數(shù)學(xué)建模——創(chuàng)意折疊桌.doc

創(chuàng)意平板折疊桌摘要本文針對給出創(chuàng)意平板折疊桌的桌子高度和桌面直徑，為得出最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)以及最優(yōu)選材等問題建立數(shù)學(xué)模型并求解。針對問題一，定義圓的弦長方向與木板的長度方向平行，利用弦長公式計算出除最外圍木條其余圓周內(nèi)木條的長度，將所求的木條長度導(dǎo)入到軟件中使用方式擬合曲線，求出最外圍木條的長度。為描述動態(tài)變化過程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿與桌子高度間的夾角變換客觀明確的表現(xiàn)出折疊過程中的動態(tài)變化。根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)以及桌腳邊緣線。針對問題二，在不影響到外形美觀度的基礎(chǔ)上，先以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，用穩(wěn)定性好和加工方便為約束條件，建立優(yōu)化模型，使用軟件編程求出部分參數(shù)最優(yōu)解，根據(jù)求出的最優(yōu)解系統(tǒng)計算匯總得出所求創(chuàng)意平板折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。針對問題三，此問是要建立設(shè)計加工參數(shù)的通解，需要考慮不同的桌面形狀，建立不同的模型，在輸入數(shù)據(jù)時先判斷屬于哪個桌面形狀，任意給出折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，利用建立的模型求解其設(shè)計加工參數(shù)，繪制動態(tài)變化過程示意圖。關(guān)鍵詞：創(chuàng)意平板折疊桌；擬合；最優(yōu)化模型；空間幾何一、問題重述創(chuàng)意平板折疊桌在外型新穎、造型美觀的基礎(chǔ)上，還要全面考慮折疊桌制作的穩(wěn)固性、加工時長以及用材量。在已知桌高和桌面直徑的條件下，建立數(shù)學(xué)模型，快速且精確的算出最優(yōu)的設(shè)計加工參數(shù)。就已知折疊桌桌高以及桌面直徑的情況下 ，建立數(shù)學(xué)模型分析研究下面的問題： （1）根據(jù)所給的已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，來描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。（2）在造型美觀的前提下，考慮穩(wěn)固性，加工方便，用材等影響因素，在已知桌高和桌面直徑的情況下，建立數(shù)學(xué)模型，確定最優(yōu)設(shè)計加工方案。（3）根據(jù)任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近所期望的形狀。根據(jù)建立的模型設(shè)計創(chuàng)意平板折疊桌，并給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)及動態(tài)變化過程的示意圖。二、問題分析本題研究的創(chuàng)意平板折疊桌問題，問題一至三，都是研究折疊桌在制作過程中的設(shè)計加工參數(shù)，本著同樣的思想，建立數(shù)學(xué)模型，全面的考慮各方面的影響因素，求出最優(yōu)解。問題一是利用所給的已知條件，求解折疊桌在運(yùn)動及設(shè)計方面的問題。首先使用已知量得出組成折疊桌的每條木條的長度，再利用等效替代的思想建立模型對折疊桌折疊的動態(tài)過程進(jìn)行描述，最后觀察總結(jié)求出設(shè)計加工參數(shù)以及桌角邊緣線。問題二是求最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的問題，在折疊桌制作過程中影響因素有很多個，選取用材最少作為目標(biāo)函數(shù)，將產(chǎn)品穩(wěn)定性及加工是否方便作為約束條件，建立模型，利用軟件求取某些參數(shù)的最優(yōu)解，借助這些最優(yōu)參數(shù)，得出全面的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。問題三是求適用于不同桌面形狀的設(shè)計加工參數(shù)的模型的建立，首先建立不同形狀桌面的求設(shè)計加工參數(shù)的模型，觀察建立的模型，找出其中的共同處，建立通解模型，在任意輸入折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀的數(shù)據(jù)，求解，將得到的數(shù)據(jù)匯總，并用軟件編程，繪制動態(tài)變化過程。