人教A版選修22 第二章推理與證明 教案1.doc

教學設計第二章推理與證明復習課教學目標1知識與技能目標(1)幫助學生進一步加深對合情推理和演繹推理的理解，力爭使學生做到規(guī)范的應用這兩種推理方法去解決相關問題；(2)掌握兩種證明方法的思維過程和特點，并熟練掌握兩種證明方法的操作流程；(3)進一步理解數(shù)學歸納法的基本原理、步驟，通過證明數(shù)學命題鞏固對數(shù)學歸納法原理的再認識2過程與方法目標通過本章的學習，理解推理與證明的原理與方法，培養(yǎng)和提高學生的合情推理或演繹推理的能力，感受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作用，培養(yǎng)學生由具體到抽象的思維方法，提高學生的理性思維能力3情感、態(tài)度與價值觀通過本章的學習，培養(yǎng)學生言之有理、論證有據(jù)的習慣，并能在今后的學習中有意識地使用這些推理與證明的方法重點難點重點：(1)能利用歸納、類比、“三段論”進行簡單推理；(2)了解綜合法、分析法和反證法的思考過程與特點；(3)了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題難點：(1)根據(jù)歸納、類比、“三段論”推理的結(jié)構(gòu)和特點，進行簡單推理(2)根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不同的證明方法綜合使用；(3)理解數(shù)學歸納法的思想實質(zhì)，了解第二個步驟的作用，并且能夠根據(jù)歸納假設作出證明1本章的知識結(jié)構(gòu)圖：2本章基本知識點：(1)合情推理與演繹推理：歸納推理的概念：根據(jù)一類事物的_對象具有某種性質(zhì)，推出該類事物的_對象都具有這種性質(zhì)的推理，或有_事實概括出_的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)簡言之，歸納推理是由_到_，由_到_的推理類比推理的定義：這種由兩個(兩類)對象具有_和其中一類對象的某些_，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)簡言之，類比推理是由_到_的推理合情推理的定義：根據(jù)已有的事實，經(jīng)過_、_、_、_，再進行_、_，然后提出猜想的推理，我們把它統(tǒng)稱為合情推理演繹推理的定義：從_出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理演繹推理是由_到_的推理“三段論”是演繹推理的一般模式；包括()大前提_；()小前提_；()結(jié)論_.(2)直接證明與間接證明：綜合法定義：一般地，利用_等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法分析法定義：一般地，從_出發(fā)，逐步尋求使它成立的_，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理)，這種證明方法叫做分析法反證法定義：假設_不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這樣的證明方法叫做反證法數(shù)學歸納法定義：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題p(n)，可按下列步驟進行：()(歸納奠基)證明當_時命題成立；()(歸納遞推)假設_命題成立，證明當_也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學歸納法提出問題：1.請同學們獨立完成知識填空2在完成知識填空的同時，回想一下本章主要有哪些基本題型，解決這些基本題型的方法和步驟分別是什么？活動設計：學生獨立完成基本知識填空，然后讓幾位同學口答填空答案，教師借助多媒體投影出知識填空的答案，適當?shù)囊?guī)范學生的表述，回憶舊知識，并思考、討論回答所提出的問題學情預測：學生在前面幾節(jié)學習的基礎上，能夠順利的完成基本知識填空，但在準確、規(guī)范表達上會存在著一定的差距；題型和方法的總結(jié)更是五花八門活動結(jié)果：知識填空答案：(1)合情推理與演繹推理：部分全部個別一般結(jié)論部分整體個別一般某些類似特征已知特征特殊特殊觀察分析比較聯(lián)想歸納類比一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情況據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷(2)直接證明與間接證明：已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理要證明的結(jié)論充分條件原命題假設錯誤原命題正確()n取第一個值n0(n0n*)()nk(kn0，kn*)時當nk1時命題設計意圖全面系統(tǒng)地梳理基礎知識，幫助學生鞏固基礎，加深對概念、公式、定理的理解，教師利用下一環(huán)節(jié)“典型示例”和同學們一塊總結(jié)本章的重點題型和方法 類型一：歸納推理例1觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？思路分析：歸納推理的一般步驟是：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)，(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題(猜想)解：設f(n)為n個點可連的弦的條數(shù)，則f(2)1，f(3)3，f(4)6，猜想：f(n).點評：歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題鞏固練習1下列推理是歸納推理的是()aa、b為定點，若動點p滿足papb2aab，則點p的軌跡是橢圓b由a11，an13an1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的通項an和sn的表達式c由圓x2y21的面積sr2，猜想出橢圓的面積sabd科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇2如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應是什么顏色的？