人教B版必修二 2.2.2直線方程的幾種形式 課件（41張）.ppt

2 2 2直線方程的幾種形式 一 二 一 直線方程的幾種形式 問題思考 1 直線在坐標軸上的截距是距離嗎 提示 截距 并非指 距離 它是直線與坐標軸交點的橫 縱坐標 可以取一切實數 而距離必須大于或等于零 2 填寫下表 一 二 一 二 4 兩點式表示直線方程的條件是什么 兩點式怎樣變形就能適用于所有過兩點的直線了 一 二 3 當直線在兩坐標軸上的截距相等時 直線l的斜率k 1 故常設直線方程為x y a 一 二 5 做一做 在x軸上的截距為2且傾斜角為135 的直線方程為 a y x 2b y x 2c y x 2d y x 2答案 a6 做一做 過點p 3 2 和點q 4 7 的直線方程為 答案 5x y 13 0 一 二 二 幾種特殊直線的方程 問題思考 1 在方程ax by c 0 a2 b2 0 中 當a 0或b 0時方程分別表示怎樣的直線 一 二 2 填空 選用點斜式 斜截式 兩點式求直線方程時 要考慮特殊情況下的直線方程 坐標軸所在直線或垂直于坐標軸的直線或經過原點的直線 過點 a b 且平行于x軸的直線方程為y b 過點 a b 且平行于y軸的直線方程為x a 平行于y軸的直線的斜率不存在 過原點的直線方程為y kx或x 0 x軸的方程是y 0 y軸的方程是x 0 y軸的斜率不存在 一 二 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 過點p的直線都可用點斜式寫出 2 過點p x0 y0 且與x軸垂直的直線方程是y y0 4 直線的點斜式 斜截式方程適用于不垂直于x軸的任何直線 5 直線的一般式方程可表示任意一條直線 6 直線的截距式可表示除過原點外的所有直線 7 直線的兩點式適用于求與兩坐標軸不垂直的直線方程 8 任何一條直線的一般式方程均能與其他四種形式 點斜式 兩點式 斜截式 截距式 相互互化 一 二 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 直線方程的點斜式 例1 求滿足下列條件的直線的方程 1 過點p 4 3 斜率k 2 2 過點p 2 5 且與x軸平行 3 過點p 3 1 且與y軸平行 思路分析 利用直線方程的點斜式及特殊位置的直線表示形式解答 解 1 直線過點p 4 3 斜率k 2 由點斜式得y 3 2 x 4 整理得所求方程為2x y 5 0 2 直線過點p 2 5 且與x軸平行 則斜率k 0 故所求直線方程為y 5 0 x 2 即y 5 3 直線與y軸平行 說明斜率不存在 又因為直線過點p 3 1 所以直線的方程為x 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 反思感悟利用點斜式求直線方程的步驟如下 1 確定直線要經過的定點 x0 y0 2 明確直線的斜率k 3 由點斜式直接寫出直線方程 注意 點斜式使用的前提條件是斜率存在 當斜率不存在時 直線沒有點斜式方程 其方程為x x0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 變式訓練1求斜率是直線x y 1 0的斜率的3倍 且分別滿足下列條件的直線方程 1 經過點p 3 4 2 在x軸上的截距是 5 解 由x y 1 0 得y x 1 直線x y 1 0的斜率為1 由題意可得 所求直線的斜率k 3 1 所求直線的方程是y 4 3 x 3 即3x y 5 0 2 由題意知直線經過點 5 0 所求直線的方程是y 0 3 x 5 即3x y 15 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 直線方程的斜截式 例2 已知直線l的斜率為2 在y軸上的截距為m 1 求直線l的方程 2 當m為何值時 直線通過 1 1 點 思路分析 1 直接套用直線的斜截式方程 2 將點 1 1 代入所設方程求m 解 1 利用直線的斜截式方程 可得方程為y 2x m 2 只需將點 1 1 代入直線y 2x m 有1 2 1 m 所以m 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 反思感悟對斜截式直線方程的理解要注意以下幾點 1 由直線斜截式方程的推導過程可以看出 在點斜式中若點p x0 y0 為直線l與y軸的交點 得到的直線方程即為斜截式 因此斜截式為點斜式的特殊情況 2 直線與x軸垂直時 斜率不存在 不能用直線方程的斜截式表示 因此 斜截式方程不能表示與x軸垂直的直線 3 斜截式方程y kx b的特點 左端y的系數恒為1 右端x的系數k和常數項b均有明顯的幾何意義 k是直線的斜率 b是直線在y軸上的截距 截距實質上為直線與y軸交點的縱坐標 直線與y軸的交點與原點的距離為 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 1 將本例的條件 在y軸上的截距為m 改為 在x軸上的截距為m 如何求直線的方程 2 將本例的條件不變 試問m為何值時 直線與坐標軸所圍成的三角形的面積為1 1 解 直線在x軸上的截距為m 即直線過點 m 0 又已知直線的斜率為2 則由直線的點斜式方程 可得所求直線方程為y 0 2 x m 即y 2x 2m 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 直線方程的兩點式 例3 1 求過兩點 2 5 和 2 3 的直線的兩點式方程 2 求過兩點a 0 0 b 1 1 的直線方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 反思感悟在使用直線方程的兩點式時要注意以下兩點 1 當直線斜率不存在 x1 x2 或斜率為0 y1 y2 時 不能用兩點式求出它的方程 若x1 x2 y1 y2 則直線方程為x x1 0 若y1 y2 x1 x2 則直線方程為y y1 0 2 直線方程的兩點式不能表示與坐標軸垂直的兩類直線 若變形為 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 此時可表示過任意兩點的直線的方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 變式訓練2已知直線2x1 3y1 4 2x2 3y2 4 則過點a x1 y1 b x2 y2 的直線l的方程是 a 2x 3y 4b 2x 3y 0c 3x 2y 4d 3x 2y 0答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 直線方程的截距式 例4 已知點a 3 0 b 0 4 動點p x y 在線段ab上運動 求xy的最大值 