大學(xué)經(jīng)典課件之高等數(shù)學(xué)——8-1多元函數(shù)的基本概念.pdf

推廣推廣 第八章第八章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué) 注意 多元函數(shù)微分學(xué) 注意 善于類比善于類比 區(qū)別異同區(qū)別異同 多元函數(shù)微分學(xué) 及其應(yīng)用 多元函數(shù)微分學(xué) 及其應(yīng)用 第八章第八章 第一節(jié)第一節(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 二 多元函數(shù)的極限 一 多元函數(shù)的概念 三 多元函數(shù)的連續(xù)性 二 多元函數(shù)的極限 一 多元函數(shù)的概念 三 多元函數(shù)的連續(xù)性 一 基本概念一 基本概念 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì) P 的點(diǎn)的集合 稱為平面點(diǎn)集 記作 的點(diǎn)的集合 稱為平面點(diǎn)集 記作 PyxyxE具有性質(zhì)具有性質(zhì) 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離 設(shè)為設(shè)為 111 yxM 222 yxM平面上的兩 點(diǎn) 它們之間的距離記作 平面上的兩 點(diǎn) 它們之間的距離記作 21 MM 2 12 2 1221 yyxxMM 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 設(shè) 000 yxP是 是 xoy平面上 的一個(gè)點(diǎn) 平面上 的一個(gè)點(diǎn) 是某一正數(shù) 與 點(diǎn) 是某一正數(shù) 與 點(diǎn) 000 yxP距離小于 距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn) yxP的全體 稱為點(diǎn) 的全體 稱為點(diǎn) 0 P的 的 鄰域 記為 鄰域 記為 0 PU 鄰域鄰域 0 P 0 PU 0 PPP 2 0 2 0 yyxxyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在在 0 PU中去掉點(diǎn)中去掉點(diǎn) 000 yxP 稱為點(diǎn) 稱為點(diǎn) 0 P的去心的去心 鄰域 記為 鄰域 記為 0 0 PU 去心鄰域去心鄰域 0 0 PU 0 0 PPP 0 2 0 2 0 yyxxyx 若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑 若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑 0 PU簡(jiǎn)記 為 簡(jiǎn)記 為 0 PU 0 0 PU簡(jiǎn)記為 簡(jiǎn)記為 0 0 PU 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域 平面上的方鄰域?yàn)?在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域 平面上的方鄰域?yàn)?U 0 yxP 0 P 因?yàn)榉洁徲蚺c圓因?yàn)榉洁徲蚺c圓 鄰域可以互相包含 鄰域可以互相包含 0 xx 0 yy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) 的內(nèi)點(diǎn)為則稱 的某一鄰域一個(gè)點(diǎn) 如果存在點(diǎn) 是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集 設(shè) 的內(nèi)點(diǎn)為則稱 的某一鄰域一個(gè)點(diǎn) 如果存在點(diǎn) 是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集 設(shè) EP EPUP PE EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于 E P 外點(diǎn)外點(diǎn) 的外點(diǎn)為 則稱 使得 的某一鄰域如果存在點(diǎn) 的外點(diǎn)為 則稱 使得 的某一鄰域如果存在點(diǎn) EP EPUPU P I EE 的外點(diǎn)屬不于的外點(diǎn)屬不于 P 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的邊界點(diǎn) 為 則稱 也可以不屬于 本身可以屬于的點(diǎn) 點(diǎn) 的點(diǎn) 也有不屬于既有屬于 的任一個(gè)鄰域內(nèi)如果點(diǎn) 的邊界點(diǎn) 為 則稱 也可以不屬于 本身可以屬于的點(diǎn) 點(diǎn) 的點(diǎn) 也有不屬于既有屬于 的任一個(gè)鄰域內(nèi)如果點(diǎn) EP EE PE E P E P E EE 記為的邊界 的邊界點(diǎn)的全體稱為 記為的邊界 的邊界點(diǎn)的全體稱為 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如 開集 開集 為開集則稱 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)如果點(diǎn)集為開集則稱 