小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)思想的思考與舉例.doc

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)思想的思考與舉例周口市六一路小學(xué) 李紅英小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)思想的思考與舉例周口市六一路小學(xué) 李紅英各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師：大家上午好！首先感謝周口師院數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師給我提供這樣一個機(jī)會，讓我能非常榮幸的在這里和各位領(lǐng)導(dǎo)與同行進(jìn)行探討和交流。我只是一個來自教學(xué)一線的普通數(shù)學(xué)教師，今天在各位專家和各位優(yōu)秀的同行面前班門弄斧，不當(dāng)之處還請多多包涵！2001年在我國大范圍鋪開的義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷10個年頭之后于2011年正式結(jié)束，10年的探索與實(shí)驗(yàn)，為我們以后持續(xù)深入的推進(jìn)課程改革奠定了很好的基礎(chǔ)，同時，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）正式頒布 。在標(biāo)準(zhǔn)中，培養(yǎng)目標(biāo)在原有“雙基”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確提出了“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗(yàn)”的要求，這樣就把原來的“雙基”擴(kuò)展為“四基”，即：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)。下面，我就個人在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想方面的一些想法和做法與大家做一交流，不當(dāng)之處敬請各位專家與同行批評指正： 思考一：什么是數(shù)學(xué)的基本思想？數(shù)學(xué)的基本思想有哪些？作為一線教師，如果連自己都不知道或不清楚數(shù)學(xué)的基本思想是什么，那么在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想就無從談起，要想在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的基本思想，首先就應(yīng)該透徹的了解數(shù)學(xué)基本思想。我本人開始有意識的在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，大約是在六、七年前，起因有兩點(diǎn)： 一、多年的教學(xué)實(shí)踐中一直有一些困擾我的問題：當(dāng)教學(xué)和分類有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時，無論怎么強(qiáng)調(diào)，總有部分孩子會出現(xiàn)混淆現(xiàn)象，比如三角形的分類：按邊分可以分為等腰三角形和非等腰三角形，等腰三角形中又包含等邊三角形；按角分可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。但孩子們往往會把按不同標(biāo)準(zhǔn)分出的三角形混到一起，告訴你三角形可以分為等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形等，讓人哭笑不得。還有諸如五年級學(xué)習(xí)數(shù)的整除時，孩子們會把奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)進(jìn)行混搭。另外，很多老師可能都有同感：在教學(xué)一些稍復(fù)雜應(yīng)用題時，當(dāng)孩子們對題意理解出現(xiàn)困難的時候，如果把里面的相關(guān)信息換成諸如“蘋果、桔子”之類比較直觀的條件，孩子們接受起來就容易得多。無論哪一屆的學(xué)生，總會有部分孩子能非常熟練正確地解答課本習(xí)題，但一旦遇到稍有變化的題目就會無從下手。這些現(xiàn)象引起了我的深思：如果我們在課堂教學(xué)中有意識的經(jīng)常滲透一些相關(guān)思想方法，對于提高孩子們的思維能力是否有一定的幫助，結(jié)果會不會好一些呢？ 