數(shù)學(xué)實驗大作業(yè)---數(shù)學(xué)曲面.doc

數(shù)學(xué)曲面一、綜述（一）背景人物高斯高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。高斯被認為是最重要的數(shù)學(xué)家，并擁有數(shù)學(xué)王子的美譽。1792年，15歲的高斯進入Braunschweig學(xué)院。在那里，高斯開始對高等數(shù)學(xué)作研究。獨立發(fā)現(xiàn)了二項式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、質(zhì)數(shù)分布定理（prime numer theorem)、及算術(shù)幾何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯進入哥廷根大學(xué)。1796年，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果，就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。1855年2月23日清晨，高斯于睡夢中去世。高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學(xué)會計算。能夠在頭腦中進行復(fù)雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。 高斯幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才。11歲時發(fā)現(xiàn)了二項式定理，17歲時發(fā)明了二次互反律，18歲時發(fā)明了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責(zé)刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。他發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理、算術(shù)平均、幾何平均。21歲大學(xué)畢業(yè)，22歲時獲博士學(xué)位。1804年被選為英國皇家學(xué)會會員。從1807年到1855年逝世，一直擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺長。在成長過程中。幼年的高斯主要是力于母親和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30歲那年死于肺結(jié)核，留下了兩個孩子：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產(chǎn)的思想，不無傷感地說，舅舅去世使“我們失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼識英才，經(jīng)常勸導(dǎo)姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā)展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。 高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。十分注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進行研究。 高斯開辟了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊幾何學(xué)，都留下了他的足跡。從研究風(fēng)格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是1819世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。 高斯在曲面研究領(lǐng)域也有成就，很多術(shù)語都以他的名字命名，如“高斯博內(nèi)公式”“高斯-邦尼公式”，曲面的總曲率又稱為或“高斯曲率”。他還研究出著名的“高斯“極妙定理”：曲面的主曲率在無伸縮彎曲變形下要發(fā)生變化，因而不是內(nèi)蘊的。但是，主曲率的乘積即總曲率K卻在這樣的彎曲變形下保持不變，也即曲面的總曲率是內(nèi)蘊的。1828年他出版了關(guān)于曲面的一般研究，全面系統(tǒng)地闡述了空間曲面的微分幾何學(xué)，并提出內(nèi)蘊曲面理論。 （二）曲面曲面是一條動線，在給定的條件下，在空間連續(xù)運動的軌跡。