專題02 突破兩類解三角形問題(第二篇)-2019年高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破(解析版).docVIP

一方法綜述解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題主要有兩類，一是解三角形的“基本問題”-求角、求邊、求面積；二是解三角形中的綜合問題-最值與范圍問題.對于第一類問題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系.對于第二類問題，要注意運(yùn)用三角形中的不等關(guān)系：（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時(shí)，只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可.由于不存在等號成立的條件，在求最值時(shí)使用較少；（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系：，其中由利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而僅在一個(gè)三角形內(nèi)有效.本專題舉例說明解答兩類解三角形問題的方法、技巧.二解題策略類型一 三角形中求邊、求角、求面積問題【例1】【2018屆河北省衡水金卷一?！恳阎狝BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acosB+3asinB=b+c，b=1，點(diǎn)D是ABC的重心，且AD=73，則ABC的外接圓的半徑為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AAD2=19AB2+AC2+2ABACcosA=79，化簡，得c=AB=2，由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA=3，由正弦定理得，ABC的外接圓半徑R=a2sinA=1.故選：A【指點(diǎn)迷津】1.解三角形問題中，邊角的求解是所有問題的基本，通常有以下兩個(gè)解題策略：(1)邊角統(tǒng)一化：運(yùn)用正弦定理和余弦定理化角、化邊，通過代數(shù)恒等變換求解；(2)幾何問題代數(shù)化：通過向量法、坐標(biāo)法將問題代數(shù)化，借用函數(shù)與方程來求解，對于某些問題來說此法也是極為重要的學(xué)科#網(wǎng)2. 解三角形的常用方法：（1）直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）間接法：可以根據(jù)所求變量的個(gè)數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進(jìn)行求解【舉一反三】【2018屆山東省濰坊市高三二?！吭谥?， , , 分別是角， ， 的對邊，且，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】故選C.類型二 三角形中的最值、范圍問題【例2】【2018屆百校聯(lián)盟TOP20高三四月聯(lián)考全國一卷】已知四邊形ABCD中，AB=BC=CD=33DA=1，設(shè)ABD與BCD面積分別為S1,S2，則S12+S22的最大值為_.【答案】78【解析】【例3】【2018年江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_【答案】9【解析】由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則的最小值為.【指點(diǎn)迷津】三角形中的最值、范圍的求法（1）目標(biāo)函數(shù)法：根據(jù)已知和所求最值、范圍，選取恰當(dāng)?shù)淖兞?，利用正弦定理與余弦定理建立所求的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征求解最值、范圍學(xué)科#網(wǎng)（2）數(shù)形結(jié)合法：借助圖形的直觀性，利用所學(xué)平面圖形中的相關(guān)結(jié)論直接判斷最值、范圍（3）利用均值不等式求得最值【舉一反三】1.【衡水金卷】2018屆四省名校第三次大聯(lián)考】如圖，在中，已知，為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】2.