示范教案(232 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二))說(shuō)課以及課堂實(shí)錄.doc

2.3.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)從容說(shuō)課“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”第二節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，進(jìn)一步去了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題；學(xué)會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究Sn的最值，學(xué)會(huì)其常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想.從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的認(rèn)識(shí)更為深刻.通過(guò)本節(jié)例題的教學(xué)，使學(xué)生能活用求和公式解題，并進(jìn)一步感受到數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等方面的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，通過(guò)探究一些特殊數(shù)學(xué)求和問(wèn)題的思路和方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.在本節(jié)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生融入問(wèn)題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，通過(guò)觀察、操作、探索、交流、反思，來(lái)認(rèn)識(shí)和理解等差數(shù)列的求和內(nèi)容，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并能積極地發(fā)展自己的能力.教學(xué)重點(diǎn) 熟練掌握等差數(shù)列的求和公式.教學(xué)難點(diǎn) 靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題.教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影儀、投影膠片等三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題；3.會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究Sn的最值.二、過(guò)程與方法1.經(jīng)歷公式應(yīng)用的過(guò)程，形成認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的一般思路和方法；2.學(xué)會(huì)其常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的思維水平的發(fā)展.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容.生 我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式：(1)；(2).師 對(duì)，我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，了解等差數(shù)列的一些性質(zhì).學(xué)會(huì)了求和問(wèn)題的一些方法，本節(jié)課我們繼續(xù)圍繞等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的內(nèi)容來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)與探究.推進(jìn)新課合作探究師 本節(jié)課的第一個(gè)內(nèi)容是來(lái)研究一下等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的函數(shù)表示，請(qǐng)同學(xué)們將求和公式寫(xiě)成關(guān)于n的函數(shù)形式.生 我將等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式整理、變形得到：n.(*)師 很好!我們能否說(shuō)(*)式是關(guān)于n的二次函數(shù)呢?生1 能，(*)式就是關(guān)于n的二次函數(shù).生2 不能，(*)式不一定是關(guān)于n的二次函數(shù).師 為什么?生2 若等差數(shù)列的公差為0，即d=0時(shí)，(*)式實(shí)際是關(guān)于n的一次函數(shù)!只有當(dāng)d0時(shí)，(*)式才是關(guān)于n的二次函數(shù).師 說(shuō)得很好!等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式可以是關(guān)于n的一次函數(shù)或二次函數(shù).我來(lái)問(wèn)一下：這函數(shù)有什么特征?生 它一定不含常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為0.生 它的二次項(xiàng)系數(shù)是公差的一半.師 對(duì)的，等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為不含常數(shù)項(xiàng)的一次函數(shù)或二次函數(shù).問(wèn)：若一數(shù)列的前n項(xiàng)和為n的一次函數(shù)或二次函數(shù)，則這數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?生 不一定，還要求不含常數(shù)項(xiàng)才能確保是等差數(shù)列.師 說(shuō)的在理.同學(xué)們能畫(huà)出(*)式表示的函數(shù)圖象或描述一下它的圖象特征嗎?生 當(dāng)d=0時(shí)，(*)式是關(guān)于n的一次函數(shù)，所以它的圖象是位于一條直線上的離散的點(diǎn)列，當(dāng)d0時(shí)，(*)式是n的二次函數(shù)，它的圖象是在二次函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).這些點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,Sn)(n=1，2，3，).師 說(shuō)得很精辟.例題剖析【例】 (課本第51頁(yè)例4)分析:等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式可以寫(xiě)成，所以Sn可以看成函數(shù) (xN *)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道Sn關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的點(diǎn).因此我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求n的值.