()a白色 b黑色c白色可能性大 d黑色可能性大答案：1.b2.a類型二：類比推理例2在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nn*)成立類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立思路分析：找出兩類對象之間可以準確表述的相似特征；然后，由一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而做出一個猜想解：在等差數(shù)列an中，若a100，則a1a19a2a18ana20n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1a1a2a19n.相似地，在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式b1b2bnb1b2b17n(n17，nn*)成立點評：本題主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運用類比的思想方法，由等差數(shù)列an滿足的一般結(jié)論，而得到等比數(shù)列bn所滿足的一般結(jié)論鞏固練習平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行類似地寫出空間的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件充要條件_.充要條件_.答案：底面是平行四邊形兩組相對側(cè)面分別平行類型三：演繹推理例3如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別為棱ab，bc的中點證明：平面mnb1平面bdd1b1.思路分析：本題所依據(jù)的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面mnb1與平面bdd1b1之間所滿足的證明面面垂直所需要的條件，這是證明本題的關鍵證明：在正方體abcda1b1c1d1中，bb1平面abcd，mn平面abcd，bb1mn.mnac，acbd，mnbd.又bdbb1b，mn平面bdd1b1.mn平面mnb1，平面mnb1平面bdd1b1.點評：“三段論”中，第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般原理，第二判斷叫小前提，指出了一個特殊情況，這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷結(jié)論，演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提和結(jié)論之間有蘊含關系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必然是真的，但錯誤的前提可導致錯誤的結(jié)論鞏固練習如果函數(shù)f(x1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)yf(2x)的圖象的一條對稱軸是直線()ax1 bx1 cx dx答案：d類型四：直接證明例4已知a，b，c為正實數(shù)，abc1.求證：a2b2c2.思路分析：這是一個條件不等式的證明問題，要注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點和已知條件的合理應用，從而選擇出適當?shù)淖C明方法證明：(法一)：a2b2c2(3a23b23c21)3a23b23c2(abc)2(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)(ab)2(bc)2(ac)20，a2b2c2.(法二)：(abc)2a2b2c22ab2ac2bca2b2c2a2b2b2c2c2a2，3(a2b2c2)(abc)21.a2b2c2.(法三)：設a，b，c.abc1，0.a2b2c2()2()2()2()222222.a2b2c2.點評：充分利用“1”的代換是本題化簡證明的關鍵鞏固練習已知數(shù)列an的前n項和snan()n12(n為正整數(shù))，令bn2nan，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式解：(1)由snan()n12得a1a11a1，并且an1sn1snan1()n2an()n12anan1()n，得到an1an.于是bn12n1an12nan1bn1.數(shù)列bn是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列bnb1(n1)d，bnn.又bn2nan，an.類型五：間接證明例5已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同時大于.思路分析：這是否定性命題，條件比較簡單，直接證明比較難入手，可考慮用反證法解：假設三式同時大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.又(1a)a()2，同理，(1b)b，(1c)c.所以(1a)a(1b)b(1c)c，與式矛盾，即假設前提不成立，故結(jié)論正確點評：反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題，也常用反證法鞏固練習已知：ac2(bd)求證：方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個方程有實數(shù)根證明：假設兩方程都沒有實數(shù)根，則1a24b0與2c24d0，有a2c22ac，即ac0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn2(log2an1)(nn*)，證明對任意的nn*，不等式成立解：(1)因為對任意的nn*，點(n，sn)均在函數(shù)ybxr的圖象上，所以得snbnr.當n1時，a1s1br；當n2時，ansnsn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1.又因為an為等比數(shù)列，所以r1，公比為b，an(b1)bn1.