10.10空間幾何體的表面積與體積.doc

10.11空間幾何體的表面積與體積【知識網(wǎng)絡(luò)】 1、球的表面積和體積； 2、圓柱、圓錐、圓臺的體積及側(cè)面積；3、棱柱、棱錐、棱臺的表面積及體積；4、利用幾何體的展開圖求幾何體的表面積。【典型例題】例1：（1）直三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上如圖，AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積為 （ ）A B C D答案：B；解析：取P、Q分別為AA1、CC1的中點(diǎn)，設(shè)矩形AA1C1C的面積為S，點(diǎn)B到底面AA1C1C的距離為h，則 。（2）半徑為R的半球，一個正方體的四個頂點(diǎn)在半球的底面上，四個頂點(diǎn)在半球的球面上，則該正方體的表面積為 （ ）A、2R2 B、4R2 C、2R2 D、4R2答案：B。解析：。（3）平行六面體的棱長都是a，從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩都成60角，則該平行六面體的體積為A B C D 答案：C。解析：。（4）已知直平行六面體的各條棱長均為3，長為2的線段的一個端點(diǎn)在上運(yùn)動，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個面所圍成的幾何體的體積為為_ _。答案： 。解析：P點(diǎn)的軌跡是以D為球心、半徑為1的六分之一球，。 （5）已知球的內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球的體積為 。答案：。解析：，即，。例2：過半徑為R的球面上一點(diǎn)P引三條長度相等的弦PA、PB、PC，它們間兩兩夾角相等。（1）若APB=2，求弦長關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）求三棱錐PABC體積的最大值。答案：解：（1）由題知PABC為正三棱錐，作其高PO，則O為正ABC的中心,球心O在PO上，設(shè)PO=h,PA=a，設(shè)則，在中，令，令=0，當(dāng)，V有最大值，當(dāng)正三棱錐的高時，體積最大。例3：一個棱長為6cm的密封正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積。答案：在正方體的8個頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間為：，除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間共為。其他空間小球均能到達(dá)。故小球不能到達(dá)的空間體積為：。例4：如圖在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底邊AC=的等腰三角形，且，面與面ABC成，與交于點(diǎn)E。（1）求證：；（2）求異面直線AC與的距離；（3）求三棱錐的體積。答案：證：取AC中點(diǎn)D，連ED，/又是底角等于的等腰， 解：由知是異面直線AC與的距離，為連【課內(nèi)練習(xí)】1球與它的內(nèi)接正方體的表面積之比是 （ ）A B C D答案：C。解析：。2如圖，正四棱錐底面的四個頂點(diǎn)在球的同一個大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是 （ ）A、 B、 C、 D、 答案：D。解析：。3一個盛滿水的三棱錐容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的 （ ）A、 B、 C、 D、答案：D。解析：當(dāng)平面EFD處于水平位置時，容器盛水最多最多可盛原來水得14兩球的體積之比為8：27，那么這兩個球的表面積的比為 答案： 4:9 。解析：。5有一棱長為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為_.答案為：。解析：。6. 等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是_(填”大于、小于或等于”).答案：小于。解析：V球=V正，S球=，S正=，S球S正。 7已知圓臺的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長.答案：解:設(shè)圓臺的母線長為,則圓臺的上底面面積為 圓臺的上底面面積為 所以圓臺的底面面積為 又圓臺的側(cè)面積，于是，即為所求. 8如圖，甲、乙是邊長為4a的兩塊正方形鋼板，現(xiàn)要將甲裁剪焊接成一個正四棱柱，將乙裁剪焊接成一個正四棱錐，使它們的全面積都等于一個正方形的面積（不計(jì)焊接縫的面積）。（1）將你的裁剪方法用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡要說明；（2）試比較你所制作的正四棱柱與正四棱錐體積的大小，并證明你的結(jié)論。答案：（1）將正方形甲按圖中虛線剪開，以兩個正方形為底面，四個長方形為側(cè)面，焊接成一個底面邊長為2a，高為a的正四棱柱。將正方形乙按圖中虛線剪開，以兩個長方形焊接成邊長為2a的正方形為底面，三個等腰三角形為側(cè)面，兩個直角三角形合拼成為一側(cè)面，焊接成一個底面邊長為2a，斜高為3a的正四棱錐。（2）正四棱柱的底面邊長為2a，高為a，其體積。又正四棱錐的底面邊長為2a，高為，其體積。，即，故所制作的正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大。（說明：裁剪方式不惟一，計(jì)算的體積也不一定相等）9如圖，直三棱柱的底面為RtABC，ACB=90，AB=4，ABC=15，將兩側(cè)面C1CAA1與C1CBB1鋪平在一個平面內(nèi)，得矩形ABB1A1.此時AC1BC1，求棱柱的側(cè)面積. 答案：解：在RtABC中,AC=4sin15,BC=4cos1510如下圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1、B、M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N.（1）求證：EM平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V1、V2（V1V2），求V1V2的值.答案：（1）證明：設(shè)A1B1的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、FC1.E為A1B的中點(diǎn)，EFB1B.又C1MB1B，EFMC1.四邊形EMC1F為平行四邊形.EMFC1.EM平面A1B1C1D1，F(xiàn)C1平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C1D1.