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)如果點(diǎn)集EE 41 22 1 yxyxE即為開集 即為開集 閉集 閉集 為閉集 則稱 包含它的所有邊界點(diǎn)如果點(diǎn)集 為閉集 則稱 包含它的所有邊界點(diǎn)如果點(diǎn)集EE 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 是連通的 點(diǎn)集 則稱該該折線上的點(diǎn)都屬于 起來(lái) 且何兩點(diǎn)都可用折線連結(jié) 內(nèi)的任是點(diǎn)集 如果設(shè) 是連通的 點(diǎn)集 則稱該該折線上的點(diǎn)都屬于 起來(lái) 且何兩點(diǎn)都可用折線連結(jié) 內(nèi)的任是點(diǎn)集 如果設(shè) E E EE 連通集 連通集 例如例如 41 22 1 yxyxE即為閉集 即為閉集 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域 41 22 yxyx 有界閉區(qū)域 有界閉區(qū)域 無(wú)界開區(qū)域 無(wú)界開區(qū)域 x y o 例如例如 無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集 否則稱為則稱 都有 使得對(duì)于任意的點(diǎn) 數(shù)是一定點(diǎn) 如果存在正 是一點(diǎn)集設(shè) 無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集 否則稱為則稱 都有 使得對(duì)于任意的點(diǎn) 數(shù)是一定點(diǎn) 如果存在正 是一點(diǎn)集設(shè) E KPAEPK AE 41 22 yxyx 有界集和無(wú)界集有界集和無(wú)界集 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n 維空間維空間 設(shè) 設(shè) n為取定的一個(gè)自然數(shù) 我們稱 為取定的一個(gè)自然數(shù) 我們稱 n元元數(shù)數(shù) 組 組 21n xxxL的全體為 的全體為 n維空間 而每個(gè) 維空間 而每個(gè) n 元數(shù)組 元數(shù)組 21n xxxL稱為 稱為 n維空間中的一維空間中的一個(gè)個(gè) 點(diǎn) 數(shù) 點(diǎn) 數(shù) i x 稱為該點(diǎn)的第 稱為該點(diǎn)的第 i個(gè)坐標(biāo) 個(gè)坐標(biāo) n 維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為 說(shuō)明 說(shuō)明 說(shuō)明 說(shuō)明 n R 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí) 時(shí) 0 k x稱該元素為 稱該元素為 n 為空間 中的零元 記作 為空間 中的零元 記作 0 21n xxxPL 21n yyyQL 22 22 2 11nn xyxyxyQP L n 維空間中鄰域 區(qū)域等概念維空間中鄰域 區(qū)域等概念 n RPPPPPU hrhr 0 0 TTVTV cbacbacba 0 0 0 cpbpappS 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 h r 定義1 定義1 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集 R n D DPPfu 或或 點(diǎn)集點(diǎn)集DD稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域 數(shù)集 數(shù)集 DP Pfuu 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域 值域 特別地 當(dāng) 特別地 當(dāng) n 2 時(shí) 有二元函數(shù)時(shí) 有二元函數(shù) 2 R Dyxyxfz 當(dāng) 當(dāng) n 3 時(shí) 有三元函數(shù)時(shí) 有三元函數(shù) 3 R Dzyxzyxfu 映射映射R aDf稱為定義稱為定義 在在DD上的 上的 n 元函數(shù) 元函數(shù) 記作 記作 21n xxxfuL 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1 例1 求 的定義域 求 的定義域 2 22 3arcsin yx yx yxf 解解 0 13 2 22 yx yx 2 22 42 yx yx 所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?42 222 yxyxyxD 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二元函數(shù) 的圖形二元函數(shù) 的圖形 yxfz 設(shè)函數(shù) 設(shè)函數(shù) yxfz 的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?D 對(duì)于 任意取定的 對(duì)于 任意取定的 