(2)證明：當b2時，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，則，所以.下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立當n1時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立假設當nk時不等式成立，即成立則當nk1時，左邊.所以當nk1時，不等式也成立由、可得不等式對任意的nn*都成立鞏固練習1用數(shù)學歸納法證明對n為正偶數(shù)時某命題成立，若已假設nk(k2偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設再證()ank1時等式成立 bnk2時等式成立cn2k2時等式成立 dn2(k2)時等式成立2設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()a若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，則當k5時，均有f(k)k2成立c若f(7)49成立，則當k8時，均有f(k)1)(1)證明函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明f(x)0沒有負數(shù)根思路分析：(1)直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可(2)合理利用第(1)問提供的結(jié)論，當f(x)0有負數(shù)根時，利用函數(shù)與方程的關系，找到與已知矛盾的結(jié)論即可證明：(1)任取x1，x2(1，)，不妨設x10，ax2x11，且ax10，所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因為x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)設存在x00(x01)，滿足f(x0)0，則ax0，又0ax01，所以01，即x02與x0abbcca.證明過程如下：a，b，cr，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又a，b，c不全相等，以上三式至少有一個“”不成立，將以上三式相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，a2b2c2abbcca.此證法是()a分析法 b綜合法 c分析法與綜合法并用 d反證法3用數(shù)學歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由nk的假設到證明nk1時，等式左邊應添加的式子是()a(k1)22k2 b(k1)2k2c(k1)2 d.(k1)2(k1)21答案：1.b2.b3.b1知識收獲：(1)合情推理與演繹推理；(2)直接證明與間接證明；(3)數(shù)學歸納法2方法收獲：(1)推理的三種基本方法：歸納推理、類比推理、演繹推理；(2)證明問題的三種基本方法：綜合法、分析法、反證法；(3)用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題3思維收獲：學會使用日常學習和生活中經(jīng)常使用的思維方法，感受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作用，并養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的好習慣本章復習參考題a組第5題、第7題基礎練習1如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則()aa1a8a4a5 da1a8a4a52設f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，則f2 007(x)等于()asinx bsinx ccosx dcosx3設a，b，c大于0，則3個數(shù)：a，b，c的值()a都大于2 b至少有一個不大于2c都小于2 d至少有一個不小于24已知f(x1)，f(1)1(xn*)，猜想f(x)的表達式為()af(x) bf(x)cf(x) df(x)答案：1.b2.d3.d4.b拓展練習5已知數(shù)列an滿足snan2n1，(1)寫出a1，a2，a3，并推測an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論解：(1)a1，a2，a3，猜測an2.(2)由(1)已得當n1時，命題成立；假設nk時，命題成立，即ak2，當nk1時，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak，2k1ak2ak12(k1)12k3.2ak122，ak12，即當nk1時，命題成立根據(jù)得nn*，an2成立設計思想：通過基礎知識填空，幫助學生回顧基本概念、定理和相關結(jié)論，通過典型示例總結(jié)本章的基本題型和方法；通過練習和作業(yè)加深對概念的理解和應用的熟練性設計意圖：由于本章概念多、理論性較強，通過基礎知識填空，幫助學生準確記憶相關概念，并形成本章的知識網(wǎng)絡；通過典型示例教學總結(jié)題型和方法，熟練相關題型的解題步驟和準確規(guī)范的表述；教學中不要急于求成，而應在后續(xù)的教學中經(jīng)常借助這些概念表達、闡述和分析設計特點：從學生的認知基礎出發(fā)結(jié)合具體的題型和方法，加深概念理解的同時，熟練相關方法的應用，同時在應用新知的過程中，將所學的知識條理化，使自己的認知結(jié)構(gòu)更趨合理例1：若a、b、c均為實數(shù)，且ax22x，by22y，cz22z，求證：a、b、c中至少有一個大于0.思路分析：直接證明較難入手，運用反證法進行證明證明：設a、b、c都不大于0，a0，b0，c0，abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.點評：反證法是一種間接證明命題的基本方法在證明一個數(shù)學命題時，如果運用直接證明比較困難或難以證明時，可運用反證法進行證明反證法的基本思想是：通過證明命題的否定是假命題，從而說明原命題是真命題例2：數(shù)列an的前n項和記為sn，已知a11，an1sn(n