蘇教版選修45 5.3.4 放縮法 學(xué)案.doc

5.3.4 放縮法自主整理 在證明不等式時(shí),有時(shí)我們要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞以利化簡(jiǎn),并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得到欲證的不等式成立,這種方法稱為_(kāi).高手筆記1.放縮法多借助于一個(gè)或多個(gè)中間量進(jìn)行放大或縮小,如欲證ab,需通過(guò)bb1,b1b2bia(或aa1,a1a2aib),再利用傳遞性,達(dá)到證明的目的.2.放縮法的理論依據(jù)主要有:(1)不等式的傳遞性;(2)等量加不等量為不等量;(3)同分子(分母)、異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較;(4)基本不等式與絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì);(5)三角函數(shù)的有界性.名師解惑使用放縮法時(shí)常用的技巧有哪些?剖析:放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮必須有目標(biāo),而且要恰到好處,目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察,常用的放縮方法有增項(xiàng)、減項(xiàng),利用分式的性質(zhì),利用不等式的性質(zhì),利用已知不等式,利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮,比如:(a+)2+1(a+)2, ,(k1)等變形.講練互動(dòng)【例1】已知(0,),求證:sinn+cosn1(n2且nn).分析:當(dāng)n=2時(shí),sin2+cos2=1,要證不等式成立,只需證sin2sinn,cos2cosn即可.證明:當(dāng)n=2時(shí),sin2+cos2=1.(0,),0sin1,0cos1.當(dāng)n2時(shí),cosncos2,sinnsin2.cosn+sinncos2+sin2=1.不等式成立.綠色通道 不等式的左邊不易合并,但右邊的“1”比較熟悉,聯(lián)想到sin2+cos2=1,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將cosn放大為cos2,sinn放大為sin2即可合并.變式訓(xùn)練1.求證:()n+()n1(nn*).證明:()n,()n,()n+()n+=2時(shí),求證:logn(n-1)logn(n+1)2,logn(n-1)0,logn(n+1)0,且logn(n-1)logn(n+1).logn(n-1)logn(n+1)2=22時(shí),logn(n-1)logn(n+1)1成立.綠色通道 在進(jìn)行對(duì)數(shù)之積運(yùn)算時(shí)往往要利用基本不等式放大為對(duì)數(shù)之和進(jìn)行運(yùn)算,對(duì)照不等式的右邊進(jìn)行適當(dāng)放縮.變式訓(xùn)練2.求證:lg9lg110,lg110,且lg9lg11,lg9lg11()2=()2()2=1,lg9lg110.,.=.a+bc,0.0+1+1.,即成立.【例4】求證:1+.分析:不等式的左邊無(wú)法進(jìn)行合并,觀察到右邊有2倍關(guān)系,可將改寫為,即=2()進(jìn)行放縮.證明:當(dāng)n2時(shí),=2(),即.,.各式左、右兩邊分別相加,得1+1+()+()+()=-1 ,即1+成立.綠色通道 放縮法證明不等式,變形技巧一般包括:縮小分母,擴(kuò)大分子,分式值增大,縮小分子,擴(kuò)大分母,分式值縮小;增項(xiàng)、減項(xiàng);分子或分母有理化等.變式訓(xùn)練4.若nn*,n2,求證