【衡水金卷信息卷三】已知ABC的三邊分別為a，b，c，所對的角分別為A，B，C，且滿足1a+b+1b+c=3a+b+c，且ABC的外接圓的面積為3，則fx=cos2x+4a+csinx+1的最大值的取值范圍為_【答案】12,24【解析】由ABC的三邊分別為a，b，c可得：1a+b+1b+c=3a+b+c，a+b+ca+b+a+b+cb+c=3ca+b+ab+c=1可知：cb+c+aa+b=a+bb+cac=a2+c2-b2cosB=a2+c2-b22ac=12，B=3R2=3，R=3asinA=bsinB=csinC=2Ra=23sinA，c=23sinCa+ c=23sinA+sinC=23sinA+sin23-A=2332sinA+32cosA=6sinA+60A236A+65636sinA+66可知3 a+ c6fx=-2sinx-a+c2+2+2a+c2-1sinx1可知當(dāng)sinx=1時(shí)，fxmax=4a+c124a+c24學(xué)科&網(wǎng)則fx=cos2x+4a+csinx+1的最大值的取值范圍為12，24三強(qiáng)化訓(xùn)練1.【2018屆東莞市高三第二次考試】在ABC中，若1tanB+1tanC=1tanA，則cosA的取值范圍為( )A. （0,13 B. 13,1) C. (0,23 D. 23,1)【答案】D2【2018屆湖南省衡陽市高三二?！吭贏BC中，已知a2+b2-c2=4S(S為ABC的面積)，若c=2,則a-22b的取值范圍是( )A. 0,2 B. -1,0 C. -1,2 D. -2,2【答案】C【解析】a2+b2-c2=4Sa2+b2-c2=412absinC =2absinCa2+b2-c22ab =sinC，cosC=sinCC=4，asinA=bsinB=csinC=222=2，a=2sinA,b=2sinB，又a-22b=2sinA-222sinB =2sinA-2sinB=2sinA-2sin34-A =sinA-cosA=2sinA-4，0A34-4A-42，-12sinA-42，-1a-22b2，故選C.3【2018屆四川省綿陽市高三三診】四邊形中， ， ，設(shè)、的面積分別為、，則當(dāng)取最大值時(shí)， _【答案】【解析】設(shè), ,當(dāng)時(shí),取得最大值,故填.學(xué)科!網(wǎng)4【2018屆廣東省肇慶市高三第三次模擬】已知ABC的角A,B,C對邊分別為a,b,c，若a2=b2+c2-bc，且ABC的面積為334，則a的最小值為_.【答案】3【解析】由題得b2+c2-a2=bc,2bccosA=bc,cosA=12,A=3.因?yàn)锳BC的面積為334，所以12bccosA=343,bc=3.因?yàn)閍2=b2+c2-bc，所以a22bc-bc=bc=3,a3.故填3.5【2018屆遼寧省遼南協(xié)作校高三下學(xué)期一?！吭O(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c=2且2sin2Asin2B+sinAsinB=12sin2Asin2B,則a+b的范圍是_【答案】(2,4336【2018屆四川省攀枝花市高三第三次（4月）統(tǒng)考】已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,且,則的最大值為_【答案】【解析】 由題意，根據(jù)正弦定理化簡得， 又由，則， 所以， 整理得，又，所以， 又由余弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，所以的最大值為7【2018屆安徽省“皖南八?！备呷谌危?月）聯(lián)考】四邊形ABCD中，A=600,cosB=17,AB=BC=7,當(dāng)邊CD 最短時(shí)，四邊形ABCD的面積為_【答案】3722【解析】當(dāng)CD邊最短時(shí)，就是D=90時(shí)，連接AC，應(yīng)用余弦定理可以求得AC=221，并且可以求得cosCAB=217，從而求得sinCAB=277，從而求得sinCAD=sin(60-CAB)=32217-12277=714，利用平方關(guān)系求得cosCAD=32114，從而求得CD=221714=3，AD=22132114=9，所以四邊形的面積S=1239+1277437=3732，故答案是3732.學(xué)科&網(wǎng)8.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】在ABC 中，角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c若對任意R，不等式BC-BABC恒成立，則cb+bc的最大值為_【答案】29. 【2018屆百校聯(lián)盟高三TOP20四月聯(lián)考全國一卷】如圖，在ABC中，D,F分別為BC,AC的中點(diǎn)，ADBF，若sin2C=716sinBACsinABC，則cosC=_. 【答案】78【解析】分析：由正弦定理可得c2=716ab，結(jié)合向量垂直的充要條件和向量的線性運(yùn)算法則可得2b2-4c2-2bccosA=0，據(jù)此結(jié)合余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=78.詳解：設(shè)BC=a,AC=b,AB=c，由sin2C=716sinBACsinABC可得：c2=716ab，由ADBF可得：ADBF=AB+AC212AC-AB=0，整理可得：14AC2-12AB2-14ABAC=0，即14b2-12c2-14b