(解答見(jiàn)課本第52頁(yè))師 我們能否換一個(gè)角度再來(lái)思考一下這個(gè)問(wèn)題呢？請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公差. 生 它的首項(xiàng)為5，公差為.師 對(duì)，它的首項(xiàng)為正數(shù)，公差小于零，因而這個(gè)數(shù)列是個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)這數(shù)列的項(xiàng)出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)，則它的前n項(xiàng)的和一定會(huì)開(kāi)始減小，在這樣的情況下，同學(xué)們是否會(huì)產(chǎn)生新的解題思路呢？生 老師，我有一種解法：先求出它的通項(xiàng)，求得結(jié)果是an=a1+(n-1)d=.我令0，得到了n8，這樣我就可以知道a8=0，而a90.從而便可以發(fā)現(xiàn)S7=S8，從第9項(xiàng)和Sn開(kāi)始減小，由于a8=0對(duì)數(shù)列的和不產(chǎn)生影響，所以就可以說(shuō)這個(gè)等差數(shù)列的前7項(xiàng)或8項(xiàng)的和最大.師 說(shuō)得非常好!這說(shuō)明我們可以通過(guò)研究它的通項(xiàng)取值的正負(fù)情況來(lái)研究數(shù)列的和的變化情況.方法引導(dǎo)師 受剛才這位同學(xué)的新解法的啟發(fā)，我們大家一起來(lái)歸納一下這種解法的規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的首項(xiàng)大于零，公差小于零時(shí)，它的前n項(xiàng)的和有怎樣的最值?可通過(guò)什么來(lái)求達(dá)到最值時(shí)的n的值?生Sn有最大值，可通過(guò)求得n的值.師 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的首項(xiàng)不大于零，公差大于零時(shí)，它的前n項(xiàng)的和有怎樣的最值?可通過(guò)什么來(lái)求達(dá)到最值時(shí)的n的值?生 Sn有最小值，可以通過(guò)求得n的值.教師精講好!有了這種方法再結(jié)合前面的函數(shù)性質(zhì)的方法，我們求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和的最值問(wèn)題就有法可依了.主要有兩種：(1)利用an取值的正負(fù)情況來(lái)研究數(shù)列的和的變化情況；(2)利用Sn：由利用二次函數(shù)求得Sn取最值時(shí)n的值.課堂練習(xí)請(qǐng)同學(xué)們做下面的一道練習(xí)：已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n*.問(wèn)多少項(xiàng)之和為最大？前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最小？(讓一位學(xué)生上黑板去板演)解：1+13 401n3 403.所以n=3 402.2Sn=1 024n+ (-lg2)，當(dāng)Sn=0或Sn趨近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小，令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+16 804.99.因?yàn)閚N*，所以有n=6 805.(教師可根據(jù)學(xué)生的解答情況和解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行點(diǎn)評(píng))合作探究師 我們大家再一起來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：全體正奇數(shù)排成下表：1357911131517192123252729此表的構(gòu)成規(guī)律是：第n行恰有n個(gè)連續(xù)奇數(shù);從第二行起，每一行第一個(gè)數(shù)與上一行最后一個(gè)數(shù)是相鄰奇數(shù)，問(wèn)2 005是第幾行的第幾個(gè)數(shù)?師 此題是數(shù)表問(wèn)題，近年來(lái)這類(lèi)問(wèn)題如一顆“明珠”頻頻出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考中，成為出題專(zhuān)家們的“新寵”，值得我們探索.請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)此表的構(gòu)成規(guī)律，將自己的發(fā)現(xiàn)告訴我. 生1 我發(fā)現(xiàn)這數(shù)表n行共有1+2+3+n個(gè)數(shù)，即n行共有個(gè)奇數(shù).師 很好!要想知道2 005是第幾行的第幾個(gè)數(shù)，必須先研究第n行的構(gòu)成規(guī)律.生2 根據(jù)生1的發(fā)現(xiàn)，就可得到第n行的最后一個(gè)數(shù)是2-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一個(gè)數(shù)是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.師 現(xiàn)在我們對(duì)第n行已經(jīng)非常了解了，那么這問(wèn)題也就好解決了，誰(shuí)來(lái)求求看?生4 我設(shè)n2-n+12 005n2+n-1，解這不等式組便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再設(shè)2 005是第45行中的第m個(gè)數(shù)，則由2 005=1 981+(m-1)2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13個(gè)數(shù).師 很好!由這解法可以看出，只要我們研究出了第n行的構(gòu)成規(guī)律，則可由此展開(kāi)我們的思路.從整體上把握等差數(shù)列的性質(zhì)，是迅速解答本題的關(guān)鍵.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)并探究了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的哪些內(nèi)容?生1我們學(xué)會(huì)了利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究Sn的最值的方法：利用an：當(dāng)an0，d0，前n項(xiàng)和有最大值.可由an0，且a n+10，求得n的值；當(dāng)an0，d0，前n項(xiàng)和有最小值.可由an0，且a n+10，求得n的值.利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函數(shù)求得Sn取最值時(shí)n的值.生2 我們還對(duì)等差數(shù)列中的數(shù)表問(wèn)題的常規(guī)解法作了探究，學(xué)習(xí)了從整體上把握等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法.師 本節(jié)課我們?cè)谑炀氄莆盏炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步去了解了等差