線性代數(shù)行列式-習(xí)題課.ppt

第一章行列式習(xí)題課 排列的逆序數(shù)及計(jì)算方法 2 對(duì)換及對(duì)換對(duì)排列的影響 3 n階行列式的定義 4 n階行列式的性質(zhì) 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) 5 行列式按行 列 展開 1 余子式與代數(shù)余子式 6 克拉默法則 注意前提與結(jié)論 由此可得 對(duì)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同的方程組來說 1 若非齊次線性方程組無解或多解 則其系數(shù)行列式必為零 2 若齊次線性方程組有非零解 則其系數(shù)行列式必為零 一 填空題 1 當(dāng)i j 時(shí) 1 9的排列1i25j4897為奇排列 2 四階行列式中 含有a11a23的項(xiàng)為 3 如果行列式D中的零元素的個(gè)數(shù)大于n2 n個(gè) 則D 4 若行列式每行元素之和為零 則D 5 已知四階行列式D的第二列元素為 1 2 0 1 它們對(duì)應(yīng)的余子式分別為5 3 7 4 則D 7 n為奇數(shù)時(shí) 8 已知四階行列式 Mij是元素aij的余子式 則M41 M42 M43 M44 9 已知 則x3的系數(shù)為 二 計(jì)算行列式 除掌握概念與性質(zhì)外還有技巧 方法一 三角形法 例1 解 原式 另解 原式 方法二 拆項(xiàng)法 看例1 解 原式 方法三 升級(jí)法 看例1 解 原式 例2計(jì)算 解 構(gòu)造 這是一個(gè)范德蒙行列式 x a x b x c x d d a d b d c c a c b b a 另外f x 按最后一列展開 可得 上兩式是恒等式 故同次冪系數(shù)相等 而D A45 故 D a b c d d a d b d c c a c b b a 方法四 降級(jí)法 行列式中某一行 列 只有一 二個(gè)非零元素或者某行 列 的余子式都是易求的行列式 例3證明 證法一 按最后一行展開 右邊 證法二 按第一列展開 得 Dn xDn 1 an 再根據(jù)上面的遞推公式或數(shù)學(xué)歸納法可得結(jié)果 按第一列展開即可得結(jié)果 證法四 從第一列開始 前一列乘1 x加到后一列上去 化成下三角行列式 方法五遞推法 如例1的第二種解法 例3的第二種解法 方法六用數(shù)學(xué)歸納法 例4證明 證 對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法 練習(xí) 1 計(jì)算 解 上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式 由范德蒙行列式知 2 計(jì)算 解 提取第一列的公因子 得 解 證 例6有甲 乙 丙三種化肥 甲種化肥每千克含氮70克 磷8克 鉀2克 乙種化肥每千克含氮64克 磷10克 鉀0 6克 丙種化肥每千克含氮70克 磷5克 鉀1 4克 若把此三種化肥混合 要求總重量23千克且含磷149克 鉀30克 問三種化肥各需多少千克 解 第一章測(cè)試題 一 填空題 每小題4分 共36分 二 計(jì)算下列行列式 每小題10分 共20分 有非零解 三 解答