人教B版選修41 1.1.4　銳角三角函數(shù)與射影定理 學(xué)案.docVIP

11.4銳角三角函數(shù)與射影定理對應(yīng)學(xué)生用書p12讀教材填要點1銳角三角函數(shù)的定義含有相等銳角的所有直角三角形都相似，銳角三角函數(shù)(或三角比)為：sin，cos，tan.2射影定理(1)定理的內(nèi)容：直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(2)符號語言表示：如圖若cd是rtabc的斜邊ab上的高，則：ac2adabbc2bdabcd2adbd小問題大思維1線段的正射影還是線段嗎？提示：不一定當(dāng)該線段所在的直線與已知直線垂直時，線段的正射影為一個點2如何用勾股定理證明射影定理？提示：如圖，在rtabc中，ab2ac2bc2，(addb)2ac2bc2，ad22addbdb2ac2bc2，即2addbac2ad2bc2db2.ac2ad2cd2，bc2db2cd2，2addb2cd2，即cd2addb.在rtacd中，ac2ad2cd2ad2addbad(addb)adab，即ac2adab.在rtbcd中，bc2cd2bd2addbbd2bd(addb)bdab，即bc2bdab.對應(yīng)學(xué)生用書p13利用射影定理解決求值問題例1如圖，在rtabc中，acb90，cd是ab邊上的高，已知bd4，ab29，試求bc，ac和cd的長度思路點撥本題考查射影定理與勾股定理的應(yīng)用解答本題可由已知條件先求出ad，然后利用射影定理求bc，ac和cd的長度精解詳析bd4，ab29，ad25.由射影定理得cd2adbd254100，cd10.bc2bdba429.bc2.ac2adab2529，ac5.運用射影定理時，要注意其成立的條件，要結(jié)合圖形去記憶定理，當(dāng)所給條件中具備定理的條件時，可直接運用定理，不具備時可通過作垂線使之滿足定理的條件，再運用定理1在rtacb中，c90，cdab于d，若bdad19，則tanbcd_.解析：由射影定理得cd2adbd，又bdad19，令bdx，則ad9x(x0)cd29x2，cd3x.rtcdb中，tanbcd.答案：利用射影定理解決證明問題例2如圖所示，在abc中，cab90，adbc于d，be是abc的平分線，交ad于f.求證：.思路點撥本題考查射影定理的應(yīng)用，利用三角形的內(nèi)角平分線定理及射影定理可證得精解詳析由三角形的內(nèi)角平分線定理得，在abd中，在abc中，在rtabc中，由射影定理知，ab2bdbc，即.由得：，由得：.將原圖分成兩部分來看，分別在兩個三角形中運用射影定理，實現(xiàn)了溝通兩個比例式的目的，在求解此類問題時，一定要注意對圖形進行剖析2如圖，ad、be是abc的高，dfab于f，交be于g，fd的延長線交ac的延長線于h，求證：df2fgfh.證明：beac，abebae90.同理，hhaf90abeh.又bfghfa，bfghfa.bfhffgaf.bfaffgfh.rtadb中，df2bfaf，df2fgfh.對應(yīng)學(xué)生用書p14一、選擇題1如圖所示，在rtabc中，acb90，cdab于點d，cd2，bd3，則ac等于()a.b.c. d解析：由射影定理知，cd2bdad，ad.abadbd.ac2adab.ac.答案：c2如圖所示，在abc中，acb90，cdab，d為垂足，若cd6 cm，addb12，則ad的值是()a6 cm b3 cmc18 cm d3 cm解析：addb12，可設(shè)adt，db2t.又cd2addb，36t2t，2t236，t3(cm)，即ad3 cm.答案：b3在rtabc中，bac90，adbc于點d，若，則()a. bc. d解析：如圖，由射影定理，得ac2cdbc，ab2bdbc.2.即.答案：c4在abc中，acb90，cdab于d，adbd23，則acd與cbd周長的相似比為()a23 b49c.3 d不確定解析：如圖，在rtacb中，cdab，由射影定理得，cd2adbd，即.又adcbdc90，acdcbd.又adbd23，令ad2x，bd3x(x0)，cd26x2.cdx.acd與cbd周長的相似比為，即相似比為3.答案：c二、填空題5如果兩條直角邊在斜邊上的射影分別是4和16，則此直角三角形的面積是_解析：由題意知，直角三角形斜邊長為20，根據(jù)射影定理知，斜邊上的高為8，所以直角三角形的面積為20880.答案：806已知：在abc中，acb90，cd是ab邊上的高，bc cm，bd3 cm，則ad的長是_解析：bc2bdab，153ab，ab5(cm)adabbd532(cm)答案：2 cm7如圖，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，點e，f分別為線段ab，ad的中點，則ef_.解析：連接de，可知aed為直角三角形，則ef是rtdea斜邊上的中線，其長等于斜邊長的一半，為.答案：8已知在梯形abcd中，dcab，d90，acbc，ab10 cm，ac6 cm，則此梯形的面積為_解析：如圖，過c作ceab于e.在rtacb中，ab10 cm，ac6 cm，ac2aeab，ae3.6 cm，beabae6.4 cm.又ce2aebe，ce4.8(cm)又在梯形abcd中，ceab，dcae3.6 cm.s梯形abcd32.64(cm2)答案：32.64 cm2三、解答題9已知cab90，adcb，ace，abf是正三角形，求證：dedf.證明：如圖，在rtbac中，ac2cdcb，ab2bdbc，.acae，abbf，即.又fbd60abd，ead60cad，abdcad，fbdead.eadfbd.bdfade.fdefdaadefdabdf90.dedf.10如圖，在rtabc中，bac90，adbc于d，dfac于f，deab于e，試證明：(1)abacbcad；(2)ad3bccfbe.證明：(1)rtabc中，adbc，sabcabacbcad.abacbcad.(2)rtadb中，deab，由射影定理可得bd2beab，同理cd2cfac，bd2cd2beabcfac.又rtbac中，adbc，ad2bddc，ad4beabcfac.又abacbcad，即ad3bccfbe.11如圖所示，cd為rtabc斜邊ab邊上的中線，cecd，ce，連接de交bc于點f，ac4，bc3.求證：(1)abcedc；(2)dfef.證明：(1)在rtabc中，ac4，bc3，則