三、模型假設(shè)1、假設(shè)相鄰木條間緊密相連，無縫隙，木條總寬度就是桌面的寬度；2、假設(shè)木板寬度等于圓桌面的直徑；3、假設(shè)桌面與腿接口處的縫隙可以忽略不計；4、假設(shè)加工過程中的誤差可以忽略不計；5、假設(shè)圓桌面的圓心與長方形模板的對角線的交點(diǎn)重合。四、符號說明從邊緣最外側(cè)數(shù)起第條半弦長桌腿與豎直方向的夾角邊緣最外側(cè)桌腿的長度桌子高度從邊緣最外側(cè)數(shù)起第根木條的長度從邊緣最外側(cè)數(shù)起第根木條開槽的長度第根木條與桌面的交點(diǎn)坐標(biāo)第根木條鋼筋位置的坐標(biāo)第根木條上桌腳邊緣線的點(diǎn)的坐標(biāo)邊緣桌腿與地面的夾角制作所需的平板的厚度制作所需的平板的長度最外側(cè)邊緣的半弦長木條的寬度木板的寬度五、模型的建立與求解5.1實施過程：定義圓的弦長方向與木板的長度方向平行，使用弦長公式，計算出除最外兩側(cè)的其余弦的長度，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入軟件中使用方式擬合，得出最外側(cè)的弦長，從而得出最外側(cè)腿的長度；：引用等效替代的思想，建立數(shù)學(xué)模型，將折疊桌的動態(tài)變化轉(zhuǎn)化為最外側(cè)桌腿和豎直方向的角度的變化，編寫程序；：根據(jù)觀察出的桌腿與木槽長度的關(guān)系，對木槽求解。對桌腳邊緣線的描述，建立三維坐標(biāo)系，引用空間直線方程，求出邊緣線上點(diǎn)的坐標(biāo)，最后畫出邊緣線的圖像。5.2 的求解計算弦長和桌腿長給定的長方形平板尺寸為120 cm 50 cm 3 cm，每根木條寬2.5 cm，命圓桌面的弦長方向與木板長度方向平行，利用弦長公式對除最外側(cè)的18條弦長求長度，將求出的數(shù)據(jù)擬合，得出最外側(cè)弦長的長度。為求弦的半弦長，建立以下的數(shù)學(xué)模型： ：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第條半弦長 表1 折疊桌圓桌面的18條半弦長210.891124.873151224.49417.851323.855201422.91621.651521.65722.911620823.851717.85924.4918151024.871910.89根據(jù)以上表1中的數(shù)據(jù)，因為呈對稱性，所以隨機(jī)選取右半邊的數(shù)據(jù)導(dǎo)入中編程擬合【見附錄一】，得出=1、20時的弦長。圖一 軟件對數(shù)據(jù)擬合由上圖方式擬合，得出最外側(cè)木條的半弦長為6.18cm，因此可以得出折疊桌桌腿的長度為53.82cm。5.3 的求解建模求解創(chuàng)意平板折疊桌的折疊變化過程是很復(fù)雜的，由此引用等效替代的方法將復(fù)雜的問題在不改變結(jié)果的情況下轉(zhuǎn)化為簡單明了的問題。將折疊椅的變化過程轉(zhuǎn)化為桌腿與桌高的夾角變化情況。 建立了以下的數(shù)學(xué)模型： ：桌腿與豎直方向的夾角：邊緣最外側(cè)桌腿的長度：桌子高度因為平板尺寸的厚度為3cm,所以折疊桌的真實桌高為50cm。根據(jù)上述的模型利用軟件編寫出程序【見附錄二】，隨意輸入一個在范圍內(nèi)的桌高都可以得到桌子再此高度時桌腿與豎直方向的夾角，根據(jù)角度的變化，反映出折疊桌在折疊過程中的變化情況。借用此模型求出在固定的位置桌腿與豎直方向的夾角為。編寫程序【見附錄三】折疊桌折疊過程中的動態(tài)示意圖：圖二 折疊桌變化過程5.4 的求解設(shè)計加工參數(shù)及桌角邊緣線5.4.1設(shè)計加工參數(shù)根據(jù)對所給題目的觀察與理解，已知連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，由此可以得出所開木槽長的限制范圍。為了最后展現(xiàn)出桌腳邊緣線的弧度，可以得出木槽長度由邊緣到中間是逐漸遞增的。折疊桌是對稱的，因此只取左半邊作為研究即可。為求木槽長度建立的數(shù)學(xué)模型是： ：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第條半弦長：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第根木條的長度 ：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第根木條開槽的長度：邊緣最外側(cè)桌腿的長度由以上的模型求解，將得到的解繪制成以下的表2：表2 折疊桌各桌腿的長度及開鑿木槽長度1124.8735.1318.691224.4935.5018.351323.8536.1517.671422.9137.0916.731521.6538.3515.4716204013.821717.8542.1511.671815458.821910.8949.114.71206.1853.8205.4.2桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述 為了能客觀且準(zhǔn)確的描述出桌角邊緣線，采用了三維坐標(biāo)的描述方法，將桌面圓心作為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)，圓心地面的垂直方向向上作為三維空間坐標(biāo)軸的軸，原點(diǎn)與木條長度延伸方向作為三維空間坐標(biāo)軸的軸，原點(diǎn)與垂直弦的方向作為三維空間坐標(biāo)軸的軸，由此建立的坐標(biāo)系，引用的空間直線方程，求出桌角邊緣線上點(diǎn)的坐標(biāo)。