論文翻譯2 國外英文學(xué)術(shù)翻譯.docx

巴拿赫和C * - 代數(shù)1943年，由IM Gelfand和M. Neumark寫的題為“Hilbert空間中關(guān)于賦范環(huán)嵌入算子環(huán)問題”發(fā)表在Mat.Sbornik。從一個五十多年的歷史高度來看，可以這么說這篇論文改變了近代分析的面貌。R. Kadison (25, p. 21).在本章中，我們將利用乘積算子賦予巴拿赫空間一種額外的結(jié)構(gòu)，那就是，一個Banach空間A在這里允許兩個向量的乘法。這個乘法將被要求滿足以下性質(zhì)：(1) a(bc) = (ab)c(2) (a+b)c = ac+bc(3) a(b+c) = ab+ac(4)(ab) = (a)b = a(b)對所有在A中的a，b，c和標量成立。顯然，從上面的要求可以看出，我們并沒有要求新的乘法運算滿足交換律，同時也沒有要求乘法運算具有滿足下列條件:，的單位元。以后我們會時不時的強調(diào)這些額外的要求（尤其是后者），但目前兩者都不是必需的。術(shù)語“復(fù)代數(shù)“用以表示復(fù)數(shù)域C上滿足上述（1） - （4）條件的向量空間；如果乘法運算的單位元存，我們則稱此代數(shù)為“有單位的”。巴拿赫代數(shù)就是一個復(fù)代數(shù)A，并且其上范數(shù)滿足：|ab|A的一個映射：aa，且滿足：(1) (a) = a(2) (ab) = ba(3) (a+b) =a+b對于任意a,bA且是一個標量。我們就稱a 是a的伴隨。最后，C-代數(shù)就是一個具有對合的巴拿赫代數(shù)，并且對合滿足|a*a |0,且滿足 的x都是緊的）構(gòu)成的巴拿赫空間。按照之前的例子那樣定義逐點乘法和對合。那么就是一個可交換但沒單位的C*-代數(shù)。我們可以通過將實直線替換為任意非緊局部緊的Hausdorff空間Z來將此例推廣；類似于先前一個例子的最后的討論，對于一些局部緊湊的Hausdorff測度空間X，每一個可交換的無單位的C*-代數(shù)是C(X)空間。例子5.4.設(shè)代表一個-有限空間,考慮巴拿赫空間L(z,),并且按最后兩個例子中的方法定義乘法和對合，則L(z,)是一個可交換的且有單位的C*-代數(shù)。（嚴格來說，要定義有兩個變量的L(X,)空間上的乘法我們選擇各自的一個代表并且定義他們的逐點乘積來作為元素乘積的代表。）注意在這個例子中，不能把“”替換成“p ”，因為在LP空間中，兩個Lp函數(shù)的乘法不需要有限定的P值。例子5.5.我們最重要的例子就是在希爾伯特空間H上的所有有界線性算子構(gòu)成的巴拿赫代數(shù)，且|A|=sup|Ah|:|h|=1賦范了，并且有由復(fù)合函數(shù)(AB)(h) = A(B(h)定義的乘法，記范數(shù)為算子范數(shù)。有單位元I的非交換的（當(dāng)H空間的維數(shù)至少2維時）巴拿赫代數(shù)。定義對合A*為有通常伴隨算子，則B(H )是一個C*-代數(shù)，像在第二章中標明的那樣。特別地，令H = Cn下，則B(H )即為一個nn階矩陣，并且我們將經(jīng)常用Mn來表示。當(dāng)H空間被巴拿赫空間X取代時，B(X)為一個巴拿赫代數(shù)。雖然許多傳統(tǒng)的巴拿赫空間事實上是自然乘法下的巴拿赫代數(shù)，但是想有意識的利用這個事實在未來還有相當(dāng)長的路要走。黎斯在1913年的文章很明確的看到在希爾伯特空間上算子的乘積，并且至少含蓄的意識到不等式|AB| |A|B|的正確性。到1930年，算子環(huán)的概念在明確的研究中被提出來，并且從1936年開始，由Francis Murray 和 John von Neumann兩人所著，命為“關(guān)于算子環(huán)”的一系列的重要論文促進了現(xiàn)在的von Neumann代數(shù)理論的發(fā)展，這些是B(H )空間上的特定類型的C*-子代數(shù)，而他們研究的一個特別的動機就是要為可觀測的量子力學(xué)的研究提供在數(shù)學(xué)上正確的框架。