產(chǎn)生曲線的動線（直線或曲線）稱為母線；曲面上任一位置的母線（如BB1、CC1)稱為素線，控制母線運動的線、面分別稱為導(dǎo)線、導(dǎo)面，在下圖中，直線L、曲面A1B1C1N1分別稱為直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線。根據(jù)形成曲面的母線形狀，曲面可分為：直線面由直母線運動而形成的曲面。曲線面由曲母線運動而形成的曲面。根據(jù)形成曲面的母線運動方式，曲面可分為：回轉(zhuǎn)面由直母線或曲母線繞一固定軸線回轉(zhuǎn)而形成的曲面。非回轉(zhuǎn)面由直母線或曲母線依據(jù)固定的導(dǎo)線、導(dǎo)面移動而形成的曲面。曲面是微分幾何研究的主要對象之一。直觀上，曲面是空間具有二個自由度的點的軌跡。設(shè)r=(x,y,z）表示三維歐氏空間E3中點的位置向量，D是二維u-平面的一個區(qū)域，映射：r(u，）=(x(u，），y(u，），z(u，）（u，）D) 的像為S。它滿足下列條件：r(u，）是Ck階的，即函數(shù)x(u，），y(u，），z(u，）具有直到k階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當它們是無窮次可微分函數(shù)或是（實）解析函數(shù)時，分別稱為是C階和C階的；r(u，）是一個同胚，即它的逆映射SD存在且連續(xù)；r(u，）是正則的，即雅可比矩陣的秩為2，S稱為E3的Ck曲面片，C曲面片也稱為光滑曲面片，C曲面片稱為解析曲面片。設(shè)慏為E3中的一個子集，如果對慏中任意點p，都有E3中p的一個開集V，使得V慏是E3中的一個Ck曲面片，則慏 稱為E3中的Ck曲面。式稱為曲面的參數(shù)方程。此外，曲面有時也可用z=?(x,y）或F(x,y,z)=0來表示。 曲面是數(shù)學(xué)中一個有多種含義的基本數(shù)學(xué)概念，可以將其用解析表達形式表示出來，按照最常用的數(shù)學(xué)定義，我們通常把曲面定義為三維歐幾里德空間中的一個“二維流形”。我們在一些數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)接觸和熟悉了平面，球面，雙曲面等一些常見的基本曲面，繪制曲面圖形相對簡單，而在實際應(yīng)用中我們常常碰到的的是一些復(fù)雜的，具有特殊幾何性態(tài)的特殊曲面，繪圖比較困難。MATLAB具有強大的三維圖像顯示和繪制功能，利用這一功能，我們可以通過函數(shù)繪制出各種精確而美觀的曲面圖像并研究曲面的特性。二、書后練習(xí)題11.1 MATLAB語言的預(yù)備知識練習(xí)1、編寫一個程序繪制拋物雙曲面z=x2 -y2在區(qū)域內(nèi)的曲面圖形。th=linspace(0,2*pi,100);r=linspace(0,5,30);th,r=meshgrid(th,r);x,y=pol2cart(th,r);z=x.2-y.2;h=surf(x,y,z);axis equal;axis off;練習(xí)2、在曲面的上方和下方各設(shè)置一個光源，前者是紅色的平行光源，后者是藍色的點光源。L1=light;L2=light;set(L1,position,0,0,10,color,1 0 0);set(L2,position,0,0,-10,color,0 0 1);set(L2,style,local);練習(xí)3、執(zhí)行shading interp命令，觀察曲面的變化。shading interp;練習(xí)4、采用不同的liahting命令，觀察曲面圖形的視覺變化，特別注意觀察光源引起的高光效果。(1)lighting gouraud;(2)lighting phong;(3)lighting flat;(4)lighting none;練習(xí)5、執(zhí)行rotate3d命令，從各個視角觀察曲面的整體形狀。rotate3d;(1)AZ=-64,EL=2(2)AZ=-90,EL=-90 (3)AZ=-90,EL=90 (4)AZ=-90,EL=0(5)AZ=1,EL=0 (6)AZ=90,EL=0 11.2 幾種有趣的數(shù)學(xué)曲面1.惠特尼傘形曲面思考題 （1）在兩個不同的子圖上（subplot命令）繪制u=常數(shù)及v=常數(shù)的一系列曲線，思考數(shù)學(xué)表達式和曲面的關(guān)系，得出你自己的結(jié)論。（2） 調(diào)整函數(shù)的參數(shù)變化范圍（a,b的取值），觀察所引起的曲面形狀的變化，并分析產(chǎn)生變化的原因。（3） 由于曲面的底部沒有設(shè)置光源，因此到視角的俯仰角為負時曲面是黑色的，無法看清形狀，試修改程序，在底部的適當位置添加一個光源。