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文檔簡介

可降價(jià)的高解微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程。本節(jié)將學(xué)習(xí)的就是如何解形如=，的高階微分方程。之前我們學(xué)習(xí)過如何求解一階微分方程，因此，本節(jié)的解題思路應(yīng)該為先通過變量代換將原高階微分方程的階數(shù)降低或?qū)⑵浜喕?，然后再運(yùn)用以前所學(xué)的一階微分方程的解法進(jìn)行求解1 =型的微分方程 原理 由微分方程 = （1） 設(shè)= 則方程（1）化為一階微分方程，兩邊同時(shí)積分，得 = 同理可得 =例題 求微分方程的通解 解：所給方程為二階微分方程，因此只需對(duì)其連續(xù)積分兩次即可求得其通解 即為通解 當(dāng)題目中限定了任意常數(shù)時(shí)，可將題目中的常數(shù)代入，求出原方程的特解 如：例題中假如給定的時(shí)候，帶入求解 得c1= 得c2= 即可得該方程的特解 結(jié)論 首先觀察方程右側(cè)只含有自變量x，且左側(cè)提示我們求解一個(gè)高階的微分方程，那么在這種情況下我們可以使用逐次積分的方法求解2 型的微分方程 原理 微分方程 右端不顯含有未知數(shù)y，則設(shè)可得 于是方程降階為 方程（3）是一個(gè)關(guān)于變量x，p的一階微分方程，設(shè)其通解為，則有對(duì)其積分，得原始方程 例題1 求解微分方程的通解 得 即 在這里我們運(yùn)用學(xué)習(xí)過的常數(shù)變易法來求通解 此處在解答時(shí)用到分部積分法 兩邊微分得通解 例題2 微分方程 求 滿足條件的解 同理可以設(shè) 得 兩邊微分 帶入得 c2=2 結(jié)論 做形如型的微分方程時(shí)，通過換元，降低方程的階數(shù)簡化，再求積分。

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