二、是從吳正憲老師的課堂教學(xué)中受到啟發(fā)。吳正憲老師是我們非常熟悉的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的專家，我相信在座的很多老師可能都聽過吳正憲老師的課。在她的十種教學(xué)策略中就有這樣兩種：“學(xué)有數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)和學(xué)會數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)”由此可見她對數(shù)學(xué)思想滲透的重視。我關(guān)注吳正憲老師的課堂教學(xué)，并在自己的課堂中進(jìn)行嘗試，但這些都還僅僅是膚淺的模仿。真正引發(fā)我深入思考數(shù)學(xué)思想的是2011年的一次聽課活動。2011年的11月，就在我們周口師院舉行的大學(xué)生教學(xué)技能大賽中，一位評委老師在答辯環(huán)節(jié)中向選手提出這樣一個問題：“作為一個數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該把數(shù)學(xué)思想方法的滲透貫穿到整節(jié)課的教學(xué)中，你認(rèn)為你是怎樣以本課內(nèi)容為載體，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想方法，是如何滲透的？”說實(shí)在話，我不知道這個問題帶給選手的是什么，但它對我的觸動很大！因?yàn)槲液芮宄喝绻沂沁x手，我不知道這個問題該如何回答；此外，這個問題的提出多少意味著教學(xué)改革的發(fā)展方向：向提高人的綜合素養(yǎng)上轉(zhuǎn)變而非僅僅著眼于知識和技能。作為一線教師，如果我們還墨守成規(guī)，就一定要落伍了。于是，我開始查閱大量有關(guān)數(shù)學(xué)思想的資料（包括在互聯(lián)網(wǎng)上進(jìn)行搜索），想對其有一個清楚的認(rèn)識，但很遺憾，我并沒有找到很系統(tǒng)的解釋，大多都是只說出其中的一部分?jǐn)?shù)學(xué)思想。也就在這個時候，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）頒布了，開始的時候，標(biāo)準(zhǔn)并沒有紙質(zhì)材料下發(fā)，只能在網(wǎng)上閱讀，而且不允許下載或打印。標(biāo)準(zhǔn)中明確提出了“數(shù)學(xué)的基本思想”，但沒有更為詳細(xì)的解釋，這更讓我感到了肩上沉重的壓力。不久，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀出版，這才讓我對數(shù)學(xué)思想有了一個清楚的認(rèn)識。在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀中，對于數(shù)學(xué)的基本思想做出了這樣的說明：“標(biāo)準(zhǔn)中所說的數(shù)學(xué)的基本思想主要指：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想?！蓖瑫r強(qiáng)調(diào)“這里在思想的前面加了基本二字，一方面強(qiáng)調(diào)其重要；另一方面也希望控制其數(shù)量?！绷硗?，除了標(biāo)準(zhǔn)解讀中提出的這三種基本思想之外，南開大學(xué)數(shù)學(xué)院顧沛教授還提出了數(shù)學(xué)審美的思想，我覺得也很有道理，這樣，數(shù)學(xué)的基本思想就有了四大類，即：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想和數(shù)學(xué)審美的思想。以上四種只是數(shù)學(xué)的基本思想，而由此演變、派生和發(fā)展出來的數(shù)學(xué)思想還有很多，這些具體的數(shù)學(xué)思想也恰恰是我們課堂教學(xué)中應(yīng)該滲透和讓學(xué)生感悟接受的，例如，由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的有：分類的思想，集合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，“變中有不變”的思想，符號的思想，對應(yīng)的思想，有限與無限的思想，等等。由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等。 由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機(jī)的思想，抽樣統(tǒng)計(jì)的思想，等等。