3. Klein瓶練習(xí) （1）修改上述命令中的a,b兩個參數(shù)進行實驗，觀察這兩個參數(shù)的變化對曲面形狀的影響。（為保證曲面的特征不發(fā)生變化，參數(shù)a的大小最好不要超過1，在對該參數(shù)的作用有一定的了解后在將它調(diào)成較大的數(shù)。）（2） 分別對后續(xù)的五個參數(shù)在上述例子命令的范圍內(nèi)進行調(diào)整，體會參數(shù)曲面表達式中的取值范圍的不同對曲面形狀產(chǎn)生的作用。（3） 根據(jù)所給出的參數(shù)曲面表達式分析兩個曲面是如何密合地在底部銜接在一起的，其中的原因何在？（4） 取定u,v中的某個參數(shù)為常數(shù)，讓另一個參數(shù)在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)變化，在兩個子圖內(nèi)分別繪制相應(yīng)的曲線族（plot3命令），觀察它們的圖形，體會u,v參數(shù)的作用。（5） 修改曲面表達式中的常數(shù)項1/2，觀察它的選取對曲面形狀是影響，寫出你的結(jié)論。4. 旋轉(zhuǎn)曲面練習(xí) 分別編寫程序繪制下列的幾個旋轉(zhuǎn)曲面，根據(jù)觀察和理論分析確定它們分別是何種曲面。（1）function lianxifo(a,b,t1,t2,s1,s2)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s1,s2,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*sqrt(abs(v)*cos(u);y=a*sqrt(abs(v)*sin(u);z=b*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;運行函數(shù)：（1）lianxifo(2,1,0,pi,0,5);（2）lianxifo(2,121,0,2*pi,0,12);（2）function lianxift(a,b,c,t1,t2,s1,s2)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s1,s2,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*sqrt(abs(v)*cos(u);y=b*sqrt(abs(v)*sin(u);z=c*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;運行函數(shù):（1）lianxift(2,1,2,0,pi,0,5);（2）lianxift(2,11,2,0,2*pi,0,5);（3）lianxift(2,11,42,0,2*pi,0,115);（3）function lianxiftr(a,b,c,t1,t2,s,h)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s,h,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*(h-v)*sqrt(abs(v)*cos(u);y=b*(h-v)*sqrt(abs(v)*sin(u);z=c*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;運行函數(shù):（1）lianxift(2,1,2,0,pi,0,5);（2）lianxiftr(2,11,2,0,2*pi,0,5);（3）lianxiftr(2,11,42,0,2*pi,0,115);5. 渦輪型曲面練習(xí) 編寫程序繪制如下的柱坐標形式的曲面圖形。（1） ,0rR, 02, nN.function lianxifio(r1,r2,t1,t2,n)t=linspace(t1,t2,60);r=linspace(r1,r2,60);t,r=meshgrid(t,r);x,y=pol2cart(t,r);z=sin(exp(r)-n*t);surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(1 .5 0);light;axis equal;axis off;view(0,90);rotate3d on;運行函數(shù):lianxifio(0,5,0,2*pi,2);(2) ,0rR, 02, nN.function lianxifit(r1,r2,t1,t2,n)t=linspace(t1,t2,60);r=linspace(r1,r2,60);t,r=meshgrid(t,r);x,y=pol2cart(t,r);z=cos(sqrt(r2+t2)-n*t);surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(1 .5 0);light;axis equal;axis off;view(0,90);rotate3d on;運行函數(shù):lianxifit(0,5,0,2*pi,2);三、程序功能與使用方法本程序用于展示各種三維的數(shù)學(xué)曲面，包括傘形曲面，環(huán)形曲面，Klein瓶曲面，旋轉(zhuǎn)曲面，偽球面，渦輪形曲面等。