均值、方差、正態(tài)分布——學生用.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學習與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)e，x(，)，其中和為參數(shù)(0，R)我們稱函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為_1_；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定，_越小_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b (ab)，隨機變量X滿足P(aXb)，(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3c1)P(Xc1)，則c等于()A1 B2 C3 D44有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)_.5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_題型一離散型隨機變量的均值、方差例1(2013浙江)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標號(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，試求a，b的值題型二二項分布的均值、方差例2(2012四川)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望E()假設(shè)某班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5.記此時教室里敞開的窗戶個數(shù)為X.(1)求X的分布列；(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長就會將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變記每天上午第三節(jié)課上課時該教室里敞開的窗戶個數(shù)為Y，求Y的數(shù)學期望題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學中成績在8085分的有17人試計算該班成績在90分以上的同學有多少人在某次數(shù)學考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即N(100,100)，已知滿分為150分(1)試求考試成績位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)離散型隨機變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P2的值；(3)設(shè)P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設(shè)表示摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值思維啟迪(1)概率的應(yīng)用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個為紅球的概率，求紅球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，關(guān)鍵是求的所有可能值及每個值所對應(yīng)的概率規(guī)范解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x，依題意得x104.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.8分所以的分布列為0123P10分所以E()0123.12分求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機變量的所有可能值第二步：求每一個可能值所對應(yīng)的概率第三步：列出離散型隨機變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題重點考查了概率、離散型隨機變量的分布列、均值(2)本題解答中的典型錯誤是計算不準確以及解答不規(guī)范如第(3)問中，不明確寫出的所有可能值，不逐個求概率，這都屬于解答不規(guī)范方法與技巧1均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量的均值 、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解3關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)域內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，從而在關(guān)于x對稱的區(qū)間上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(xn BmnCmn D不確定2已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D83(2013湖北) 如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同 樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于()A. B.C. D.4某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為()A100 B200 C300 D4005一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4二、填空題6從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機變量X的分布列為X012P7 已知隨機變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(25)_.8已知某次英語考試的成績X服從正態(tài)分布N(116,64)，則10 000名考生中成績在140分以上的人數(shù)為_三、解答題9某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購買費，也不享受折扣優(yōu)惠假設(shè)該超市在某個時段內(nèi)購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機抽取兩人(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望10為了某項大型活動能夠安全進行，警方從武警訓練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項指標進行檢測