由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來的有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等。 思考二：為什么要在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想？數(shù)學(xué)思想的滲透帶給學(xué)生的將會是什么?使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會學(xué)生必要的數(shù)學(xué)知識，但我們不能僅僅以教會知識為目的，而應(yīng)該在教會知識的過程中更多的讓學(xué)生去感悟、獲得數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想對人們認(rèn)識、分析和解決問題有非常重要的作用，它告訴人們怎樣思考、從什么角度去思考，它指引人們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的方法去透視事物、提出概念、解決問題。同時，它又能培養(yǎng)人們的抽象思維能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，為學(xué)生以后的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)?！皵?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓。” 在過去的教學(xué)中，我們過分的強(qiáng)調(diào)對“雙基”的掌握，這種強(qiáng)調(diào)使我們的大多數(shù)老師往往“以本為本”，而非“以人為本”，加上應(yīng)試教育的影響，使我們的老師在教學(xué)中往往只見“本”不見“人”，大大忽視了課堂教學(xué)中最主要的因素：學(xué)生。而新增的“兩基”就直接和人有關(guān)系，在很大程度上體現(xiàn)的是對人的重視。數(shù)學(xué)思想作為一種隱性的東西，雖然我們不容易對其進(jìn)行量化和考核，但正是這種隱性的東西，它卻能在很大程度上影響人的思想方法和思維模式。曾經(jīng)有人把數(shù)學(xué)思想說成是“把具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西”，這句話恰恰說明了數(shù)學(xué)思想對人思想方法的影響，尤其是對那些長大后不從事數(shù)學(xué)相關(guān)工作的學(xué)生，哪怕他忘記了所有的數(shù)學(xué)定理和公式，但在學(xué)習(xí)過程中獲得的數(shù)學(xué)思想一定會讓他受益終生。數(shù)學(xué)之所以被稱為“思維的體操”，也是對數(shù)學(xué)思想對人思維能力影響的高度概括，總之，數(shù)學(xué)思想是人們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的迫切需要！ 思考三：如何在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想？ 數(shù)學(xué)思想的滲透不是一朝一夕就能完成的，它需要一個長期的、堅(jiān)持不懈的過程。1、結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想的滲透不是孤立進(jìn)行的，它離不開具體的教學(xué)內(nèi)容。“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要載體，需要在課堂教學(xué)中花費(fèi)較多的時間，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的主線。”二者相輔相成、互相促進(jìn)，正因?yàn)槿绱?，決定了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)必須依附于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)。但并不是說每個知識點(diǎn)的教學(xué)都能滲透所有數(shù)學(xué)思想，滲透什么樣的數(shù)學(xué)思想還要結(jié)合具體內(nèi)容而定?！俺橄蟆笔菙?shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，數(shù)學(xué)抽象的思想貫穿了數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。