DyxP 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 yxfz 這樣 以 這樣 以 x為橫坐標(biāo) 為橫坐標(biāo) y為縱坐 標(biāo) 為縱坐 標(biāo) z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn) zyxM 當(dāng) 當(dāng) yx取遍 取遍 D上一切點(diǎn)時(shí) 得一個(gè)空間點(diǎn)集 上一切點(diǎn)時(shí) 得一個(gè)空間點(diǎn)集 Dyxyxfzzyx 這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形 這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形 如下頁(yè)圖 如下頁(yè)圖 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x y z o xyzsin 例如 圖形如右圖 例如 圖形如右圖 2222 azyx 例如 右圖球面 例如 右圖球面 222 ayxyxD 222 yxaz 222 yxaz 單值分支 單值分支 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義 1定義 1 設(shè)函數(shù) 設(shè)函數(shù) yxfz 在在 000 yxP的某個(gè)去心 鄰域內(nèi)有定義 的某個(gè)去心 鄰域內(nèi)有定義 A是常數(shù) 如果對(duì)于任意給定的正是常數(shù) 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)數(shù) 總存在正數(shù) 總存在正數(shù) 使得當(dāng) 使得當(dāng) 0 0 PP時(shí) 即時(shí) 即 2 0 2 0 0yyxx時(shí) 恒有 時(shí) 恒有 Ayxf 成立 則稱 成立 則稱A為函數(shù)為函數(shù) yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 000 yxP處的處的極極 限 記為 限 記為 Ayxf yy xx lim 0 0 或 或 Ayxf yxyx lim 00 或 或 APf PP lim 0 三 多元函數(shù)的極限三 多元函數(shù)的極限 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義 1定義 1 設(shè)函數(shù) 設(shè)函數(shù) yxfz 在在 000 yxP的某個(gè)去的某個(gè)去新新 鄰域內(nèi)有定義 鄰域內(nèi)有定義 A是常數(shù) 如果對(duì)于任意給定的正是常數(shù) 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)數(shù) 總存在正數(shù) 總存在正數(shù) 使得當(dāng) 使得當(dāng) 0 xx 0 yy且且 00 yxyx 時(shí) 恒有 時(shí) 恒有 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 22 0 0 0yx 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) yx 22 2 y yx yx 2 1 22 2 x yx yx 或或 例3 例3 求證求證 證證 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4 例4 求極限求極限 22 lim yx y x eyx 22 lim yx y x eyx lim lim 22yx y x yx y x eeyeex 0 x y x y y x y y x x y x eeyeex limlimlimlim 22 解解 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5例5 11 lim 0 0 xy xy y x 求求 解解1 11 11 lim 0 0 xyxy xy y x 原式原式 11 1 lim 0 0 xy y x 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解2 2 1 11 0 0 xyxyyx 時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 2 111 lim 0 0 xy xy y x 例6 例6 求極限求極限 sin lim 22 2 0 0 yx yx y x 解解 22 2 0 0 sin lim yx yx y x lim 22 2 0 0 yx yx y x 22 2 yx yx x 2 1 0 0 x 0 sin lim 22 2 0 0 yx yx y x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxyx 22 sin 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 0 0 yx 例7 例7 求求 2222 22 0 0 cos 1 lim yxyx yx y x 解1 解1 22222 2 1 cos 1yxyx 此函數(shù)定義域 不包括 此函數(shù)定義域 不包括x y 軸軸 