總結(jié)16種求極限.doc

總結(jié)16種求極限 首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。 樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。 為什么第一章如此重要？各個章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。 函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個方面首先對極限的總結(jié)如下極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致1極限分為一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）2解決極限的方法如下（我能列出來的全部列出來了！你還能有補充么？）1等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方1或者（1+x）的a次方1等價于Ax等等。 全部熟記（x趨近無窮的時候還原成無窮?。?落筆他法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！必須是X趨近而不是N趨近?。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮?。┍仨毷呛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。┍仨毷?比0無窮大比無窮大！當(dāng)然還要注意分母不能為0落筆他法則分為3中情況10比0無窮比無窮時候直接用20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。 通項之后這樣就能變成1中的形式了30的0次方1的無窮次方無窮的0次方對于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要特變注意?。〦的x展開sina展開cos展開ln1+x展開對題目簡化有很好幫助4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法取大頭原則最大項除分子分母！看上去復(fù)雜處理很簡單！5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。 面對非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。 7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化102個重要極限的應(yīng)用。 這兩個很重要！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。 地2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應(yīng)的形式（地2個實際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時候要特別注意可能是用地2個重要極限）11還有個方法，非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）!當(dāng)x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了12換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。 一般是從0到1的形式。 15單調(diào)有界的性質(zhì)對付遞推數(shù)列時候使用證明單調(diào)性！16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）（當(dāng)題目中告訴你F (0)=0時候f （0）導(dǎo)數(shù)=0的時候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。┖瘮?shù)是表皮函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。 還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱偶函數(shù)關(guān)于軸對稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致3復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系4還有個單調(diào)性。 (再求0點的時候可能用到這個性質(zhì)?。梢詫?dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）:o再就是總結(jié)一下間斷點的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點是對于間斷函數(shù)而言的）間斷點分為第一類和第二類剪斷點1第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值可取的間斷點地二類間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點（這也說明極限即是不存在也有可能是有界的）:o下面總結(jié)一下求極限的一般題型1求分段函數(shù)的極限當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！當(dāng)X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的！2極限中含有變上下限的積分如何解決類？說白了就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！解決辦法1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了這不是很容易么？但是！有2個問題要注意！問題1積分函數(shù)能否求導(dǎo)？題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯誤的！問題2被積分函數(shù)中既含有T又含有x的情況下如何解決？解決1的方法就是方法2微分中值定理！微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號！解決2的方法當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)！當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系，就要換元了?。〒Q元的時候積分上下限也要變化！）3求的是數(shù)列極限的問題時候夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候就考慮x趨近的時候函數(shù)值，數(shù)列極限也滿足這個極限的當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時候首先判斷數(shù)列極限存在極限的方法是用的單調(diào)有界的定理。 判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義！應(yīng)為是離散的只能用前后項的比較（前后項相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對xn與xn+1兩邊同時求極限，就能出結(jié)果了！4涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求數(shù)和位置函數(shù)的問題解決辦法主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。 應(yīng)為例如當(dāng)x趨近0時候f（x）比x=3的函數(shù)，分子必須是無窮小否則極限為無窮還有落筆他法則的應(yīng)用，主要是應(yīng)為當(dāng)數(shù)有幾個時候，使用落筆他法則可以消掉模些數(shù)，求其他的數(shù)5極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)但是不太會！:o最后總結(jié)一下間斷點的題型首先遇見間斷點的問題連續(xù)性的問題復(fù)合函數(shù)的問題，在莫個點是否可導(dǎo)的問題。 主要解決辦法是3個一個是畫圖，你能畫出反例來當(dāng)然不可以了你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的！我就畫圖！我要能畫出來當(dāng)然是對的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)?。ㄔ谶@里尤其要注意分段函數(shù)?。ɡ绶侄魏瘮?shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個性質(zhì)就比較特殊！應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）方法2就是舉出反例?。ㄔ谶@里也是尤其要注意分段函數(shù)！）例如一個函數(shù)是個離散函數(shù)還有個也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的類？答案是NO舉個反例就可以了方法3上面的都不行那就只好用定義了主要是寫出公式，連續(xù)性的公式求在抹一點的導(dǎo)數(shù)的公式:o最后了總結(jié)一下函數(shù)在抹一點是否可導(dǎo)的問題1首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對值函數(shù)在（0，0）不可導(dǎo)，我的理解就是不可導(dǎo)=在這點上圖形不光滑。 可導(dǎo)一定連續(xù)，應(yīng)為他有個前提，在點的領(lǐng)域內(nèi)有定義，假如沒有這個前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等1主要考點1函數(shù)在抹一點可導(dǎo)，他的絕對值函數(shù)在這點是否可導(dǎo)？解決辦法記住函數(shù)絕對值的導(dǎo)數(shù)等于f（x）除以（絕對值（f（x）再乘以F（x）的導(dǎo)數(shù)。 所以判斷絕對值函數(shù)不可導(dǎo)點，首先判斷函數(shù)等于0的點，找出這些點之后，這個導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時候，絕對值函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)是無窮，所以絕對值函數(shù)在這些點上是不可導(dǎo)的啊考點2處處可導(dǎo)的函數(shù)與在抹一些點不可以導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個函數(shù)的不可導(dǎo)點的判斷直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的