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 反思感悟對直線的截距式方程應注意以下幾點 1 在方程中 要求a 0 b 0 即兩個截距都不為0 因此它不能表示過坐標原點或平行于x軸 y軸的直線 2 當題目條件中涉及截距相等或互為相反數時 若選用截距式來求解 注意截距都為0 即直線過原點這種情況 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 變式訓練3在x y軸上的截距分別是 3 4的直線方程是 a 4x 3y 12 0b 4x 3y 12 0c 4x 3y 1 0d 4x 3y 1 0解析 根據直線方程的截距式寫出直線方程 1 化簡得4x 3y 12 0 故選b 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 直線方程的一般式 例5 1 若直線ax by c 0經過第一 第二和第四象限 則 a ab 0 且bc 0b ab 0 且bc0d ab 0 且bc 0 2 設直線l的方程為2x k 3 y 2k 6 0 k 3 根據下列條件分別確定k的值 直線l的斜率為 1 直線l在x軸 y軸上的截距之和等于0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 反思感悟1 直線的一般式方程與其他四種形式的轉化 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 2 當直線方程ax by c 0的系數a b c滿足下列條件時 直線ax by c 0有如下性質 1 當a 0 b 0時 直線與兩條坐標軸都相交 2 當a 0 b 0 c 0時 直線只與x軸相交 即直線與y軸平行 與x軸垂直 3 當a 0 b 0 c 0時 直線只與y軸相交 即直線與x軸平行 與y軸垂直 4 當a 0 b 0 c 0時 直線與x軸重合 5 當a 0 b 0 c 0時 直線與y軸重合 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 變式訓練4設直線l的方程為 a 1 x y 2 a 0 a r 1 若l在兩坐標軸上的截距相等 求l的方程 2 若l不經過第二象限 求實數a的取值范圍 解 1 當直線過原點時 該直線在x軸和y軸上的截距為零 當然相等 所以a 2 直線l的方程即3x y 0 當a 2時 截距存在且均不為0 所以a 0 直線l的方程為x y 2 0 2 將l的方程化為y a 1 x a 2 綜上所述 a的取值范圍是a 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 一 直線方程的求解 典例1 求經過點p 2 3 并且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程 解 方法1 1 當截距為0時 直線l過點 0 0 2 3 所以直線l的方程為x y 5 0 綜上可知 直線l的方程為3x 2y 0或x y 5 0 方法2 由題意知 直線l的斜率存在 且不為0 設直線方程為y 3 k x 2 且k 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 即3x 2y 0或x y 5 0 名師點評直線方程的幾種形式在特定情況下可以互相轉化 在解決求直線方程問題時 可以靈活選用其中形式 如已知定點和斜率一般用點斜式 已知截距 均不為0 可考慮用截距式 但在同樣的條件下 也可以從多種角度入手 使得問題的解決更加多樣化 上例中方法1要注意不要遺漏特殊情況的討論 方法2設解形式統一 但計算量稍大些 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 變式訓練1已知直線l經過點a 4 3 并且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等 求直線l的方程 解 當直線l在兩坐標軸上的截距為0時 符合題意 即3x 4y 0 當直線l在兩坐標軸上的截距不為0時 所以a b 1或a 7 b 7 綜上可知 所求直線l的方程是3x 4y 0或x y 1 0或x y 7 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 二 關于直線恒過定點問題 典例2 求證無論k取任何實數時 直線 k 1 x k 1 y 2k 0必過定點 并求出此定點 思路點撥 證法1 將已知直線方程整理成 a1x b1y c1 k a2x b2y c2 0的形式 證法2 將已知直線方程整理成點斜式 由點斜式確定定點 證法3 取兩個特殊值后再求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 證法1直線方程可整理為 x y k x y 2 0 則直線 k 1 x k 1 y 2k 0過直線l1 x y 0與l2 x y 2 0的交點 所以直線恒過定點 1 1 證法2當k 1時原直線方程可變形為y 1 x 1 此為直線方程的點斜式 該直線一定過點 1 1 當k 1時 原直線方程為x 1 一定過點 1 1 所以該直線必過定點 定點的坐標為 1 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 證法3由k的任意性 取k 0 得x y 0 取k 1 得x 1 0 由 得直線x y 0與直線x 1 0的交點坐標為 1 1 將點 1 1 代入直線方程 k 1 1 k 1 1 2k 0成立 所以直線 k 1 x k 1 y 2k 0必過定點 定點為 1 1 名師點評直線過定點問題是直線方程中常見的問題 解決方法主要是根據參數的任意性列方程組求解 常見方法有 特殊值法 點斜式法 整理成f1 x y f2 x y 0的形式 解方程組求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一題多解 變式訓練2直線kx y 5k 7 0恒過定點 答案 5 7 1 2 3 4 5 6 1 若直線的方程是y 2 x 1 則 a 直線經過點 2 1 斜率為 1b 直線經過點 1 2 斜率為 1c 直線經過點 2 1 斜率為1d 直線經過點 1 2 斜率為 1解析 直線方程可化為y 2 x 1 因此 直線經過點 1 2 斜率為 1 答案 d 1 2 3 4 5 6 2 集合a x x為直線的斜截式方程 b x x為一次函數的解析式 則集合a b間的關系為 a a bb b ac b ad a b答案 b 1 2 3 4 5 6 3 已知兩直線的方程分別為l1 x ay b 0 l2 x cy d 0 它們在坐標系中的位置如圖所示 則 a b 0 d0 dcc b0 a cd b0 a c 答