桌子撐開后，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求第三點(diǎn)未知坐標(biāo)，通過第根木條與桌面的交點(diǎn)與第根木條的鋼筋的位置的坐標(biāo)點(diǎn)確定空間直線方程可以求出第根木條上桌腳邊緣線的點(diǎn)?？臻g直線方程： ：第根木條與桌面的交點(diǎn)坐標(biāo) ：第根木條鋼筋位置的坐標(biāo) ：第根木條上桌腳邊緣線的點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)以上的方程，把桌角邊緣線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)求出來繪制表格，見下表3：表3 桌角線上點(diǎn)的坐標(biāo)1115.182725-50129.533722.5-46.6138136.76620-43.4557145.360917.5-40.5832154.711315-38.1955164.46312.5-36.334174.441910-34.8537184.51337.5-33.7691194.59065-33.0802204.65852.5-32.690214.6585-2.5-32.690224.5906-5-33.080244.4419-10-34.853754.463-12.5-36.33464.7113-15-38.195575.3609-17.5-40.583286.766-20-43.455799.5337-22.5-46.61381015.1827-25-50將表3中的坐標(biāo)點(diǎn)導(dǎo)入到軟件中編寫出程序【見附錄四】，畫出折疊桌折疊后的桌角邊緣線的三維視圖。 圖三 折疊桌折疊后的桌角邊緣線三維視圖六、最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)6.1實施過程：先對折疊桌桌腳與鋼筋受力分析，觀察桌腳到桌面的投影，確定穩(wěn)定性最優(yōu)點(diǎn)；：將用材最少作為目標(biāo)函數(shù)，將產(chǎn)品穩(wěn)定性及加工是否方便作為約束條件，建立最優(yōu)化模型，把建立的最優(yōu)化模型使用軟件編寫程序求出最優(yōu)解；：根據(jù)求出的最優(yōu)解、各參數(shù)之間的關(guān)系，確定所求折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。6.2 的求解穩(wěn)定性通過對不同狀態(tài)的折疊桌做受力分析可以得知，四個受力腳在桌平面的投影是圓內(nèi)切矩形時四個角的承受力最強(qiáng)，即桌子腿的四腳在桌面的投影是圓的內(nèi)切矩形穩(wěn)定性最好。圖四 桌腳到桌面的投影及桌腿與地面夾角圖：邊緣桌腿與地面的夾角 :最外側(cè)邊緣的半弦長:邊緣最外側(cè)桌腿的長度由圖四分析出折疊桌穩(wěn)定性最高的形式，并對其分析為的求解做前提的準(zhǔn)備條件。6.3 的求解建立最優(yōu)化模型6.31建立最優(yōu)化模型，求解在造型美觀的基礎(chǔ)上，將用材量作為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)所做的前提，將其中的影響因素例如折疊桌的穩(wěn)定性、加工是否方便作為約束條件，建立以下的數(shù)學(xué)模型：目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ：邊緣桌腿與地面的夾角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的長度:最外側(cè)邊緣的半弦長:邊緣最外側(cè)桌腿的長度根據(jù)以上的模型使用軟件，編寫程序【見附錄四】，求解出模型中未知量的最優(yōu)解，結(jié)果如下：Variable Value Reduced CostA 1.213876 0.000000B 1.250397 0.000000X 2.261767 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 12800.00 -1.0000002 2.363894 0.0000003 8.867094 0.0000004 0.000000 -160.00005 11.25991 0.0000006.32最優(yōu)平板尺寸由上面對模型所求出的最優(yōu)解，可以從上面的數(shù)據(jù)讀取出以下最優(yōu)平板尺寸：木板（條）的厚度桌腿與地面的夾角 ，因此，桌腿與豎直方向的夾角最外側(cè)邊緣的半弦長木條的寬度邊緣最外側(cè)桌腿的長度木板（條）的長度為了使加工方便，將木條的寬度取2.3cm，于是，80cm直徑的桌面由34根寬為2.3cm的木條和一根寬為1.8cm的木條，為了秉持著加工方便及桌子的對稱性原理，把1.8cm的木條放在最中間。