馮諾依曼是一個杰出的并且多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的工作為很多基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域建立了基本框架。他與愛因斯坦和庫爾特一起是普林斯頓高等研究院第一屆教員中的一員，在一本最近出版的馮諾依曼書信集的序言中寫道如果他活到正常的歲數(shù)，他理所因當(dāng)將成為一個諾比爾經(jīng)濟學(xué)獎的接受者。并且如果在計算機和數(shù)學(xué)方面有諾比爾獎項，他將也會包攬這兩項獎。所以這些信的作者應(yīng)該被認為得過三次諾比爾獎的獲獎?wù)?，或者可能，一個倍的獲勝者，為他在物理學(xué)尤其在量子力學(xué)方面的工作至少在純數(shù)學(xué)方面，他和Murray的研究是他最有影響力成果的之一。不尋常的是，這項工作在日期上比巴拿赫代數(shù)的基礎(chǔ)研究要早很多，關(guān)于巴拿赫代數(shù)的研究論文我們將在下一章中看到（這些大部分都來自I. Gelfand）馮諾依曼孩提時代在計算和解決問題方面就展示了一種驚人的天賦。根據(jù)一篇由Halmos寫的關(guān)于馮諾依曼的傳記16，在他六歲的時候，他可以在腦海里分解兩個八位數(shù)字；八歲的時候他掌握了微積分；12歲的時候他讀完了并且理解了波雷爾的數(shù)據(jù)加密函數(shù)理論關(guān)于他的驚人的計算能力的故事貫穿他的整個一生，他的傳記作者，N. Macrae，講述了下面的軼事： 當(dāng)坐著計算一個問題時，他傾向于盯著天花板喃喃自語，伴隨著一張令人恐懼的無表情的臉。當(dāng)蘭德公司提出他的電腦是否可以改進去處理一個特別的問題時，他流露出這種狀態(tài)，關(guān)于這個問題蘭德公司員工借用圖形在黑板上向他解釋了兩個小時，因為要處理這個問題當(dāng)時電腦狀態(tài)是達不到的。大概過了兩到三分鐘，Johnny如此茫然的凝視著一個蘭德公司科學(xué)家,這個科學(xué)家之后說：“他看起來好像他的思維像失常的齒輪在他臉上打滑。”，不久他說：“先生們，你們沒必要這樣的電腦，我已經(jīng)有答案了”。任何一個滿足在伴隨算子作用下仍然是閉的賦范閉子代數(shù)仍是一個C*-代數(shù)。一個很重要的例子是在B(H ) 空間上的由緊算子K (H )構(gòu)成的子代數(shù)（定理4.10和命題4.12可以保證）；當(dāng)H空間的維數(shù)是無限的時它是不可交換的并且無單位。 術(shù)語B*-代數(shù)也會出現(xiàn)在行文中，對于它我們稱之為一個C*-代數(shù)。在*算子作用下仍是閉的B（H）的閉子代數(shù)仍是C*代數(shù)。GelfandNaimark定理確保了以下事實：在一些Hilbert空間中，B*代數(shù)等距同構(gòu)于B（H）中的某一個閉*-子代數(shù)。于是，我們沒有必要再區(qū)分B*-代數(shù)與C*代數(shù)，均記為C*-代數(shù)即可。因為B(H )空間是我們研究C*-代數(shù)上的一個最重要的例子，并且考慮到GelfandNaimark定理剛才已經(jīng)討論過，我們今后將用大寫字母A,B,C去表示一類的巴拿赫空間或者C*-代數(shù)中的元素，并且如果有單位元的話，以I作為乘法單位。我們也將在以后采用一些來自B(H )空間上常用的術(shù)語，并稱C*-代數(shù)上的元素A為自伴的如果A=A*；稱A為正常的如果AA*=A*A。在上面例子5.2中C（X）空間上的自伴元素都是C（X）空間上的實值函數(shù)。5.2譜的相關(guān)結(jié)果有一點，我們不需要C*-結(jié)構(gòu)，所以在這部分我們研究巴拿赫代數(shù)。因為我們將涉及可逆性，所以我們將假設(shè)我們的巴拿赫代數(shù)是有單位的，像上面所注明的，有界的線性算子B(X)，在這兒X是一個巴拿赫空間，在一般運算符乘法下構(gòu)成一個巴拿赫代數(shù)（換言之，合成物）。定義5.6.假設(shè)A是一個以I為單位的巴拿赫代數(shù)。任意A且AA，如果存在BA且有AB=BA=I，我們就說A是可逆的。 我們可以分別的討論巴拿赫代數(shù)中一個元素的左逆性和右逆性，很容易注意到，如果A既有右逆B和左逆C，那么就有B=C成立，因為有C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.