則則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 0 0 yx 2222 22 0 0 cos 1 lim yxyx yx y x 2222 222 0 0 2 1 lim yxyx yx y x 22 22 0 0 2 lim yx yx y x 22 0 02 2 lim yx xy y x 故故 2222 22 0 0 cos 1 lim yxyx yx y x 例7 例7 求求 2222 22 0 0 cos 1 lim yxyx yx y x 解2 解2 因因 4 1 22222 yxyx 2222 22 cos 1 yxyx yx 而而 6 2 0 cos1 4 lim r r r 此函數(shù)定義域 不包括 此函數(shù)定義域 不包括x y 軸軸 222 yxr 令令則則 6 2 cos1 4 r r 6 4 0 2 lim r r r 2 cos1r 2 2 r 故故 2222 22 0 0 cos 1 lim yxyx yx y x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 找兩種不同趨近方式 使 找兩種不同趨近方式 使 lim 00 yxf yyxx 存在 但兩者不相等 此時(shí)可斷言 存在 但兩者不相等 此時(shí)可斷言 yxf在點(diǎn)在點(diǎn) 000 yxP處 極限不存在 處 極限不存在 證明極限不存在的方法 證明極限不存在的方法 1 找一條特殊路徑 使得點(diǎn) 找一條特殊路徑 使得點(diǎn) yxP 沿此路徑趨 向于 沿此路徑趨 向于 000 yxP時(shí) 時(shí) yxf的極限不存在 則可斷言的極限不存在 則可斷言 yxf的極限不存在 的極限不存在 例 例 令點(diǎn) 令點(diǎn) yxP 沿 沿 kxy 趨向于 趨向于 000 yxP 若 若極極 限值與限值與k有關(guān) 則可斷言極限不存在 有關(guān) 則可斷言極限不存在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 8 例 8 證明 證明 2 sin x y yxf 在點(diǎn) 在點(diǎn) 0 0 處的極處的極限限 不存在 不存在 證明證明取 取 xy 則 則 2 0 0 sinlim x y xy yx x x 1 sinlim 0 極限不存在 故極限不存在 故 yxf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 0 處的極 限不存在 處的極 限不存在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 取取kxy 則 則 例 9 例 9 證明證明 22 yx xy yxf 在點(diǎn) 在點(diǎn) 0 0 處的 極限不存在 處的 極限不存在 極限值與 極限值與 k有關(guān) 故有關(guān) 故 yxf在點(diǎn) 在點(diǎn) 0 0 處的極限不存在 處的極限不存在 22 0 0 lim yx xy kxy yx 222 2 0 lim xkx kx x 2 1k k 證明證明 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o x y 22 yx xy z kxyy xP 沿直線點(diǎn) 沿直線點(diǎn) 不存在故 不存在故y xf y x lim 0 0 0 0 22 0 0 lim yx xy kxy x z a y x 2 1k k 時(shí) 有00 時(shí) 有00 那么 那么 曲面曲面在點(diǎn)在點(diǎn) 0 0 附近 的形狀是怎樣的呢 附近 的形狀是怎樣的呢 曲面與曲面與z軸無(wú)交點(diǎn)軸無(wú)交點(diǎn) 曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 對(duì)稱 y x 0 0 yx 例9 例9 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o x y 0 0 22 yx yx xy z y x z a D 那么 曲面在點(diǎn)那么 曲面在點(diǎn) 0 0 附近 的形狀是怎樣的呢 附近 的形狀是怎樣的呢 曲面與曲面與z軸無(wú)交點(diǎn)軸無(wú)交點(diǎn) 曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 對(duì)稱 y 0 kxyy xP 沿直線點(diǎn) 沿直線點(diǎn) 不存在故 不存在故y xf y x lim 0 0 0 0 22 0 0 lim yx xy kxy x 2 1k k 時(shí) 有00 時(shí) 有00 例9 例9 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o x y 0 0 22 yx yx xy z y kx y x 2 1 z a D 那么 曲面在點(diǎn)那么 曲面在點(diǎn) 0 0 附近 的形狀是怎樣的呢 附近 的形狀是怎樣的呢 曲面與曲面與z軸無(wú)交點(diǎn)軸無(wú)交點(diǎn) 曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 對(duì)稱 y 0 kxyy xP 沿直線點(diǎn) 沿直線點(diǎn) 不存在故 不存在故y xf y x lim 0 0 0 0 22 0 0 lim yx xy kxy x 2 1k k 