6.4 的求解最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)6.41最優(yōu)開槽長度最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的求解過程與第一問中和的求解模型是類似的，只是木條編號有所改變，因此對模型修改得： ：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第條半弦長：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第根木條的長度 ：從邊緣最外側(cè)數(shù)起第根木條開槽的長度：邊緣最外側(cè)桌腿的長度將以上的模型帶入數(shù)值求解，得到最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，見下表4：表4 最優(yōu)開槽長度12.059878.530213.368267.221611.3084318.623861.966216.5638422.458658.131220.3988525.521855.068023.4620628.066952.522926.0071730.225250.364628.1654832.074848.515030.0150933.666646.923231.60681035.035845.554032.97601136.207744.382134.14791237.200943.388935.14111338.029542.560335.96971438.703941.885936.64411538.232141.357737.17231639.620140.969737.56031739.871840.718037.81201839.989940.599937.93016.42最優(yōu)鋼筋位置鋼筋位置可以根據(jù)最中間木條開的槽的長度來確定，鋼筋雖然是不會彎曲的，但鋼筋是出于相對運(yùn)動狀態(tài)的，于木條間的木槽，鋼筋是由槽的最下端移動到最上端，所以鋼筋的最初位置是可以根據(jù)最中間的木槽確定出來。鋼筋起先位于每個木槽的上端，將在木板處于水平狀態(tài)時鋼筋位置距圓桌面圓心的距離為L，為求鋼筋位置建立數(shù)學(xué)模型為：從邊緣最外側(cè)數(shù)起中間的半弦長：從邊緣最外側(cè)數(shù)起中間木條的長度：從邊緣最外側(cè)數(shù)起中間木條開槽的長度對以上的模型帶入中所求出的最優(yōu)數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)鋼筋的位置是在木板處于水平狀態(tài)時，距離圓桌面圓心41.3248cm處為最優(yōu)位置。七、模型的應(yīng)用7.1實施過程：全面考慮多種折疊桌桌面的形狀，分別就該形狀的建立數(shù)學(xué)模型，找出各個模型的共同點(diǎn)，盡量匯總出一個通用模型；：根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，隨機(jī)取折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，求解出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)；：設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌，并給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)，畫出動態(tài)變化過程的示意圖。7.2 的求解建立模型7.2.1圓形桌面的模型目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ：邊緣桌腿與地面的夾角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的長度:最外側(cè)邊緣的半弦長:邊緣最外側(cè)桌腿的長度：木板的寬度：桌子高度7.2.2橢圓形桌面的模型將橢圓近似的看成是矩形和兩個半圓組成的圖形，研究橢圓形的性質(zhì)，建立橢圓形桌面的模型。目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ：組成橢圓的矩形的長：木板的寬度：桌子高度：邊緣桌腿與地面的夾角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的長度:邊緣最外側(cè)桌腿的長度7.2.3正六邊形桌面的模型當(dāng)桌面為正六邊形時，研究正六邊形的性質(zhì)，建立正六邊形桌面的模型。