我曾聽過一節(jié)一年級的數(shù)學(xué)課：7的認(rèn)識。在這節(jié)課中，老師先播放了一段白雪公主和7個小矮人的故事，引導(dǎo)孩子們數(shù)出故事中有7個小矮人；然后又出示教室內(nèi)打掃衛(wèi)生的場景，發(fā)現(xiàn)打掃衛(wèi)生的有7個小朋友；圖片上顯示的有7張桌子；教室墻上掛著7個茶杯等等。這時老師就告訴小朋友：“7個小矮人、7個小朋友、7張桌子、7個茶杯等都是一些具體的事物，我們的古人經(jīng)過長期觀察和思考就抽象出了數(shù)字7，他們都可以用7來表示?！痹谶@里，我覺得老師能結(jié)合具體場景告訴孩子“7”這個數(shù)字是從具體事物中抽象出來的，這樣很好。雖然這時可能孩子們還不能真正準(zhǔn)確的理解“抽象”一詞的含義，但多少會有一些印象，如果以后我們在教學(xué)中結(jié)合具體內(nèi)容持續(xù)給予積極的刺激，孩子們一定會對抽象思想有一個積極的認(rèn)識。如在稍后的計(jì)算教學(xué)中，可以結(jié)合“7條小魚+2條小魚=9條小魚，7朵花+2朵花=9朵花”告訴孩子們古人通過觀察和思考就抽象出“7+2=9”來；還有在“角的認(rèn)識”中引導(dǎo)學(xué)生人們從對樹杈、屋頂、剪刀等事物的觀察中通過思考就抽象出了“角”；在“圓的認(rèn)識”中啟發(fā)學(xué)生人們經(jīng)過長期的觀察和思考從太陽、月亮、車輪、水井等抽象出了“圓”等。相信通過結(jié)合合適的內(nèi)容，這樣長期的給予積極的滲透，“數(shù)學(xué)抽象的思想”一定能潛移默化的影響孩子們對具體事物的分析和判斷！ 由數(shù)學(xué)的抽象思想派生出來的分類思想更是貫穿了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。一年級上冊就安排了分類內(nèi)容，需要提出的是：根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，這時的分類教學(xué)主要是對一些具體的物體進(jìn)行，而且要在老師的引導(dǎo)下讓孩子們邊說邊動手操作，使孩子們明白分類是要有一定標(biāo)準(zhǔn)的，標(biāo)準(zhǔn)不同分出的類別也就不同，而且有共同特點(diǎn)的一類放在一起就構(gòu)成了一個集合，雖然在這里還不能出現(xiàn)集合這一名詞，但這種有意識的滲透對孩子以后感悟、掌握集合的思想是大有好處的。下面是一節(jié)一年級上冊分類這一課時的教學(xué)設(shè)計(jì)片段，我們可以感受一下教師在課堂教學(xué)中對這一數(shù)學(xué)思想的滲透。舉例：分類 活動一（分鉛筆） 孩子們，鉛筆是我們的好朋友，每天陪伴我們學(xué)習(xí)，記錄了我們學(xué)習(xí)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，今天老師就帶來了很多鉛筆（形狀、顏色、有無橡皮），已經(jīng)分發(fā)到各個小組?，F(xiàn)在以小組為單位，請把這些鉛筆進(jìn)行分類。（1）小組討論分類方案，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；（經(jīng)歷思考、交流的過程，體會分類是要有一定標(biāo)準(zhǔn)的）（2）引導(dǎo)學(xué)生分工合作，實(shí)踐操作并提醒學(xué)生分出的同一類的鉛筆要放在一起；（適時滲透集合思想）（3）分組匯報(bào)，說明分類方法； 生1：我們是按顏色分的 生2：我們是按長短分的 （4）匯報(bào)，豐富學(xué)生認(rèn)識，讓學(xué)生體驗(yàn)不同標(biāo)準(zhǔn)下分類結(jié)果的多樣性。（在這個活動中，老師通過讓學(xué)生看一看、說一說、分一分、擺一擺，利用多種感官充分讓學(xué)生自己動手操作，有利于對分類的理解，突破了難點(diǎn)。讓學(xué)生把同類鉛筆放在一起實(shí)際是形成了一個集合，以此滲透集合思想。此環(huán)節(jié)采取了合作互動的方式，讓學(xué)生在相互交流中受到別人的啟發(fā)，培養(yǎng)了學(xué)生的語言表達(dá)能力和與人合作的意識，同時這也是思維內(nèi)化的過程，是外在的形象思維向內(nèi)在的邏輯思維轉(zhuǎn)換的過程。學(xué)生在小組交流匯報(bào)時，多種分法的呈現(xiàn)，拓寬學(xué)生的思維，豐富了分類方法，體現(xiàn)了集體的智慧，呈現(xiàn)了不同標(biāo)準(zhǔn)下分類的多樣性。） 活動二（分圖片） 同學(xué)們剛才在分鉛筆的過程中表現(xiàn)得真不錯，現(xiàn)在老師帶來了一些水果圖片準(zhǔn)備獎給一些表現(xiàn)突出的同學(xué)，（課件出示圖片）你能幫我先給分分類嗎？ （1）學(xué)生獨(dú)立完成； （2）小組內(nèi)說說自己的分類方法； （3）指名讓學(xué)生口述自己的分類方法（教師獎給水果圖片）。（這一活動的設(shè)計(jì)主要因?yàn)橐荒昙墝W(xué)生以形象思維為主，學(xué)生直觀的以物體的種類、顏色過渡到圖片的形狀，多角度的思考分類方法，有助于學(xué)生理解不同標(biāo)準(zhǔn)下分類結(jié)果的多樣性，較好的發(fā)展學(xué)生的思維。）分類思想在中高年級的課程中出現(xiàn)更多，如：角的分類，三角形的分類，數(shù)的分類等等，只要我們能結(jié)合具體內(nèi)容適時準(zhǔn)確的讓學(xué)生感悟、理解這一思想，就一定能為學(xué)生以后的發(fā)展奠定一個良好的基礎(chǔ)！轉(zhuǎn)換化歸的思想在高年級教學(xué)中非常有用，例如一些平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，往往是把新圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形，從而得到新圖形的面積計(jì)算公式（如在教學(xué)平行四邊形的面積計(jì)算公式時，我們往往都是利用割補(bǔ)法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，然后通過比較平行四邊形的底和高與長方形的長和寬的關(guān)系，由長方形的面積公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，在這一過程中，我們可以向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想、類比的思想和推理的思想；還有三角形和梯形的面積公式推導(dǎo)也是把這兩種圖形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，進(jìn)而得到面積計(jì)算方法。）；在進(jìn)行不規(guī)則圖形面積計(jì)算教學(xué)時，擁有轉(zhuǎn)化思想的同學(xué)更是顯現(xiàn)出了較強(qiáng)的解題能力。在進(jìn)行這部分教學(xué)時，我曾給學(xué)生出過這樣一道題： 如圖：已知大正方形邊長為7cm,小正方形邊長為5 cm，求陰影部分的面積。 由于平時有意識的滲透，班內(nèi)很多學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想并不陌生，很快，有部分學(xué)生就給出了答案：552=12.5（cm2）。為此，我曾以此為例寫過一篇短文刊登在學(xué)校的校報(bào)上，全文如下：巧用轉(zhuǎn)化，化繁為簡 轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，只要運(yùn)用得當(dāng)，往往能把復(fù)雜繁瑣的計(jì)算過程進(jìn)行簡化，收到意想不到的效果?，F(xiàn)就高年級一道組合圖形面積的題目為例，來體會這種數(shù)學(xué)思想方法在解答問題中的妙用。如圖：已知大正方形邊長為7cm,小正方形邊長為5 cm， 求陰影部分的面積。常規(guī)做法是： 小正方形的面積：55=25（cm2） 大正方形的面積：77=49（cm2） 三角形ABD的面積：252=12.5（cm2）或552=12.5（cm2） 三角形DEF的面積：(7-5) 72=7（cm2） 三角形BGF的面積：(7+5) 72=42（cm2） 陰影部分的面積：25+49-12.5-7-42=12.5（cm2）轉(zhuǎn)化思想：三角形BGF的面積：(7+5) 72=42（cm2） 梯形CDFG的面積：(7+5) 72=42（cm2） 因此可知三角形BCH與三角形HDF面積相等，那么陰影部分面積就轉(zhuǎn)化為三角形BCD的面積，即是小正方形面積的一半：252=12.5（cm2） 像這樣通過轉(zhuǎn)化使計(jì)算簡便的例子在數(shù)學(xué)中還有很多，愿和老師們一起探索交流！ 轉(zhuǎn)換化歸思想除了在圖形與幾何領(lǐng)域有著廣泛的體現(xiàn)和應(yīng)用，在其它各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有體現(xiàn)，如在進(jìn)行小數(shù)四則運(yùn)算教學(xué)時，由于小數(shù)同整數(shù)一樣同屬十進(jìn)數(shù)，我們就可以先把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)從而推導(dǎo)出小數(shù)四則計(jì)算方法；異分母分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算也是轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)后再進(jìn)行計(jì)算的，等等，在這些計(jì)算的推導(dǎo)過程中，還可同時滲透類比的思想和推理的思想。