當點擊右邊相應(yīng)按鈕后，可快速直接觀察到對應(yīng)的圖形，并且初始默認為加坐標軸，加網(wǎng)格。如果想去掉網(wǎng)格或是坐標軸，可以點擊右下方的對應(yīng)按鈕。如果想增加光照，可以點擊“添加光源”按鈕?；貜?fù)初始狀態(tài)，只需再點擊對應(yīng)曲面按鈕。左下角是參數(shù)調(diào)整區(qū)，每個方框內(nèi)的值對應(yīng)左側(cè)變量的值，每個變量分別屬于相應(yīng)曲面的參數(shù)。并且當特定的幾個參數(shù)被賦值是時，而其余參數(shù)為空時，對應(yīng)特定的一種曲面的參數(shù)調(diào)整。具體對應(yīng)關(guān)系如下： 參數(shù)數(shù)學(xué)曲面abt 1t 2t 3s 1s 2n傘形曲面非空非空環(huán)形曲面非空非空非空非空Klein瓶非空非空非空非空非空非空非空旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)吻蛎娣强辗强辗强辗强辗强辗强諟u輪形曲面非空非空非空非空非空其中旋轉(zhuǎn)曲面和偽球面參數(shù)輸入相同，故通過subplot將兩個圖左右均畫出。當用鼠標指向?qū)?yīng)的圖時，可對改圖進行三維旋轉(zhuǎn)。通過不斷改變參數(shù)，可觀察圖形的變化情況。并且，當執(zhí)行過對旋轉(zhuǎn)曲面或偽球面的參數(shù)調(diào)整后，可將畫面分為兩部分，鼠標點擊過哪個圖，接下來就只對該圖操作，這樣可對后續(xù)所有圖進行對比分析，包括同一種曲面的不同參數(shù)值調(diào)整后的對比。使用完后，可通過退出按鈕退出。該應(yīng)用程序存在以下問題：1. 只能對特定的幾個典型曲面進行演示，不能讓用戶自己輸入其他方程；2. 用戶想輸入特定曲面的參數(shù)時，不能很好地選擇該填的參數(shù)對應(yīng)的空；3. 當畫過用戶自己設(shè)的參數(shù)的雙曲面和偽球面后，圖形的顯示區(qū)域變?yōu)檎麄€窗口，并且被分為左右兩個區(qū)域，使單個圖形的顯示范圍變小，而且在一個圖形顏色變化時，另一個圖形顏色也隨之改變。建議：可以再增加一方程輸入窗口，便可以畫用戶自己的圖形了。四、程序運行實例及思考1.惠特尼傘形曲面如下圖圖1思考題（1） 圖2如圖2，當v為常數(shù)時，隨著u 的變化，曲面將繞著v所確定的軸線向相反的兩個面扭曲； 圖3如圖3,所示，u為常數(shù)時，隨著v的變化，曲面以z軸為中軸，逐漸收縮。圖4（2） 如圖4，當a,b變化時，曲面形狀不發(fā)生變化，a,b范圍小時對應(yīng)的曲面相當于從a,b范圍大時的對應(yīng)曲面上截得的圖。2.環(huán)形曲面 圖6從圖6可以看出，t1,t2上限減小時，中間的孔越來越小。3.Klein瓶圖7圖8由圖8可得，在a和其他參數(shù)不變時，b越小，瓶越高越瘦。 圖9由圖9可得，b和其他參數(shù)不變時，a越大，瓶柄“越粗，a越小，瓶柄越細。4.旋轉(zhuǎn)曲面(1)“8”字型曲面 圖10參數(shù)的影響 圖11從圖11看出，只有a變化時，a越小，圖形越高，a越大，圖形越矮。圖12從圖12看出，只有b變化時，b越小，圖越粗，b越大，圖越細。（2）偽球面圖13觀察參數(shù)變化的影響 圖14從圖14看出，只有a變化時，a越大，曲面越矮；a越小，曲面越高。圖15從圖15看出，只有b變化時,b越大，曲面越高，下盤越?。籦越小，曲面越矮，下盤越大。5.渦輪型曲面圖16 圖17從圖17可看出，只有t1變化時，t1越小，曲面月圓，t1越大，曲面殘缺越多。圖18從圖18可得，只有t2變化時，t2越大，曲面越圓，t2越小。曲面殘缺越多。 圖19從圖19看出，只有r1變化時，且r1小于6時，r1越大，環(huán)形內(nèi)徑越大，r1越小，環(huán)形越接近圓。R1再大時，出現(xiàn)相反情況。圖20從圖20看出，只有r2變化時，r2越大，旋轉(zhuǎn)度越大，r2越小，旋轉(zhuǎn)度越小。6. 默比烏斯曲面n=1；n=0；橢圓作為初始曲線，n=1；星形線旋轉(zhuǎn)后得到的曲面；正弦曲線對應(yīng)的曲面；正弦曲線對應(yīng)的曲面，n=2；正弦曲