人教A版選修22 第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 教案1.doc

教學(xué)設(shè)計(jì)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)習(xí)課教材分析復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，這不僅使學(xué)生對(duì)數(shù)的概念有一個(gè)初步的完整的認(rèn)識(shí)，也為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)通過前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)復(fù)數(shù)的基本概念，基本運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義等幾個(gè)不同的方面有了了解，本節(jié)的復(fù)習(xí)將使學(xué)生在問題情景中進(jìn)一步了解數(shù)系擴(kuò)充的過程和引入復(fù)數(shù)的必要性，以及用復(fù)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題的基本方法，復(fù)數(shù)與以前學(xué)習(xí)的知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)的理解，體會(huì)實(shí)際需要與數(shù)學(xué)內(nèi)容的矛盾課時(shí)分配1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)理解復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算的幾何意義，復(fù)數(shù)模的概念及其應(yīng)用過程與方法目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想意識(shí)情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過對(duì)本章的復(fù)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于開拓進(jìn)取的良好品質(zhì)，從而形成全面且細(xì)致的思維習(xí)慣重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的充要條件難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義以及對(duì)復(fù)數(shù)的模的理解應(yīng)用提出問題問題1：通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)將數(shù)系由實(shí)數(shù)擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)，誰(shuí)來(lái)將前面學(xué)習(xí)的有關(guān)復(fù)數(shù)的內(nèi)容描述一下？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，5秒后找一位同學(xué)口答，其他同學(xué)可以補(bǔ)充活動(dòng)成果：復(fù)數(shù)提出問題問題2：(1)計(jì)算_；(2)若mpi2p(1m)i，則m_，p_(m，pr)；(3)若復(fù)數(shù)z12i，則|z|_，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量_.活動(dòng)設(shè)計(jì)：找一個(gè)學(xué)生到黑板上做，然后一起對(duì)答案活動(dòng)成果：(1)i(2)(3)(1,2)設(shè)計(jì)意圖通過問題1、2，從理論和實(shí)踐兩個(gè)方面回顧復(fù)數(shù)的基本內(nèi)容 類型一：復(fù)數(shù)的基本概念例1設(shè)mr，復(fù)數(shù)z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z為實(shí)數(shù)，則m_.(2)若z為純虛數(shù)，則m_.思路分析：復(fù)數(shù)abi(a，br)包括實(shí)數(shù)(b0)和虛數(shù)(b0)，其中虛數(shù)中a0的數(shù)是純虛數(shù)解：首先整理得：z(2m23m2)(m23m2)i.在(1)中z為實(shí)數(shù)，則m23m20，即m1或m2.在(2)中z為純虛數(shù)，則2m23m20且m23m20，即m.點(diǎn)評(píng)：解決這類問題，首先把z化成“zabi”的形式，分清虛部和實(shí)部若題目條件中直接指明z為“虛數(shù)”，此時(shí)我們可設(shè)zabi(a，br)；若指明z是純虛數(shù)，則可設(shè)zbi(br且b0)即可注意設(shè)復(fù)數(shù)的同時(shí)一定加入必需的條件鞏固練習(xí)已知ar，復(fù)數(shù)z(a22a15)i，當(dāng)a為何值時(shí)，z分別為：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y9上？答案：(1)5.(2)a5且a3.(3)0.(4)4或6.類型二：復(fù)數(shù)相等的充要條件例2已知集合a(m3)(n21)i，8，集合b3i，(m21)(n2)i，滿足aba，ab，求整數(shù)m，n.思路分析：由aba，可知這兩個(gè)集合有一個(gè)公共元素(m3)(n21)i或8，即(m3)(n21)i3i或8(m21)(n2)i，或(m3)(n21)i(m21)(n2)i.解：依題意，當(dāng)(m3)(n21)i3i，即m30，n213.解得m3，n2.經(jīng)檢驗(yàn)m3，n2時(shí)，(m21)(n2)i8不合題意，舍去所以有m3，n2.當(dāng)8(m21)(n2)i時(shí)，有m218，n20.可解得m3，n2.但m3，n2時(shí)，(m3)(n21)i3i不合題意，舍去所以有m3，n2.當(dāng)(m3)(n21)i(m21)(n2)i時(shí)，有m3m21，n21n2，此時(shí)m，n無(wú)整數(shù)解，不合題意綜合以上得m3，n2或m3，n2.點(diǎn)評(píng)：此題中復(fù)數(shù)之間的等量關(guān)系并未直接給出，而是通過集合之間的關(guān)系間接給出，因此復(fù)習(xí)時(shí)注意知識(shí)之間的相互聯(lián)系，也要注意思維的廣闊性和嚴(yán)謹(jǐn)性鞏固練習(xí)已知集合m1,2，(a23a1)(a25a6)i，n1,3，mn3，則實(shí)數(shù)a_.答案：1類型三：復(fù)數(shù)的基本四則運(yùn)算例3求值：(1)已知復(fù)數(shù)z與(z3)218i均是純虛數(shù)，則z_.(2)已知z243i，則z38z_.思路分析：在(1)中可設(shè)zbi(br且b0)，將z代入(z3)218i中求得b的值在(2)中可由z243i求得z以后，再將z代入z38z中求值，也可化簡(jiǎn)z38z后再求值解：(1)設(shè)zbi(br且b0)，則(z3)218i(bi3)218i(9b2)(6b18)i.