所以必要時，通過分別得展示它的左逆性和右逆性，我們可以確定一個元素是可逆的。對于nn的矩陣，左逆或者右逆如果存在一個，就能保證矩陣的可逆性。然而相似的狀態(tài)推廣到一般不成立。例如，在上的順向位移S有左逆的S*但不是可逆的。在下面的結(jié)論中，A空間中使用的拓撲當(dāng)然就是來自范數(shù)的距離拓撲。定理5.7.假設(shè)A是一個有單位的巴拿赫代數(shù)，表示A中可逆的元素。那么是A中的開集。 為了證明這個定理，我們先引入一個引理，這個引理表明在單位元為圓心，以1為半徑的開球，包含在中。定理5.8.如果BA且|I-B|1，那么，B為可逆的，它的逆由表達式給出。 注意到公式B-1可變換為幾何級數(shù)類型：B-1=I-(I-B)-1=,在這里我們記（I-B）0=I.證明（引理5.8）.令C=I-B所以|C|=r1且|Cn|C|n=rn.因為rA 且z0有 如果在A中存在導(dǎo)數(shù)（），則定義其為F的商，在A 上為向量；并且在A的范數(shù)意義下取極限，在C中h無限趨于0。我們說函數(shù)f在空間中是強解析的，如果f存在并且在中連續(xù)。考慮另一個很自然的方式去定義一個巴拿赫空間值函數(shù)的解析性如下：值得注意的是，每一個有界線性的函數(shù) A*，稱f: -A 是弱解析的如果 f 是解析的。很容易看出一個在巴拿赫空間強解析函數(shù)是弱解析的（練習(xí)5.4）；反過來也是成立的，因此這兩個有關(guān)解析性的定義實際上是一樣的。因為我們將不會用到這最后的結(jié)論，所以我們在這省略證明。為了證明定理5.10，我們將需要一個“Liouville-type定理”向量解析函數(shù)，為此我們介紹下面定理。定理5.11.設(shè)f：C-A 是弱解析的，其中，A 是一個巴拿赫空間，且在復(fù)數(shù)域C上是有界的，那么函數(shù)f是常數(shù)函數(shù)。證明：我們有|f(z)| M|A|且記A=(A/-I).通過引理5.8我們知道I-A/可逆,進而A-是可逆的。因此A的譜包含于閉圓盤：|A|中。 接下來我們通過驗證它的補集為開來說明(A)是閉的。如果A-是可逆的，我們要驗證，對任意的0，只要有|-u|0，使得如果|B(A)|,則B是可逆的。對于這個，由| A 上，滿足F()=(-A)-1.我們聲明F函數(shù)在C(A)空間上是解析函數(shù)。對于在復(fù)數(shù)域C中的h充分小，使得+h在開集C(A)中，我們就有(+hA)1(A)1 = (+hA)1(A)(+hA)(A)1因此F(+h)F()h= (+hA)1(A)1.逆的連續(xù)性（練習(xí).）表明，驗證了函數(shù)的解析性。最后，我們轉(zhuǎn)向有關(guān)的譜的非空性的聲明。如果的譜為空，則按照定義的方式定義d-值函數(shù)于是全平面C上解析的。另外，對于，有是趨向于0的，當(dāng)，如果，則F是有界整d-值函數(shù)，因此由定理5.11,是常函數(shù)。這顯然是矛盾的。下面的結(jié)論，叫做GelfandMazur定理，完全依據(jù)Gelfand (1941) and Mazur (1938)兩人的結(jié)果.要用到定理5.10去證明有單位的巴拿赫代數(shù)僅有復(fù)數(shù)空間。在巴拿赫代數(shù)之間的一個同構(gòu)是一個雙射的線性映射，也是可乘的；它是等距的，如果它也保持范數(shù)。定理5.12.如果A 是一個有單位巴拿赫代數(shù)空間，且在其中每一個非零的元素都是可逆的，那么A 和復(fù)數(shù)域C為等距同構(gòu)的。證明.令A(yù)A 且假設(shè)12是兩個不同的復(fù)數(shù)值，至少A-1，A-2中有一個是可逆的（因為兩個都不為0）.另一方面，(A)是非空的，因此，對于每一個AA，(A)恰好由一個復(fù)數(shù)組成；表示為(A).現(xiàn)在A(A)I=0或者 A=(A)I.A到(A)的映射和A空間到復(fù)數(shù)域C空間的映射是等距同構(gòu)的；要查證這個聲明的詳細證明留待讀者。對于一個多項式p(z)=cnzn+