所以，在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該深度挖掘教材，適時滲透并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用這種思想，達(dá)到提高學(xué)生解決問題的目的。2009年在河南省教育學(xué)會小學(xué)實(shí)驗(yàn)研究專業(yè)委員會許昌年會的學(xué)術(shù)交流活動中，我有幸上了一節(jié)觀摩課故事中的數(shù)學(xué)，這是一節(jié)實(shí)踐應(yīng)用課，在這節(jié)課中我借助一則小故事曹沖稱象，向?qū)W生適時滲透了這種思想，收到良好效果。 “數(shù)學(xué)優(yōu)化思想”是由數(shù)學(xué)模型思想派生出來的一種重要思想方法，利用優(yōu)化思想可以有效地分析和解決問題。因此，我們應(yīng)該結(jié)合教材內(nèi)容，在具體的學(xué)習(xí)活動中滲透這種數(shù)學(xué)思想。下面是“找次品”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們來體會一下其中對優(yōu)化思想的滲透。找次品一、創(chuàng)設(shè)情境、激發(fā)興趣。 1.師：大家平時愿意幫助別人嗎？老師遇到一個問題，你們愿意幫忙嗎？ 2.師：最近老師買了3瓶相同的鈣片，(出示三個鈣片瓶)其中有1瓶我吃掉了幾粒，這瓶比其他的要怎么樣？（輕一些）我不注意將這瓶鈣片和另外兩瓶混在了一起。你能幫老師把吃過的那瓶鈣片找出來？ 學(xué)生介紹各種方法。（可以數(shù)數(shù)，用手掂一掂，用天平稱） 3.師：大家?guī)臀艺业搅诉@么多方法解決問題，你認(rèn)為哪種方法好，為什么？（用天平稱好）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解決問題的方法是多種多樣的，但通常都有一種最有效最簡便的方法，我們把它叫做最優(yōu)化的方法，下面就讓我們帶著優(yōu)化的思想走進(jìn)課堂。 二、初步認(rèn)識“找次品”的基本原理 1、自主探索。 師：既然大家認(rèn)為用天平稱是最好的方法，怎樣用天平找出這瓶鈣片？我們就用雙手來模擬天平，誰愿意到前邊來說說自己的想法？學(xué)生匯報(bào)方案。 師據(jù)生回答板書：3（1，1，1） 1次 師：你們真聰明！在生活中我們常常會遇到這樣的情況，在一些外觀看似相同的物品中，混著一個質(zhì)量不同輕一點(diǎn)或重一點(diǎn)的物品，需要我們想辦法把它找出來，像這類問題我們把它叫做“找次品”，今天我們就一起研究如何使用天平來“找次品”。 2、剛才大家很容易就從3瓶中找到了次品，如果是5瓶鈣片，你還能用天平將那個次品找出來嗎？請你把自己的想法借助學(xué)具擺一擺與同桌討論交流。在交流時注意說清以下問題： （1）你把待測物品分成幾份？每份是多少？ （2）天平兩端各放幾個？ （3）假如天平平衡，次品在哪里？假如天平不平衡，次品又在哪里？ （4）至少稱幾次就一定能找出次品來？ 學(xué)生匯報(bào)演示 （學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)踐情況，會出現(xiàn)兩種方案：是一個一個的稱，需要稱2次；是在天平的兩邊各放2個，也需要稱2次。在這里不急著評價哪種方法最好，只是讓學(xué)生初步感知方法的多樣性，為下個環(huán)節(jié)的探究做好鋪墊）三、從多種方法中，尋找“找次品”的最佳方案 師：“大家都很聰明，能在5個藥瓶里找出那個次品來。那你能不能解決下面的問題呢？” 1、課件出示例2 在9個零件里有1個是次品，（次品重一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？ （1）、師：這次的次品有什么不同？（次品重一些）請各組同學(xué)用學(xué)具代替零件模擬用天平稱一稱，小組長在紙上記錄你們的操作過程，現(xiàn)在開始。（學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)。） （2）師：誰愿意把你們小組的學(xué)習(xí)成果向同學(xué)們匯報(bào)一下？ 