由(z3)218i為純虛數(shù)，所以9b20且6b180，所以有b3，即z3i.(2)z38z.又由z243i，得z(i)，|2|z|2|43i|5，(i)原式等于i或i.點(diǎn)評(píng)：在解決復(fù)數(shù)計(jì)算問題時(shí)，應(yīng)該先審清題意，尤其是對(duì)有條件的求值問題，先審清題意，然后找準(zhǔn)切入點(diǎn)，逐步化簡(jiǎn)求值鞏固練習(xí)()2 012.答案：1i.類型四：復(fù)數(shù)的幾何意義例4已知復(fù)數(shù)|z1|z2|3，|z1z2|4，求|z1z2|的值思路分析：這里可以先把z1、z2、z1z2和z1、z2、z1z2兩組復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別組成兩個(gè)三角形，再借助余弦定理求解解：設(shè)z1對(duì)應(yīng)向量，z2對(duì)應(yīng)向量，則z1z2對(duì)應(yīng)向量.cosaob.設(shè)z1z2對(duì)應(yīng)向量，則.|z1z2|2|2|2|22|cosobc|z2|2|z1|22|z2|z1|cosaob20.|z1z2|2.點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的幾何意義體現(xiàn)在將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)或向量的問題，也就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想變式練習(xí)已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|的值(用代數(shù)和幾何兩種方式求解)答案：.拓展實(shí)例例5已知zm1mi(mr)，求|z|的最值思路分析：可以先將|z|整理出來(lái)轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的最值問題，還可以轉(zhuǎn)化為幾何問題，即z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在哪里才能使z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大或最小的問題解：代數(shù)法：因?yàn)閨z|，所以當(dāng)m時(shí)，|z|min，但|z|無(wú)最大值幾何法：如下圖所示，設(shè)zxyi，則有xm1，ym，則xy10，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z在直線xy10上因?yàn)閨z|的幾何意義是表示z點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因此|z|就是xy10上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|z|的最小值就是原點(diǎn)到直線xy10的最短距離d，顯然無(wú)最大值點(diǎn)評(píng)：充分運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義，將模的最值問題轉(zhuǎn)化為距離的最值問題變式練習(xí)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(1)以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上；(2)以(1,1)為圓心，半徑為1的圓上；(3)以(3,0)，(3,0)為焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，分別寫出滿足上述條件的z的表達(dá)式答案：(1)|z|1；(2)|z(1i)|1；(3)|z3|z3|10.變練演編提出問題：(1)當(dāng)|z11i|1時(shí)，可以提出什么問題？(2)當(dāng)|z11i|1，zm1mi，mr時(shí)，可以提出什么問題？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生可先獨(dú)立探索，后互相交流學(xué)情預(yù)測(cè)：(1)例如：求|z13i|的范圍幾何方法：如圖，由|z11i|1可知，z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z在以c(1,1)為圓心，1為半徑的圓c上，那么|z13i|就是點(diǎn)a(3,1)與圓c上的點(diǎn)z的連線的距離，所以|z13i|的最大值為|ac|13，最小值為|ac|11.所以|z13i|的范圍為1,3代數(shù)方法：設(shè)z1abi，則|z11i|1可轉(zhuǎn)化為(a1)2(b1)21，就可以得到|z13i|.因復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z(a，b)在圓(x1)2(y1)21上，故0a2.所以當(dāng)a0時(shí)，|z13i|有最大值3；當(dāng)a2時(shí)，|z13i|有最小值1.所以|z13i|的范圍為1,3(2)例如：求|z1z|的最小值(答案：1)對(duì)于(1)或(2)的問題和答案可以很多，教師可以選有代表性的或有共性的例子拿來(lái)討論設(shè)計(jì)意圖加深對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)和幾何含義的理解，增強(qiáng)題目的趣味性，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，加深對(duì)前面知識(shí)的理解，考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力 達(dá)標(biāo)檢測(cè)1設(shè)z134i，z223i，則z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限2設(shè)o是原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()a55i b55i c55i d55i3(1i)2i等于()a22i b22i c2 d24復(fù)數(shù)(1)2的值是()a2i b2i c2 d2答案：1.d2.d3.d4.b學(xué)生獨(dú)立思考后，概括對(duì)復(fù)數(shù)這一章節(jié)的認(rèn)識(shí)，教師最后補(bǔ)充(1)深刻理解復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何表示，對(duì)概念的理解上要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想(2)掌握復(fù)數(shù)的分類，明確“復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化”是解決問題的最基本的思想方法，在解決復(fù)數(shù)問題時(shí)，充分利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)相等的充要條件(3)代數(shù)形式的加、減、乘、除四則運(yùn)算的運(yùn)算法則類似于合并同類項(xiàng)，乘法法則類似于多項(xiàng)式的乘法法則，除法的主要內(nèi)容是分母實(shí)數(shù)化復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)有密切聯(lián)系但又有區(qū)別，要特別注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則和性質(zhì)是否在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)用補(bǔ)充練習(xí)中的2、3題基礎(chǔ)練習(xí)1設(shè)復(fù)數(shù)z12i，z213i，則復(fù)數(shù)的虛部等于_答案：1.1拓展練習(xí)2已知ar，br,2ai和bi(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2pxq0的兩個(gè)根，那么p，q的值分別是多少？