高中數(shù)學(xué)不等式選修題型全歸納.doc

6.不等式選講6.1均值不等式在證明中的應(yīng)用1. （1）已知，求證：；（2）已知實(shí)數(shù) 滿足：，試?yán)茫?）求的最小值。（1）證：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是?？键c(diǎn)：均值不等式在證明中的應(yīng)用、綜合法證明不等式6.2絕對(duì)值不等式6.2.1單絕對(duì)值不等式2. 已知函數(shù)若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).答案：解析：分別作出函數(shù)與的圖像，由圖知，時(shí)，函數(shù)與無(wú)交點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)，時(shí)，函數(shù)與有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若與相切，則由得：或（舍），因此當(dāng)，時(shí)，函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)：?jiǎn)谓^對(duì)值不等式3. 存在 ，使得不等式 成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_(kāi)答案：解析：不等式 ，即 ，令 的圖象是關(guān)于 對(duì)稱的一個(gè) 字形圖形，其象位于第一、二象限； ，是一個(gè)開(kāi)口向下，關(guān)于 軸對(duì)稱，最大值為 的拋物線；要存在 ，使不等式 成立，則 的圖象應(yīng)該在第二象限和 的圖象有交點(diǎn)，兩種臨界情況，當(dāng) 時(shí)，的右半部分和 在第二象限相切： 的右半部分即 ，聯(lián)列方程 ，只有一個(gè)解；即 ，即 ，得： ；此時(shí) 恒大于等于 ，所以取不到；所以 ；當(dāng) 時(shí)，要使 和 在第二象限有交點(diǎn)，即 的左半部分和 的交點(diǎn)的位于第二象限；無(wú)需聯(lián)列方程，只要 與 軸的交點(diǎn)小于 即可； 與 軸的交點(diǎn)為 ，所以 ，又因?yàn)?，所以 ；綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是： ；故答案為：考點(diǎn)：?jiǎn)谓^對(duì)值不等式6.2.2同系數(shù)絕對(duì)值相加型不等式4. 已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。（1）當(dāng)時(shí)，令，作出函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，故原不等式的解集為；（2）依題意，原不等式化為，故對(duì)都成立，故，故，故的取值范圍是.考點(diǎn)：同系數(shù)絕對(duì)值相加型不等式6.2.3同系數(shù)絕對(duì)值相減型不等式5. 已知函數(shù)（1）證明：（2）求不等式的解集。（1） 當(dāng)時(shí)，所以，（2）由（1）可知當(dāng) 時(shí)，的解集為空集；當(dāng)時(shí)，的解集為當(dāng) 時(shí)，的解集為綜上：不等式的解集：考點(diǎn)：同系數(shù)絕對(duì)值相減型不等式6.2.4不同系數(shù)絕對(duì)值相加減型不等式6. 設(shè)函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（1）由題意得當(dāng) 時(shí)，不等式化為，解得，當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，綜上，不等式的解集為（2）由（1）得 ，若， 恒成立，則只需 ，解得 ，綜上，的取值范圍為考點(diǎn)：不同系數(shù)絕對(duì)值相加減型不等式6.3已知絕對(duì)值不等式解求參數(shù)7. 設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集為，求的值。（1）當(dāng)時(shí)，可化為。 由此可得 或。 故不等式的解集為或。(2) 由 得 此不等式化為不等式組 或即 或 因?yàn)?，所以不等式組的解集為 由題設(shè)可得，故考點(diǎn)：已知絕對(duì)值不等式解求參數(shù)6.4已知絕對(duì)值不等式解的范圍求參數(shù)范圍8. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍.答案：（1）當(dāng)時(shí)，所以不等式可化為，或，或解得或因此不等式的解集為或（2）由已知即為，也即若的解集包含 ，則，也就是，所以，從而，解得因此的取值范圍為.考點(diǎn)：已知絕對(duì)值不等式解的范圍求參數(shù)范圍、同系數(shù)絕對(duì)值不等式相加減6.5含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題9. 已知函數(shù)，（1）若對(duì)任意的有成立，求的取值范圍；（2）若不等式，對(duì)于任意的都成立，求的取值范圍。（1）根據(jù)題意, 小于等于 的最小值由可得所以 （2）當(dāng) 即 時(shí)， 恒成立，當(dāng) 時(shí)，由絕對(duì)值不等式得性質(zhì)可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取 ， 恒成立， ， ，考點(diǎn)：含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題、同系數(shù)絕對(duì)值相加型不等式6.6含絕對(duì)值不等式的能成立問(wèn)題10. 已知函數(shù) .(1)求 的取值范圍,使 為常數(shù)函數(shù).(2)若關(guān)于 的不等式 有解,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.(1)則當(dāng) 時(shí), 為常數(shù)函數(shù).(2)方法一:如圖,結(jié)合(1)知函數(shù)的最小值為 , 實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .方法二: ; ,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立.得函數(shù) 的最小值為 ,則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .考點(diǎn)：含絕對(duì)值不等式的能成立問(wèn)題6.7利用絕對(duì)值的三角不等式放縮求最值11. 已知實(shí)數(shù)滿足：求證：證明：，由題設(shè).考點(diǎn)：絕對(duì)值的三角不等式6.8數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中的應(yīng)用12. 已知函數(shù)（1）求的解集；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（1），即, 或 或解得不等式：；：無(wú)解；：，所以的解集為或（2）即的圖象恒在圖象的上方，可以作出的圖象，而圖象為恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率變化的一條直線，作出函數(shù)圖象， 其中 ，由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方，實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)該為 考點(diǎn)：同系數(shù)絕對(duì)值不等式相加型、 數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中的應(yīng)用 7.證明不等式的基本方法7.1比較法證明不等式13. 設(shè)不等式的解集是，（1）試比較與的大??；（2）設(shè)表示數(shù)集的最大數(shù)求證：答案：（1）（2）見(jiàn)解析解析：（1）先解出.問(wèn)題得證.（2）可知,所以根據(jù)不等式的性質(zhì)，同向正向不等式具有可乘性，從而可證出.故.考點(diǎn)：比較法證明不等式7.2綜合法證明不等式7.3分析法證明不等式14. 已知,不等式的解集為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí),證明:.（1）解不等式： ； 或 或或或，. （2）需證明：，只需證明，即需證明，所以原不等式成立.考點(diǎn)：分析法證明不等式7.4反證法證明不等式15. 設(shè) 且證明：（1） ；（2） 與 不可能同時(shí)成立.由， 得（1）由基本不等式及 ，有 ，即；（2）假設(shè)與同時(shí)成立，則由 及 得 ，同理 ，從而 ，這與 矛盾，故 與 不可能同時(shí)成立.考點(diǎn)：反證法證明不等式、均值不等式在證明中的應(yīng)用8.5放縮法證明不等式(多為數(shù)列的題)16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前和為，證明：【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）考慮到，因此可以利用條件中的式子得到數(shù)列的一個(gè)遞推公式，從而即可求解；（2）由（1）可知，從而可證，進(jìn)一步放縮可得，求和即可得證.試題解析：（1），當(dāng)時(shí)， ，又，與兩邊分別相減得，得，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得；，得，又，.9.柯西不等式9.1柯西不等式的代數(shù)形式17. 已知關(guān)于