師據(jù)生回答板書： 零件個數(shù)分的份數(shù)和分法保證能找到次品的次數(shù)93，（4,4,1）393，（3,3,3）299，（1,1,1,1,1,1,1,1,1）495，（2,2,2,2,1）397，（2,2,1,1,1,1,1）494，（2,2,2,3）396，（2,2,2,1,1,1）49（設(shè)計(jì)意圖：小組匯報(bào)時將學(xué)生的各種方法展示出來，使學(xué)生進(jìn)一步理解并初步掌握這種分析方法。待測物品數(shù)量為9個時，只有平均分成3份稱才能保證2次就找到次品，其他任何一種分法都比2次要多，這樣便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。） 2、觀察分析，尋找規(guī)律。 師：哪種方法最好？為什么？ 師：這種方法我們把被測物品分成幾份？（分成三份）（4，4，1）也是分成了三份，與這種方法有什么不同？（每份同樣多，是平均分）你能得出什么結(jié)論？得出結(jié)論：平均分成三份保證找到次品所用次數(shù)最少。 師：對于他的結(jié)論你有什么質(zhì)疑？（平均分三份的方法在其他數(shù)中也適合嗎？） 師：要想知道結(jié)論是否正確怎么辦？（用其他數(shù)再試試） 那我們就驗(yàn)證一下。還有哪些數(shù)也可以平均分成三份？（12、15、18）為了驗(yàn)證方便，咱們來選12試一試。12可以分成幾份？怎樣分？（各組說說分法）請選擇一種試一試至少需要稱幾次才能保證把次品找出來。 師：哪組將12平均分成3份，至少需要稱幾次才能保證把次品找出來？（板書：12 （4，4，4） （3次） ）有沒有一種方法比3次更少。（沒有）按照上面的猜想，將12平均分成3份，保證找到次品的方法是最好。大家同意嗎？ 學(xué)生自由發(fā)言 師引導(dǎo)：被測物能平均分3份時，怎樣保證找出一個次品所用次數(shù)最少？ 學(xué)生總結(jié)（把被測物平均分成三份） 師：本節(jié)課我們找的次品都是幾個？（1個）并且已知了次品重或輕，我們用了什么工具？（天平）當(dāng)被測物能平均分3份時，怎樣做？（平均分成3份），保證找出次品所用次數(shù)最少。 出示規(guī)律：物品外觀都相同，一個次品混其中，已知質(zhì)量輕或重。若用天平稱一稱，數(shù)量平均分三份，次數(shù)最少保證行。 （設(shè)計(jì)意圖:充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生通過對比，自悟出找次品的最優(yōu)方案，體會解決問題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化的方法解決問題的有效性。）類似的案例還有很多，課程改革之后，教材在編排上也呈現(xiàn)了大量適合滲透數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容，我們應(yīng)該積極的進(jìn)行挖掘和利用。如，進(jìn)行計(jì)算教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，有計(jì)算就一定有推理，可以滲透數(shù)學(xué)推理的思想；加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，分析問題，進(jìn)而解決問題，這實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)建模的過程，可以滲透模型思想，比如新增的“數(shù)學(xué)廣角”中的部分內(nèi)容，烙餅問題、雞兔同籠問題等；還有應(yīng)用常見數(shù)量關(guān)系（速度、時間、路程，單價、數(shù)量、總價等）解決問題，可以通過推導(dǎo)公式滲透符號思想，推理思想、轉(zhuǎn)換思想等；通過圖形的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)的教學(xué)滲透數(shù)學(xué)審美的思想等等。2、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)思想。 數(shù)學(xué)思想的形成需要一定的過程，只有經(jīng)歷問題解決的過程，學(xué)生才能真正感悟數(shù)學(xué)思想，體會數(shù)學(xué)思想的作用、理解數(shù)學(xué)思想的精髓，才能做到知識的有效遷移、形成能力。 下面以兩個課例說明這一觀點(diǎn)：課例1、 可能性的大小(一)1、 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤猜一猜。教師：同學(xué)們，喜歡玩轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤游戲嗎？學(xué)生：喜歡。