蘇教版選修23 1.5.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 課件（39張）.pptx

第1章 計(jì)數(shù)原理 1 5二項(xiàng)式定理1 5 2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 能運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 2 理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 并會(huì)簡單的應(yīng)用 1 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 2 題型探究重點(diǎn)突破 3 當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾 知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 2n 思考根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)表的第1個(gè)規(guī)律 同一行中與兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等 你可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的什么性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的最大值 思考二項(xiàng)式系數(shù)何時(shí)取得最大值 例1已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求下列各式的值 1 a1 a2 a7 題型一二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題 解令x 1 則a0 a1 a2 a3 a7 1 令x 1 則a0 a1 a2 a7 37 1 令x 0 得a0 1 代入 中得 a1 a2 a3 a7 2 2 a1 a3 a5 a7 解由 得2a1 2a3 2a5 2a7 1 37 3 a0 a2 a4 a6 解由 得2a0 2a2 2a4 2a6 1 37 4 a0 a1 a2 a7 解方法一 1 2x 7的展開式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 方法二 a0 a1 a2 a7 是 1 2x 7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和 令x 1 a0 a1 a7 37 2187 反思與感悟賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)及有關(guān)問題的常用方法 注意取值要有利于問題的解決 可以取一個(gè)值或幾個(gè)值 也可以取幾組值 解決問題時(shí)要避免漏項(xiàng) 一般地 對(duì)于多項(xiàng)式f x a0 a1x a2x2 anxn 各項(xiàng)系數(shù)和為f 1 奇次項(xiàng)系數(shù)和為12 f 1 f 1 偶次項(xiàng)系數(shù)和為12 f 1 f 1 a0 f 0 跟蹤訓(xùn)練1設(shè) 2 3x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 方法二令x 0 則展開式可化為a0 2100 2 a1 a2 a100 3 a1 a3 a5 a99 解令x 1 與 聯(lián)立相減可得 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 解原式 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a1 a2 a100 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 題型二求二項(xiàng)展開式中的最大項(xiàng)問題 1 求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 解令x 1 則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f 1 1 3 n 4n 又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n 由題意知 4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍 或2n 32 n 5 由于n 5為奇數(shù) 所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng) 它們分別是 2 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 反思與感悟 1 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 要依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì) a b n中的n進(jìn)行討論 n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 n為偶數(shù)時(shí) 中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 2 求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的 求展開式系數(shù)最大的項(xiàng) 如求 a bx n a b r 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 一般是采用待定系數(shù)法 設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為a1 a2 an 1 且第r 1項(xiàng)系數(shù)最大 應(yīng)用解出r來 即得系數(shù)最大的項(xiàng) 跟蹤訓(xùn)練2在 3x 2y 20的展開式中 求 1 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 2 系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng) 解設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是r 1項(xiàng) 于是 所以r 8 3 系數(shù)最大的項(xiàng) 解由于系數(shù)為正的項(xiàng)為y的偶次方項(xiàng) 故可設(shè)第2r 1項(xiàng)系數(shù)最大 于是 解得r 5 即2 5 1 9項(xiàng)系數(shù)最大 題型三求解整除或余數(shù)問題 例3求證 32n 2 8n 9能被64整除 n n 證明當(dāng)n 1時(shí) 驗(yàn)證成立 當(dāng)n 2時(shí) 32n 2 8n 9 9 8 1 n 8n 9 因?yàn)楦黜?xiàng)均能被64整除 所以32n 2 8n 9能被64整除 反思與感悟?qū)笖?shù)式的整除問題 常用二項(xiàng)式定理證明 通常將被除數(shù)的底數(shù)化為除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)與一個(gè)數(shù)的和或差的形式 利用二項(xiàng)式定理展開 化簡的各項(xiàng)都是除數(shù)的倍數(shù) 故展開后的多項(xiàng)式能被除數(shù)整除 從而證明了原式能被除數(shù)整除 跟蹤訓(xùn)練3求證 2n 2 3n 5n 4能被25整除 n n 1 1 x 2n 1的展開式中 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 項(xiàng) 解析 1 x 2n 1展開式有2n 2項(xiàng) 系數(shù)最大的項(xiàng)是中間兩項(xiàng) 是第n 1項(xiàng)與第n 2項(xiàng) 它們的二項(xiàng)式系數(shù)為 1 2 3 4 n 1 n 2 2 在 x y n的展開式中 第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等 則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 1 2 3 4 解析由題意 得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等 則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等 cn cn 由組合數(shù)的性質(zhì) 得n 10 3 7 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng) 它也是系數(shù)最大的項(xiàng) 即t6 c10 x5y5 5 3 設(shè) x2 1 2x 1 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a11 x 2 11 則a0 a1 a2 a11的值為 解析令x 1 則原式化為 1 2 1 2 1 1 9 2 a0 a1 2 1 a2 2 1 2 a11 2 1 11 a0 a1 a2 a11 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 求證 1 3 32 33n 1能被26整除 n為大于1的偶數(shù) 所以1 3 32 33n 1能被26整除 1 二項(xiàng)式系數(shù)問題 1 求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和 可采用 特殊值取代法 通常令字母變量為1 2 二項(xiàng)式系數(shù)的和是公式性的 要牢記 而系數(shù)和的求法是用 賦值法 針對(duì)不同的問題 賦值不同 課堂小結(jié) 2