時(shí) 有00 時(shí) 有00 例9 例9 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o x y 0 0 22 yx yx xy z y kx y x 2 1k k 2 1 z a y x 2 1 D 那么 曲面在點(diǎn)那么 曲面在點(diǎn) 0 0 附近 的形狀是怎樣的呢 附近 的形狀是怎樣的呢 曲面與曲面與z軸無(wú)交點(diǎn)軸無(wú)交點(diǎn) 曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 對(duì)稱 y 0 kxyy xP 沿直線點(diǎn) 沿直線點(diǎn) 不存在故 不存在故y xf y x lim 0 0 0 0 22 0 0 lim yx xy kxy x 2 1k k 時(shí) 有00 時(shí) 有00 例9 例9 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o x y 0 0 22 yx yx xy z y kx y x 2 1k k 2 1 z a y x 2 1 D 那么 曲面在點(diǎn)那么 曲面在點(diǎn) 0 0 附近 的形狀是怎樣的呢 附近 的形狀是怎樣的呢 曲面與曲面與z軸無(wú)交點(diǎn)軸無(wú)交點(diǎn) y 0 曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 對(duì)稱 曲面關(guān)于平面 y x對(duì)稱 對(duì)稱 但曲面無(wú)限逼近但曲面無(wú)限逼近z軸軸 kxyy xP 沿直線點(diǎn) 沿直線點(diǎn) 不存在故 不存在故y xf y x lim 0 0 0 0 22 0 0 lim yx xy kxy x 2 1k k 時(shí) 有00 時(shí) 有00 例9 例9 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 10 例 10 證明 證明 24 2 yx yx yxf 沿任何直線趨于 沿任何直線趨于 0 0 時(shí) 極限 都存在 但 時(shí) 極限 都存在 但 yxf在在 0 0 處的極限不存在 處的極限不存在 1 當(dāng) 1 當(dāng)0 k時(shí) 極限為時(shí) 極限為 0 24 2 0 lim yx yx kxy x 證明證明 所以所以 yxf在在 0 0 沒(méi)有極限 沒(méi)有極限 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 224 3 0 lim xkx kx x 22 0 lim kx kx x 2 當(dāng) 2 當(dāng)0 k時(shí) 即沿時(shí) 即沿0 y趨于趨于 0 0 顯然極限為 顯然極限為 0 3 沿 3 沿0 x趨于趨于 0 0 顯然極限也為 顯然極限也為 0 即沿任何直線趨于即沿任何直線趨于 0 時(shí) 極限為時(shí) 極限為 0 但 但 24 2 0 2 lim yx yx xy x 44 4 0 lim xx x x 0 2 1 例11 例11 證明 不存在 證明 不存在 證證 26 3 0 0 lim yx yx y x 取取 3 kxy 26 3 0 0 lim yx yx y x 626 33 0 3 lim xkx kxx kxy x 1 2 k k 其值隨 其值隨 k 的不同而變化 故極限不存在 的不同而變化 故極限不存在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不存在不存在 觀察觀察26 3 0 0 lim yx yx y x 26 3 圖形圖形 yx yx z 播放播放 播放播放 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定 義 定 義 設(shè) 二 元 函 數(shù)設(shè) 二 元 函 數(shù) yxfz 在 點(diǎn)在 點(diǎn) 000 yxP及其附近有定義 若 及其附近有定義 若 lim 00 00 yxfyxf yxyx 則稱二元函數(shù) 則稱二元函數(shù) yxf在點(diǎn)在點(diǎn) 000 yxP處連續(xù) 否則稱 處連續(xù) 否則稱 yxf在點(diǎn)在點(diǎn) 000 yxP處不連續(xù) 處不連續(xù) 000 yxP稱為稱為 yxf的間斷點(diǎn) 的間斷點(diǎn) 四 多元函數(shù)的連續(xù)性四 多元函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此定義也可用改變量的語(yǔ)言來(lái)敘述 令 此定義也可用改變量的語(yǔ)言來(lái)敘述 令xxx 0 yyy 0 則 則 00 yxfyxfz 0000 yxfyyxxf 稱為函數(shù) 稱為函數(shù) yxfz 的改變量或全增量 的改變量或全增量 于是 連續(xù)性的定義可寫成 于是 連續(xù)性的定義可寫成 0lim 0 0 z yx 即 當(dāng)自變量 即 當(dāng)自變量x y的改變量都趨于零時(shí) 函數(shù) 的改變量也趨于零 的改變量都趨于零時(shí) 函數(shù) 的改變量也趨于零 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 12例 12 證明下列函數(shù)在證明下列函數(shù)在 0 0 處是連續(xù)的 