教師：老師這兒有一個轉(zhuǎn)盤，（課件出示圖1）如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，請你猜一猜，指針可能停在哪兒呢？學(xué)生猜測：可能停在紅色區(qū)域，也可能停在黃色區(qū)域。教師：也就是說有幾種可能？學(xué)生：2種教師：下面，老師換一個轉(zhuǎn)盤（課件出示圖2）如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，請你猜一猜，指針可能停在哪兒呢？學(xué)生猜測：可能停在紅色區(qū)域，也可能停在黃色、藍(lán)色、綠色區(qū)域。有4種可能的結(jié)果。教師：這次，老師再換一個轉(zhuǎn)盤（課件出示圖3）如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，請你猜一猜，指針可能停在哪兒呢？有幾種可能出現(xiàn)的結(jié)果？為什么？學(xué)生猜測：可能停在紅色區(qū)域，也可能停在黃色、藍(lán)色、綠色區(qū)域。有4種可能的結(jié)果。教師：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后，指針最有可能停在哪種顏色上呢？為什么？（最有可能停在紅色區(qū)域，因?yàn)樗嫉姆輸?shù)多些，占的面積要大些；停在綠色區(qū)域的可能性最小，因?yàn)樗嫉姆輸?shù)少些，占的面積要小些。）教師：也就是說可能性的大小與面積的大小有關(guān)，對不對？圖3圖2圖12、 組織活動，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤驗(yàn)證。教師：剛才同學(xué)們對轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動以后可能出現(xiàn)的結(jié)果和停在哪個區(qū)域的可能性大小進(jìn)行了猜測，大家猜的對不對呢？這個謎底還是讓我們通過實(shí)驗(yàn)來揭曉。學(xué)生小組合作進(jìn)行驗(yàn)證。課件出示合作要求：按規(guī)則每組每個同學(xué)輪流轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤，將每次轉(zhuǎn)出的結(jié)果填在記錄表1中。綠色藍(lán)色黃色紅色表1教師巡視指導(dǎo)。教師：試驗(yàn)的結(jié)果和你猜想的一樣嗎？你有什么想法？全班交流，老師把各組匯報(bào)的結(jié)果填在表2中。綠色藍(lán)色黃色紅色6組5組4組3組2組1組表2教師：看到這個表格，你能發(fā)現(xiàn)什么？可能會出現(xiàn)兩種不同的情況：（1）各組數(shù)據(jù)都是紅色的多，黃色的少。（2）個別組出現(xiàn)了其它顏色比紅色多的情況。若出現(xiàn)第一種情況，教師追問：為什么都是轉(zhuǎn)到紅色區(qū)域的次數(shù)要多些呢？引導(dǎo)學(xué)生說出：因?yàn)榧t色區(qū)域占的面積要大些。教師：占的面積與可能性的大小有什么關(guān)系呢？引導(dǎo)學(xué)生說出：占的面積越大，可能性就越大；占的面積越小，可能性就越小。如果出現(xiàn)第二種情況，則按以下教學(xué)：教師：他們組為什么會出現(xiàn)跟其它組不一樣的情況呢？出現(xiàn)這種情況后我們該怎么辦？（把各組的次數(shù)加起來，求出每種顏色的合計(jì)數(shù)。）教師：觀察各組的結(jié)果和全班的結(jié)果，都是轉(zhuǎn)到紅色的可能性大，和我們猜想的一樣嗎？(一樣)教師小結(jié)：以上我們通過猜測、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤可能性的大小與占的面積的大小有關(guān)，占的面積越大，事件發(fā)生的可能性就越大，反之，就越小。教師：如果再轉(zhuǎn)一次，指針可能落在哪個區(qū)域呢？落在哪個區(qū)域的可能性大一些呢？（4種顏色的區(qū)域都有可能，但落在紅色區(qū)域的可能性大一些）（這個教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，一是讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證這樣一個完整的認(rèn)知過程，依靠學(xué)生自身的努力完成對可能性大小的認(rèn)知，進(jìn)而滲透隨機(jī)的思想，讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和數(shù)據(jù)較多時的穩(wěn)定性；二是想通過對轉(zhuǎn)盤的改動，使學(xué)生的認(rèn)知活動