)合。參考文獻：1李慶揚，王能超，易大義 數(shù)值分析 華中科技大學(xué)出版社 20062劉衛(wèi)國 MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用 高等教育出版社 2006附錄附錄一（文件）：function T=Tn(a,b,n)function f=fx(x) if x=0 f=1; else f=sin(x)/x; endendh=(b-a)/n;k=fx(a)+fx(b);for X=a+h:h:b-h; k=k+2*fx(X);endT=h/2*k;end附錄二（文件）：a=input(請輸入積分下限a:);b=input(請輸入積分上限b:);format longm=1.0e-6;k=1;T=zeros(k+1,k+1);for j=1:k+1 for i=k+1:-1:j if j=1 T(i,j)=Tn(a,b,2(i-1); else T(i,j)=4(j-1)/(4(j-1)-1)*T(i,j-1)-1/(4(j-1)-1)*T(i-1,j-1); end endendwhile(abs(T(k+1,k+1)-T(k,k)=m) k=k+1; T(k+1,:)=zeros(1,k); T(:,k+1)=ze