（2）解：作B1HA1N于H，連結(jié)BH.BB1平面A1B1C1D1，BHA1N.BHB1為二面角BA1NB1的平面角.EM平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N，EMA1N.又EMFC1，A1NFC1.又A1FNC1，四邊形A1FC1N是平行四邊形.NC1=A1F.設(shè)AA1=a，則A1B1=2a，D1N=a.在RtA1D1N中，A1N= a，sinA1ND1=.在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a= a.在RtBB1H中，tanBHB1=.（3）解：延長A1N與B1C1交于P，則P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM，PBM，即直線A1N、B1C1、BM交于一點(diǎn)P.又平面MNC1平面BA1B1，幾何體MNC1BA1B1為棱臺.S=2aa=a2，S=aa= a2，棱臺MNC1BA1B1的高為B1C1=2a，V1=2a（a2+a2）= a3，V2=2a2aaa3= a3.=.【作業(yè)本】A組1在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：A。解析：。2三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長分別為1、，則此三棱錐的外接球面積為 （ ）A、6B、12C、18D、24 答案：A。解析：。3一個水平放置的圓柱形貯油桶，桶內(nèi)有油部分占底面一頭的圓周長的，則油桶直立時，油的高度與桶的高之比是 （ ）A、 B、 C、 D、（ ）答案：B。解析：。4三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積 。答案：表面積，體積。解析：5球的半徑為8，經(jīng)過球面上一點(diǎn)作一個平面，使它與經(jīng)過這點(diǎn)的半徑成45角，則這個平面截球的截面面積為 。答案：。解析：所以截面面積。6已知正四面體ABCD的表面積為，其四個面的中心分別為、設(shè)四面體EFGH的表面積為，則等于 。答案： 。解析：四面體EFGH的任何一個面是對應(yīng)面的面積的。7經(jīng)過正三棱柱底面一邊AB作與底面成30角的平面，已知截面三角形ABD的面積為32cm2，求截面截得的三棱錐DABC的體積.答案：S底面=SABDcos30，設(shè)底面邊長為x，則有.取AB中點(diǎn)E，在RtDEC中，DEC=30，故8. 如圖，四邊形ABCD是矩形，PA平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在線段PD上存在點(diǎn)E使得BECE，求線段AD的取值范圍，并求當(dāng)線段PD上有且只有一個點(diǎn)E使得BECE時，二面角EBCA正切值的大小.PBCAD答案：若以BC為直徑的球面與線段PD有交點(diǎn)E，由于點(diǎn)E與BC確定的平面與球的截面是一個大圓，則必有BECE，因此問題轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn)。設(shè)BC的中點(diǎn)為O（即球心），再取AD的中點(diǎn)M，易知OM平面PAD，作MEPD交PD于點(diǎn)E，連結(jié)OE，則OEPD，所以O(shè)E即為點(diǎn)O到直線PD的距離，又因?yàn)镺DOC，OPOAOB，點(diǎn)P，D在球O外，所以要使以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn)，只要使OEOC（設(shè)OC=OB=R）即可。由于DEMDAP，可求得ME= ， 所以O(shè)E2=9+ 令OE2R2，即9+ R2 ，解之得R2；所以AD=2R4，所以AD的取值范圍 4，+，當(dāng)且僅當(dāng)AD= 4時，點(diǎn)E在線段PD上惟一存在，此時易求得二面角EBCA的平面角正切值為。B組1三棱臺ABC-A1B1C1中，AB：A1B1=1：2則三棱錐A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的體積之比為 （ ） A、1：1：1 B、1：1：2 C、1：2：4 D、1：4：4答案：B。解析：由棱臺、棱錐公式可求得。2一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個平面的距離是4cm，則該球的體積是 ( )A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：R=5，所以。3如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的 邊長為1的正方形孔，則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是 。A、258 B、234 C、222 D、210答案：B。解析：注意重疊交叉的部分。4已知正三棱柱底面邊長是10，高是12，過底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是_。答案：。解析：注意截面是一個等腰梯形。5若一個錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個小棱錐與原棱錐體積之比為_答案：18。解析：截面為錐體的中截面。6斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長等于b，一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個三棱柱的側(cè)面積。解析：過點(diǎn)B作BMAA1于M，連結(jié)CM，在ABM和ACM中，AB=AC，MAB=MAC=450，MA為公用邊，ABMACM，AMC=AMB=900，AA1面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin450=a，BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，S側(cè)=(1+)ab7 在平行四邊形ABCD中，AD=a，AB=2a，ADC=60，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，以MN為折痕把平行四邊形折成三棱柱AMBDNC的兩個側(cè)面，求三棱柱體積的最大值.答案：解：在平行四邊形ABCD中，連結(jié)AC，由已知，AD=a,CD=2a,ADC=60ADAC,MNAC，設(shè)ACMN=E，故折成三棱柱AMBDNC后，AEC是二面角AMNC的平面角，AEC是這個三棱柱的直截面.由題可得,8三棱柱中，AB=AC=a，BAC=90，頂點(diǎn)在底面ABC上