處是連續(xù)的 0 0 0 1 sin 2 x x yx xy yxf 故故 yxf在在 0 0 處是連續(xù)的 處是連續(xù)的 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 lim 0 0 yxf yx 時(shí) 時(shí)0 1 x 時(shí) 時(shí)0 2 x 0 0 1 1 sin 22 yx yx xy yx xy 1 lim lim 2 0 0 0 0 yx xy yxf yxyx 1 lim 2 0 0 y y yx 0 證明證明1 例 12例 12 證明下列函數(shù)在證明下列函數(shù)在 0 0 處是連續(xù)的 處是連續(xù)的 0 0 0 1 sin 2 x x yx xy yxf 證明證明 2 1 0 x 0 lim 0 0 yxf yx 2 0 x 但 但 0 y 0 lim 0 0 yxf yx 3 0 x 0 y 0 1 sin lim lim 2 0 0 0 0 y y xy xy yxf yxyx 故故 yxf在在 0 0 處是連續(xù)的 處是連續(xù)的 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 13例 13 證明下列函數(shù)在證明下列函數(shù)在 0 0 處是連續(xù)的 處是連續(xù)的 0 0 0 ln 22 2222 yx yxyxxy yxf 證明 證明 令令 cos rx sin ry 22 yxr 0 0 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) yx 0 r 0 r 0 0 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) yx ln lim 22 0 0 yxxy yx 0lnsincoslim 22 0 rr r 連續(xù)在故 連續(xù)在故 0 0 yxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例14 例14 討論討論 0 0 0 0 0 22 33 yx yx yx yx yxf 在在 0 0 處的連續(xù)性 處的連續(xù)性 解解取取 cos rx sinry lim 0 0 yxf y x cos sinlim 33 0 r r 0 故函數(shù)在故函數(shù)在 0 0 處連續(xù) 處連續(xù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界閉區(qū)域 有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù) 在 上的多元連續(xù)函數(shù) 在 D 上必取 得它的最大值和最小值 上必取 得它的最大值和最小值 2 最大值和最小值定理 2 最大值和最小值定理 1 有界性定理 1 有界性定理 有界閉區(qū)域 有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定是 上的多元連續(xù)函數(shù)必定是 D 上的 有界函數(shù) 上的 有界函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有界閉區(qū)域 有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù) 如果它在 上的多元連續(xù)函數(shù) 如果它在 D 上的最大值和最小值分別為 上的最大值和最小值分別為 M和 和 m 則它在 則它在 D 必 上取得介于 必 上取得介于M 和和 m這兩值之間的任何值 這兩值之間的任何值 3 介值定理 3 介值定理 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的 四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示的多元函數(shù)叫 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的 四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 多元初等函數(shù) 多元初等函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 多元初等函數(shù) lim lim 00 0 0 0 PfPfP PfPfP PfPf PP PP 處連續(xù) 于是在點(diǎn) 的定義域的內(nèi)點(diǎn) 則是函數(shù) 且 是初等時(shí) 如果一般地 求 處連續(xù) 于是在點(diǎn) 的定義域的內(nèi)點(diǎn) 則是函數(shù) 且 是初等時(shí) 如果一般地 求 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)極限的概念 多元函數(shù)連續(xù)的概念 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 注意趨近方式的 多元函數(shù)極限的概念 多元函數(shù)連續(xù)的概念 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 注意趨近方式的任意性任意性 五 小結(jié)五 小結(jié) 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目