3若復(fù)數(shù)z滿足|z3|，求|z(14i)|的最大值和最小值提示：2.根據(jù)韋達(dá)定理：x1x2p2aibi，所以有p2b且a10；x1x2q(2ai)(bi)(2ba)(ab2)i，所以有ab20，q2ba.由此可得p，q的值3可利用幾何意義：因?yàn)闈M足條件|z3|的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z都在以a(3,0)為圓心，為半徑的圓c內(nèi)和圓c上，因此求|z(14i)|的最值可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)a(1,4)到圓c內(nèi)或圓c上哪個(gè)點(diǎn)的距離最大和最小的問題答案：2.p4，q5.3最大值為|ac|3，最小值|ac|.這一節(jié)課是復(fù)習(xí)課，在開始設(shè)計(jì)兩個(gè)問題的目的是引領(lǐng)同學(xué)們復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)，形成這一章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，后又以典型例題為主，鞏固或變式練習(xí)為輔，層層展開，步步深入，來(lái)復(fù)習(xí)這一章中涉及到的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，展現(xiàn)多種不同的題型以及各自的解答方式與解答規(guī)律因?yàn)槭菑?fù)習(xí)課，所以在復(fù)習(xí)基本題型的同時(shí)，也把復(fù)數(shù)問題進(jìn)一步升華提高這樣不但加深了同學(xué)們對(duì)知識(shí)的理解，也更好地提高同學(xué)們分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性和深刻性等良好的思維品質(zhì)同時(shí)展示數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，展現(xiàn)復(fù)數(shù)無(wú)窮的魅力復(fù)數(shù)的起源與擴(kuò)張16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)(jerome cardan15011576)在1545年發(fā)表的重要的藝術(shù)一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”他第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中，并且在討論是否能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40.他把答案寫成40，盡管他認(rèn)為和這兩個(gè)表示式是沒有意義的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40.給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾(15961650)，他在幾何學(xué)(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來(lái)數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星虛數(shù)，引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家不承認(rèn)虛數(shù)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(16461716)在1702年說(shuō)：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛(16671754)在1730年發(fā)現(xiàn)著名的棣莫佛定理歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用i來(lái)表示1的平方根，首創(chuàng)了i作為虛數(shù)的單位“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來(lái)的，它是確實(shí)存在的挪威的成塞爾(17451818)在1779年試圖給予這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視德國(guó)數(shù)學(xué)家阿甘得(17771855)在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示在平面直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)a，縱軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)b，并過這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)c就表示復(fù)數(shù)abi.像這樣，由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來(lái)又稱“阿甘得平面”高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組(a，b)代表復(fù)數(shù)abi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也像實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合，統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數(shù)不虛呵！虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中的一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來(lái)越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性人們沒有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新的征程在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺隨著勇