蘇教版選修22 2.3 第2課時(shí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)案.docx

第2課時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程.2.體會(huì)變形和放縮法在證明過(guò)程中的應(yīng)用一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn*，且kn0)時(shí)成立，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確那么，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立類型一利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1求證：(n2，nn*)證明當(dāng)n2時(shí)，左邊，故左邊右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn*)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，()()(*)方法一(分析法)下面證(*)式，即0，只需證(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需證(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需證9k50，顯然成立所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立方法二(放縮法)(*)式(3)，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由可知，原不等式對(duì)一切n2，nn*均成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)驗(yàn)證第一個(gè)n的值時(shí)，要注意n0不一定為1，若nk(k為正整數(shù))，則n0k1.(2)證明不等式的第二步中，從nk到nk1的推導(dǎo)過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)成立得nk1時(shí)成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等跟蹤訓(xùn)練1在數(shù)列an中，已知a1a(a2)，an1(nn*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an2(nn*)證明當(dāng)n1時(shí)，a1a2，命題成立；假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，命題成立，即ak2，則當(dāng)nk1時(shí)，ak1220，當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由得，對(duì)任意正整數(shù)n，都有an2.類型二猜想并證明不等式例2若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解取n1，令a.當(dāng)n1時(shí)，已證結(jié)論正確假設(shè)nk(kn*，k1)時(shí)，則當(dāng)nk1時(shí)，有()()因?yàn)?，所?，所以，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由可知，對(duì)一切nn*，都有.故a的最大值為25.反思與感悟(1)通過(guò)觀察，判斷，猜想出結(jié)論，這是探索的關(guān)鍵(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，注意驗(yàn)證起始值跟蹤訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3，.(1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式(2)當(dāng)a13時(shí)，證明對(duì)所有的n1，nn*，有ann2.(1)解由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315，由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann1(n1，nn*)(2)證明當(dāng)n1時(shí)，a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，nn*)時(shí)，不等式成立，即akk2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)2.由可知，對(duì)任意的n1，nn*，都有ann2.1用數(shù)學(xué)歸納法證明12(n2，nn*)的第一步需證明的不等式為_答案122設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立，那么，下列命題成立的是_(填序號(hào))若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立；若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立；若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)n2”的過(guò)程，證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，2112，不等式顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)不等式成立，即2kk2.那么，當(dāng)nk1時(shí)，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知對(duì)任意nn*不等式都成立其中錯(cuò)誤的步驟為_(填序號(hào))答案(2)解析在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，這是一個(gè)不確定的結(jié)論如k2時(shí)，k20(i1,2，n)，考查a11；(a1a2)()4；(a1a2a3)()9.歸納得對(duì)a1，a2an成立的類似不等式為_答案(a1a2an)()n22用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式為_答案11且nn*，n取的第一個(gè)值n02.第一步應(yīng)驗(yàn)證1，(1)(1)，(1)(1)(1)，(1)(1)(1)(1)，則第n個(gè)不等式為_答案(1)(1)(1)(1)(nn*)4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為_答案2(2k1)解析nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，應(yīng)增乘2(2k1)5對(duì)于不等式n1(nn*)，某學(xué)生證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，不等式成立，即k1(kn*)，則當(dāng)nk1時(shí)，.假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案9觀察下列不等式：1，11,1，12,1，由此猜測(cè)第n個(gè)不等式為_答案1解析3221,7231,15241，可猜測(cè)：1.二、解答題10試比較2n2與n2的大小(nn*)并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解當(dāng)n1時(shí)，212412，當(dāng)n2時(shí)，222622，當(dāng)n3時(shí)，2321032，當(dāng)n4時(shí)，2421842，由此可以猜想，2n2n2(nn*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊，所以原不等式成立當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊假設(shè)nk(k3且kn*)時(shí)，不等式成立，即2k2k2，那么nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)22k22.要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證2k22(k1)2，即證k22k30，即證(k1)(k3)0.又因?yàn)閗10，k30，所以(k1)(k3)0.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，nn*時(shí)，2n2n2.11用數(shù)學(xué)歸納法證明12(n2，nn*)證明當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kn*，k2)時(shí)，不等式成立，即12，那么當(dāng)nk1時(shí)，12，又由于2(2)0，所以22，所以1，其中n2，nn*.證明當(dāng)n2時(shí)，左邊，右邊0，結(jié)論成立；設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，n2，nn*.三、探究與拓展13求證：12(n1，nn*)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1且kn*)時(shí)，不等式成立即12.則當(dāng)nk1時(shí)，120)，由題意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1