淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用羅錫榮.doc

淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用瀏陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)組 羅錫榮在初中教材中，雖然對二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，但由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)與集合A的元素X對應(yīng)，記為(x)= ax2+ bx+c(a0)這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：類型I：已知(x)= 2x2+x+2，求(x+1)這里不能把(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。類型：設(shè)(x+1)=x24x+1,求(x)這個問題理解為，已知對應(yīng)法則下，定義域中的元素x+1的象是x24x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。一般有兩種方法：(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。(x+1)=x24x+1=(x+1)26(x+1)+6，再用x代x+1得(x)=x26x+6(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對一般函數(shù)都可適用。 令t=x+1，則x=t-1 (t)=(t-1)24(t-1)+1=t26t+6從而(x)= x26x+6二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（，及，+） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。類型：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。（1）y=x2+2|x1|1 （2）y=|x21| （3）= x2+2|x|1這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。類型設(shè)(x)=x22x1在區(qū)間t,t+1上的最小值是g(t)。求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖象解：(x)=x22x1=(x1)22，在x=1時取最小值2當(dāng)1t,t+1即0t1，g(t)=2當(dāng)t1時，g(t)=(t)=t22t1當(dāng)t0時，g(t)=(t+1)=t22 t22, (t1)首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。如：y=3x25x+6（-3x1），求該函數(shù)的值域。三、二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：類型：設(shè)二次函數(shù)(x)=ax2+bx+c(a0)方程(x)x=0的兩個根x1，x2滿足0x1x2。()當(dāng)X(0,x1)時，證明X(x)x1。()設(shè)函數(shù)(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0 。解題思路：本題要證明的是x(x)，(x)x1和x0 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)；方程(x)x=0可變?yōu)閍x2+(b1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條圖象法利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)。現(xiàn)以思路為例解決這道題： ()先證明x(x)，令(x)=(x)-x，因?yàn)閤1,x2是方程(x)-x=0的根，(x)=ax2+bx+c，所以能(x)=a(xx1)(xx2)因?yàn)?x1x2,所以,當(dāng)x(0,x1)時, xx10, xx20,又a0,因此(x) 0,即(x)-x0.至此,證得x(x)根據(jù)韋達(dá)定理,有 x1x2= 0x1x2，c=ax1x2x=(x1), 又c=(0),(0)(0)，所以當(dāng)x(0,x1)時(x)(x1)=x1，即x(x)0）函數(shù)(x)的圖象的對稱軸為直線x= ,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=，因?yàn)閤1,x2是二次方程ax2+（b1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=，x20，x0=（x1+x2）,即x0=。二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知