目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ：正六邊形邊長：桌子高度 ：邊緣桌腿與地面的夾角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的長度:最外側(cè)邊緣的半弦長:邊緣最外側(cè)桌腿的長度7.3 的求解模型求解輸入桌折疊桌高度為50cm；桌面邊緣線的形狀為橢圓形；橢圓的短半徑為15cm；其中的矩形長為30cm；桌腳邊緣線大致為橢圓半弧形。將數(shù)據(jù)帶入到建立的數(shù)學(xué)模型中，使用軟件編程【見附件六】求出最優(yōu)解。由上面對模型所求出的最優(yōu)解，可以得出以下最優(yōu)平板尺寸：木板（條）的厚度桌腿與地面的夾角 ，因此，桌腿與豎直方向的夾角邊緣最外側(cè)桌腿的長度木板（條）的長度在上面的計算中充分體現(xiàn)出建立的數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用到實際的計算中，具有實用價值，因此建立的模型是有意義的。7.4 的求解設(shè)計折疊桌，畫出動態(tài)變化過程圖將中求解出的木板的尺寸大小帶入圓形桌面的模型中，將新建立的模型使用軟件中編寫出程序【見附錄七】畫出折疊桌的動態(tài)變化示意圖。圖五 折疊桌動態(tài)變化示意圖八、模型改進(jìn)與推廣8.1 模型優(yōu)缺點(diǎn)8.1.1 模型優(yōu)點(diǎn) 1、本文主要采用最優(yōu)化模型，充分利用專業(yè)數(shù)學(xué)軟件計算，可靠性很高； 2、本文忠于計算所得真實數(shù)據(jù)，避免盲目假設(shè)； 3、模型和分析內(nèi)容比較完整，充分考慮各方面因素； 4、原創(chuàng)性很強(qiáng)，文章中所有模型均為自行推導(dǎo)建立的。8.1.2模型缺點(diǎn) 1、模型準(zhǔn)確性不高，利用模型所得數(shù)據(jù)存在保留有效數(shù)字； 2、最優(yōu)化模型的約束條件有點(diǎn)簡單，未能充分考慮桌腳邊緣線。8.2 模型的推廣 本論文建立的模型應(yīng)用性比較廣，對于同一類型的桌面，設(shè)計不同尺寸的創(chuàng)意平板折疊桌，可以使各加工參數(shù)達(dá)到最優(yōu)。本模型可推廣到折疊椅、折疊床、折疊門等領(lǐng)域。同時，本模型利用計算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)了對問題求最優(yōu)解，可用于各種與此類型相關(guān)的場合。九、參考文獻(xiàn)【1】呂林根，許子道，解析幾何第四版，北京：教育出版社，2006【2】林曉琦，淺談高中物理中的等效替代法，中學(xué)理科園地，第三期：28-30，2006【3】呂林根，許子道，解析幾何第四版，北京：教育出版社，2006【4】司守奎，數(shù)學(xué)建模算法與程序，北京：國防工業(yè)出版社， 2007【5】司守奎，數(shù)學(xué)建模算法與程序，北京：國防工業(yè)出版社， 2007十、附錄【附錄一】對最外側(cè)邊緣的半弦長擬合clc; clear all; close all;A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 ;B=24.8747 24.4949 23.8485 22.9129 21.6506 20 17.8536 15 10.8972;fun = (beta, x) beta(1)*x.beta(2)+beta(3);beta0 = 1 2 3;beta = nlinfit(A,B,fun,beta0);xt = linspace(min(A), max(A);yt = fun(beta, xt);figure; hold on; box on;plot(A, B, r+);plot(xt, yt, b-);【附錄二】折疊桌桌腿與桌高夾角的動態(tài)變化function f=fun(x)if x0&x0;(28*28+(28*tan(a)2)(1/2)-cos(a)*(28*tan(a)-70+b)/(sin(a)*sin(a)70-b;(28*tan(a)*28*tan(a)+28*28)(1/2)+cos(a)*(sin(a)-1)*(28*tan(a)-70+b)80;(40*40-(x*(40/x-1)2)(1/2)5；【附錄六】用求解桌面為橢圓圖形最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)min=30*(30+2*(15*15+(50-d)2)(1/2);sin(a)*(30+2*(15*15+(50-d)2)(1/2)+d=50;15*tan(a)+d=50;(152+(50-d)2)(1/2)+d50;【附錄七】畫動態(tài)變化過程示意圖L=129.6832; %長D=30; %寬，圓桌面直徑d=2.469136; %木板寬hL=L/2; %半長R=D/2; %圓桌面半徑y(tǒng)=-R+d/2:d:R-d/2; %長條寬度方向中心位置x=sqrt(R2-y.2); %長條中心在圓上的位置H=hL-x(1); %最長腿長度，也就是最大桌子高