人教A版選修45 3.2一般形式的柯西不等式 課件（43張）.ppt

二一般形式的柯西不等式 自主預(yù)習(xí) 1 三維形式的柯西不等式設(shè)a1 a2 a3 b1 b2 b3是實(shí)數(shù) 則 a12 a22 a32 b12 b22 b32 當(dāng)且僅當(dāng) 或存在一個(gè)數(shù)k 使得ai kbi i 1 2 3 時(shí)等號(hào)成立 a1b1 a2b2 a3b3 2 bi 0 i 1 2 3 2 一般形式的柯西不等式設(shè)a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是實(shí)數(shù) 則 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 當(dāng)且僅當(dāng) 或存在一個(gè)數(shù)k 使得ai i 1 2 n 時(shí) 等號(hào)成立 a1b1 a2b2 anbn 2 bi 0 i 1 2 n kbi 即時(shí)小測(cè) 1 若a12 a22 a32 4 b12 b22 b32 9 則a1b1 a2b2 a3b3的最大值為 a 4b 6c 9d 3 解析 選b 根據(jù)柯西不等式 知 a1b1 a2b2 a3b3 2 a12 a22 a32 b12 b22 b32 36 所以 6 a1b1 a2b2 a3b3 6 2 已知x y z a r 且x2 4y2 z2 6 則使不等式x 2y 3z a恒成立的a的最小值為 a 6b c 8d 解析 選b 由x2 4y2 z2 6 利用柯西不等式可得 x 2y 3z 2 x2 4y2 z2 12 12 32 66 故有x 2y 3z 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 取等號(hào) 再根據(jù)不等式x 2y 3z a恒成立 可得a 3 已知a b c r a 2b 3c 6 則a2 4b2 9c2的最小值為 解析 因?yàn)?a2 4b2 9c2 1 1 1 a 2b 3c 2 所以a2 4b2 9c2 12 答案 12 知識(shí)探究 探究點(diǎn)一般形式的柯西不等式1 三維形式的柯西不等式中等號(hào)成立的條件寫(xiě)成可以嗎 提示 不可以 因?yàn)槿舫霈F(xiàn)bi 0 i 1 2 3 的情況 則分式不成立了 但是 可以利用分式的形式來(lái)形象地記憶 2 在一般形式的柯西不等式中 等號(hào)成立的條件記為ai kbi i 1 2 3 n 可以嗎 提示 不可以 若bi 0 而ai 0 則k不存在 歸納總結(jié) 1 對(duì)柯西不等式一般形式的說(shuō)明一般形式的柯西不等式是二維形式 三維形式 四維形式的柯西不等式的歸納與推廣 其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié) 左邊是平方和的積 右邊是積的和的平方 在使用時(shí) 關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式 2 等號(hào)成立的條件ai k bi i 1 2 n 或bi 0 即 或b1 b2 bn 0 3 柯西不等式的兩個(gè)變式 1 設(shè)ai r bi 0 i 1 2 n 當(dāng)且僅當(dāng)bi ai時(shí)等號(hào)成立 2 設(shè)ai bi同號(hào)且不為0 i 1 2 n 則 當(dāng)且僅當(dāng)bi ai時(shí) 等號(hào)成立 類型一利用柯西不等式證明不等式 典例 已知a b c 1 且a b c是正數(shù) 求證 解題探究 本例不等式右邊的9如何拆分才能運(yùn)用柯西不等式 提示 9 1 1 1 2 證明 左邊 2 a b c a b b c c a 1 1 1 2 9 當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時(shí) 等號(hào)成立 所以 原不等式成立 方法技巧 利用柯西不等式證明不等式時(shí)常用的技巧 1 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以巧拆常數(shù) 2 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以重新安排各項(xiàng)的次序 3 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以改變式子的結(jié)構(gòu) 從而達(dá)到使用柯西不等式的目的 4 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以添項(xiàng) 變式訓(xùn)練 1 已知a b c r 求證 證明 由柯西不等式知所以原不等式成立 2 已知a1 a2 an都是正實(shí)數(shù) 且a1 a2 an 1 求證 證明 左邊 a1 a2 a2 a3 an 1 an an a1 補(bǔ)償訓(xùn)練 利用柯西不等式證明a2 b2 c2 d2 ab bc cd da a b c d是正數(shù) 證明 a2 b2 c2 d2 b2 c2 d2 a2 ab bc cd da 2 所以a2 b2 c2 d2 ab bc cd da 類型二利用柯西不等式求最值 典例 已知a b c均為正數(shù) 且a 2b 4c 3 求的最小值 解題探究 本例中的題設(shè)條件如何轉(zhuǎn)化為與所求式子的分母有關(guān)的形式 提示 由a 2b 4c 3可得 a 1 2 b 1 4 c 1 10 解析 因?yàn)閍 2b 4c 3 所以 a 1 2 b 1 4 c 1 10 因?yàn)閍 b c為正數(shù) 所以 a 1 2 b 1 4 c 1 當(dāng)且僅當(dāng) a 1 2 2 b 1 2 4 c 1 2 等式成立 故的最小值為 延伸探究 1 本例取得最小值時(shí)a b c的值是什么 解析 由 a 1 2 2 b 1 2 4 c 1 2及 a 1 2 b 1 4 c 1 10得2 c 1 2 c 1 4 c 1 10 所以 2 若本例條件不變 改為求的最大值 解析 由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)a 1 2b 1 4c 1 即a 1 b c 時(shí)等號(hào)成立 所以的最大值為3 方法技巧 利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有約束條件的多變量函數(shù)的最值問(wèn)題 其關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)通過(guò)巧變結(jié)構(gòu) 巧拆常數(shù) 巧換位置 巧添項(xiàng)等技巧以保證柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征且出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果 同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件 變式訓(xùn)練 1 設(shè)a b c為正數(shù) a 2b 3c 13 則的最大值為 解析 選c 根據(jù)柯西不等式 2 2015 福建高考 已知a 0 b 0 c 0 函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 2 求a2 b2 c2的最小值 解題指南 利用絕對(duì)值三角不等式和柯西不等式求解 解析 1 因?yàn)閒 x x a x b c x a x b c a b c 當(dāng)且僅當(dāng) a x b時(shí) 等號(hào)成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值為a b c 又已知f x 的最小值為4 所以a b c 4 2 由 1 知a b c 4 由柯西不等式得 4 9 1 a b c 2 16 即a2 b2 c2 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)等號(hào)成立 故a2 b2 c2的最小值為 自我糾錯(cuò)求代數(shù)式的值 典例 設(shè)x y z r 且滿足 x2 y2 z2 1 x 2y 3z 則x y z 失誤案例 分析解題過(guò)程 找出錯(cuò)誤之處 并寫(xiě)出正確答案 提示 錯(cuò)誤的根本原因是弄錯(cuò)