數(shù)值分析(研)試題答案.doc

沈陽(yáng)航空航天大學(xué)研究生試卷（A）2011-2012學(xué)年 第一學(xué)期課程名稱(chēng)：數(shù)值分析 出題人: 王吉波 審核人: 一、填空題（本題40分 每空4分）1設(shè)為節(jié)點(diǎn)的n次基函數(shù)，則 。2已知函數(shù)，則三階差商= 0 。3當(dāng)n=3時(shí)，牛頓-柯特斯系數(shù)，則 。4用迭代法解線性方程組Ax=b時(shí)，迭代格式收斂的充分必要條件是 或 B的譜半徑小于1 。5設(shè)矩陣，則A的條件數(shù)= 3 。6.正方形的邊長(zhǎng)約為100cm，則正方形的邊長(zhǎng)誤差限不超過(guò) 0.005 cm 才能使其面積誤差不超過(guò)1。7.要使求積公式具有2次代數(shù)精確度，則 2/3 ， 3/4 。8. 用杜利特爾（Doolittle）分解法分解，則，二、（10分）已知由數(shù)據(jù)（0,0），（0.5，y），（1,3）和（2，2）構(gòu)造出的三次插值多項(xiàng)式的的系數(shù)是6，試確定數(shù)據(jù)y。答案：利用Lagrange插值多項(xiàng)式，及基函數(shù)的表達(dá)式可知的系數(shù)為 + （5分）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 解得y=4.25. （5分）三、（15分）試導(dǎo)出計(jì)算的Newton迭代格式，使公式中（對(duì)）既無(wú)開(kāi)方，又無(wú)除法運(yùn)算，并討論其收斂性。答案：將計(jì)算等價(jià)化為求的正根。 而此時(shí)有 ， （5分） 故計(jì)算的Newton迭代格式為 （5分）迭代函數(shù)，故迭代法局部收斂。 （5分）四、（15分）已知。（1）推導(dǎo)出以這3個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在0，1上的插值型求積公式；（2）指明求積公式所具有的代數(shù)精確度；（3）用所求公式計(jì)算。答案：（1）過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式故，其中，故所求的插值型求積公式為 （5分）（2）上述求積公式是由二次插值函數(shù)積分而來(lái)，故至少具有2次代數(shù)精確度。再將代入上述求積公式，有故上述求積公式具有3次代數(shù)精確度。 （5分）（3） （5分）五、（10分）給定方程組判定Jacobi和Gauss-Seidel方法的收斂性。答案：Jacobi迭代矩陣為 ； （2分）由于，故Jacobi迭代收斂。 （3分）Gauss-Seidel迭代矩陣為 ； （2分） 故，故Gauss-Seidel迭代收斂。 （3分）六、 （10分）定義內(nèi)積，試在中尋求對(duì)于的最佳平方